1、1六安一中 2019 届高考模拟卷理科数学（三）一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.“ 1m”是“复数2()(1mi（其中 i是虚数单位）为纯虚数”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件2.若集合 ，且 ，则集合 可能是（ ）0xABA. B. C. D.2,111,0R3.等差数列 中， 是一个与 无关的常数，则该常数的可能值的集合为（ ）na2nA B C D11,1210,24. 西部某县委将 位大学生志愿者( 男 女) 分成两组, 分配到两所小学支教, 若
2、要求743女生不能单独成组, 且每组最多 人, 则不同的分配方案共有（ ）5A 种 B 种 C 种 D 种3668104105.已知实数 满足 ，则 的取值范围为（ ）,xy210y2xyzA B C D10,3,310,310,36.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D.3239291627. 设命题 ， ；命题 ， 中0:(,)px01326x:,(0)qab1,ab至少有一个不小于 2，则下列命题为真命题的是（ ）A B C Dq()pq()p()pq8. 已知函数 ，在 处取得极大值，记 ,程序框图如321fxax11gxf图所示，若
3、输出的结果 ，则判断框中可以填人的关于 的判断条件是（ ）045SnA ？ B ？ C ？ D ？2014n2015n2014n2015n9. 已知 ， ， 为平面上三个不共线的定点，平面上点 满足3 M（ 是实数），且 是单位向量，则这样的点112()MA123A有（ ）A0 个 B1 个 C2 个 D无数个310.已知在三棱锥 中， ， ， ，平面PABC1PBC2ABC平面 ，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）PABA B C D32323211. 双曲线 的左焦点 ,离心率 ，过点 斜率为 的直线交双曲)0(12bayxFeF1线的渐近线于 两点， 中点为 ,若 等于
4、半焦距，则 等于 、 AM2（ ）A. B. C. 或 D. 3232312. 如图，棱长为 的正方体 ，点 在平面 内，平面41ABCDA与平面 所成的二面角为 ，则顶点 到平面 的距离的最大值ABCD03是 （ ）A. B. 22C. D.311二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中的横线上）13. 的展开式中 项的系数为_.1()x2x14. 已知某次数学考试的成绩服从正态分布 ，则 114 分以上的成绩所占的百分2(10,4)N比为 （附： ,0.682, 0.954PXPX(3P)3)0.97415. 已知 为第二象限角， ，则 的值为 2si
5、n()10tan416.已知方程 有 个不同的实数根，則实数 的取值范围是 23ln0xa4a三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分 12 分）如图，在 ABC中，已知点 D在边 BC上，且 0AD，2sin3BAC，32， 3.（1）求 AD长； （2）求 cosC.18. 如图，在直三棱柱 中，平面 侧面 ，1BA1BC1A且 12A（1）求证： ；C（2）若直线 与平面 所成角的大小为 ，求锐二面角 的大小1AB30 1ACB19. 某商场计划销售某种产品，现邀请生产该产品的甲、乙两个厂家进场试销 10 天两个厂家提供
6、的返利方案如下：甲厂家每天固定返利 70 元，且每卖出一件产品厂家再返利2 元；乙厂家无固定返利，卖出 40 件以内（含 40 件）的产品，每件产品厂家返利 4 元，超出 40 件的部分每件返利 6 元分别记录其 10 天内的销售件数，得到如下频数表：5甲厂家销售件数频数表销售件数38 39 40 41 42天数 2 4 2 1 1乙厂家销售件数频数表销售件数38 39 40 41 42天数 1 2 2 4 1（）现从甲厂家试销的 10 天中抽取两天，求一天销售量大于 40 而另一天销售量小于 40的概率；（）若将频率视作概率，回答以下问题：记乙厂家的日返利额为 （单位：元），求 的分布列和数
7、学期望；XX商场拟在甲、乙两个厂家中选择一家长期销售，如果仅从日返利额的角度考虑，请利用所学的统计学知识为商场作出选择，并说明理由20（本题满分 12 分）设椭圆 ： ，其中长轴是短轴长的 倍，E21(0)xyab2过焦点且垂直于 轴的直线被椭圆截得的弦长为 。23（I）求椭圆 的方程；（II）点 是椭圆 上动点，且横坐标大于 ，点 ， 在 轴上，PBCy内切于 ，试判断点 的横坐标为何值时 的面积 最小。1)(2yxBCPPS621（本题满分 12 分）已知函数 2lnafxxR（I）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；2ayf1,f（II）若 在 处取得极小值，求实数 的取值范围()()gx
8、faxa选修 4-4：坐标系与参数方程22.（本小题满分 10 分）已知曲线 E 的极坐标方程为 ，倾斜角为 的直线 l 过点 P (2，2).costan4（1）求曲线 E 的直角坐标方程和直线 的参数方程；l（2）设 l1, l2是过点 P 且关于直线 x=2 对称的两条直线， l1与 E 交于 A, B 两点， l2与 E 交于 C, D 两点. 求证：| PA| : |PD|=|PC| : |PB|.选修 4-5：不等式选讲：23（本小题满分 10 分）设函数 .|2|)(xaxf（1）若函数 f(x)有最大值，求 a 的取值范围；（2）若 a=1，求不等式 f(x)|2 x-3|的解
9、集7六安一中 2019 届高考模拟卷理科数学（三）答案一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.“ 1m”是“复数 2()(1mi（其中 i是虚数单位）为纯虚数”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B.【解析】试题分析：由题意得， 2(1)(mi是纯虚数2101m，故是必要不充分条件，故选 B.2.若集合 ，且 ，则集合 可能是（ ）0xBABA. B. C. D.2,111,0R【答案】A. 【解析】试题分析： ， ，故只有 A 符合题意，故选 A.AB3.
10、等差数列 中， 是一个与 无关的常数，则该常数的可能值的集合为（ ）na2nA B C D11,1210,2【答案】B【解析】试题分析：由题意得，因为数列 是等差数列，所以设数列 的通项公式为nana，则 ，所以 ，因为 是一个1()nad21()nd12()nd2na8与 无关的常数，所以 或 ，所以 可能是 或 ，故选 B.n10ad2na14. 西部某县委将 位大学生志愿者( 男 女) 分成两组, 分配到两所小学支教, 若要求743女生不能单独成组, 且每组最多 人, 则不同的分配方案共有（ ）5A 种 B 种 C 种 D 种366810410【答案】C【解析】试题分析：分组的方案有 3
11、、4 和 2、5 两类，第一类有 种;第二类有327(1)68A种，所以共有 N=68+36=104 种不同的方案.2273()6CA5.已知实数 满足 ，则 的取值范围为（ ）,xy10y2xyzA B C D10,3,2,310,310,3【答案】D【解析】试题分析：作出不等式组不等式的平面区域如图所示， 表示的22xyzx几何意义为区域内的点到点 的斜率 加上 2因为 、 ，所以(0,2)Pk(3,)A(1,0)C，所以由图知 或 ，所以 或 ，即4,23APCk432k或 ，故选 D10z6.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）9A. B.C. D.32
12、392916【答案】D. 【解析】试题分析：由题意得，该几何体为底面是一扇形的锥体， ，2116439V故选 D.7. 设命题 ， ；命题 ， 中0:(,)px01326x:,(0)qab,ab至少有一个不小于 2，则下列命题为真命题的是（ ）A B C Dq()pq()p()pq【答案】B因为 在 单调递增，所以 ， 假，若()3xf(0,)1()026fxf都小于 2，则 ，又根据基本不等式可得 ，1,ab14ab14ab矛盾， 真q8. 已知函数 ，在 处取得极大值，记 ,程序框图如321fxax11gxf图所示，若输出的结果 ，则判断框中可以填人的关于 的判断条件是（ ）045Sn10
13、A ？ B ？ C ？ 2014n2015n2014nD ？5【答案】B【解析】试题分析： ，程 111130, ,3 1fagxgnn序框图的作用是求其前 项和，由于 ，故再循环一次就满足n20152045S，故填 .20145S20159. 已知 ， ， 为平面上三个不共线的定点，平面上点 满足1A3 M（ 是实数） ，且 是单位向量，则这样的点21()M123A有（ ）A0 个 B1 个 C2 个 D无数个【答案】C.【解析】试题分析：由题意得， ， ，1123()MAA212MA，313A ，如下图所示，设 为 的中点，2123() D23 与 为共起点且共线的一个向量，显然直线 与以
14、 为圆心13()AD1A1的单位圆有两个交点，故这样的点 有两个，即符合题意的点 有两个，故选 C.M1110.已知在三棱锥 中， ， ， ，平面PABC1PBC2ABC平面 ，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）PABA B C D32323【答案】B.【解析】试题分析：如下图所示，设球心为 ，则可知球心 在面 的投影在 外心，即OABC中点 处，取 中点 ，连 ， ， ， ，由题意得， 面 ，ACEABFPEOPFABC在四边形 中，设 ，半径POh， ，即球心即为 中点，表22213()()0rhr32r面积 ，故选 B.243Sr1211. 双曲线 的左焦点 ,离心率
15、，过点 斜率为 的直线交双曲)0(12bayxFeF1线的渐近线于 两点， 中点为 ,若 等于半焦距，则 等于 BA、 M2（ ）A. B. C. 或 D. 32323答案：B分析： 与 联立，得 可求yxc20yab2,|2|()|MMacxFxcb12. 如图，棱长为 的正方体 ，点 在平面 内，平面41ABCDA与平面 所成的二面角为 ，则顶点 到平面 的距离的最大值ABCD03是 （ ）A. B. C. D.222321答案：B分析：直线 CA 在平面 上移动， CA 与平面 所成线面角在变化的过程中，当线面角与二面角重叠时线面角最大。二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，
16、共 20 分，把答案填在题中的横线上 ）13. 的展开式中 项的系数为_.1()x2x【答案】 . 2【解析】试题分析：由二项式定理可知 中， ，令 ，可知 的系数为4(1)x14rrTCx22x，令 ，可知 的系数为 ，故 的展开式中 的系数为246C3r3344()，故填： .214. 已知某次数学考试的成绩服从正态分布 ，则 114 分以上的成绩所占的百分2(10,)N比为 （附： ,0.682, 0.954PXPX(3P13)3)0.974X【解析】由已知得 ，故(1)330.974PXPX(1)P0.974.320.%15. 已知 为第二象限角， ，则 的值为 2sin()410ta
17、n【解析】由 展开得 ，平方得 ，2sin()410sinco5112sinco25所以 ，从而 ，因为 为第2ico5249(i)si二象限角，故 ，因此 ，因为 ，7sn3cos52kk，所以 ， ，则kZ42kkZ1costan16.已知方程 有 个不同的实数根，則实数 的取值范围是 23ln0xa4【答案】 0,e【解析】试题分析：定义域为 ，令 ，这是一个偶函数，我们只需研0x23lnfxax究 上的零点即可，此时 ，当0x 221l, axff时，函数单调递增，至多只有一个零点，不合题意；当 时，函数在区间a 0a上单调增，在区间 上单调减，要有两个零点，只需10,21,2a，解得
18、 .3lnln0fa 20,ea14三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分 12 分）如图，在 ABC中，已知点 D在边 BC上，且 0AD， 2sin3BAC，32， 3.（1）求 AD长； （2）求 cosC.试题解析：（1） 0，则 AD，sinsi()cs2BCB，即 co3AD，在 中，由余弦定理，可知22cosBBAD，即 8150，解得 5，或 3， ABD， 3；6分（2）在 ABD中，由正弦定理，可知 sinsi.又由 2cos3，可知 1i3BAD， sin63ABD. ABC， 6cosC.12 分 1
19、8. 如图，在直三棱柱 中，平面 侧面 ，111AB且 12（1）求证： ；AB（2）若直线 与平面 所成角的大小为 ，求锐二面角 的大小C130 1ACB15【解析】 （1）如图，取 的中点 ，连接 .1ABDA因为 ，所以 .A由平面 侧面 ，且平面 侧面 ，1C11C11BA得 平面 . （3 分）DB又 平面 ，所以 ，1ADB因为三棱柱 是直三棱柱，则 底面 ，1C1ABC所以 1B又 ，从而 侧面 ，又 侧面 ，A1B1A故 （6 分）C过点 作 于点 ，连接 ，由（1）知 平面 ，则 ，A1ECDEA1BC1AD又 ， ，DA 即为二面角 的一个平面角. （9 分）1B16在直角
20、 中， ，1AC1263ACE又 ， ，2D90 ，23sin6EA又二面角 为锐二面角， ，1CB60AED即二面角 的大小为 （12 分）60解法二（向量法）：由（1）知 且 底面 ，所以以点 为原点，以ABC1ABC所在直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系 .1BCA、 、 xyzxyz设 ，则 ， ， ， ， ，a0,2,0,0a1,2,0a， ， .1,a1A设平面 的一个法向量 ，由 ， ，得 .1ABC1,xyzn1BCn1A20xyz令 ，得 ，则 . y0,xz0设直线 与平面 所成的角为 ，则 ，13所以 ，211sin304ACa解得 ， 即 2a,0又设平面 的一个
21、法向量为 ，同理可得 .1AC2n21,0设锐二面角 的大小为 ，则 ，1B1212cos,|n由 ，得 .0,26017锐二面角 的大小为 （12 分） 1ACB6019. 某商场计划销售某种产品，现邀请生产该产品的甲、乙两个厂家进场试销 10 天两个厂家提供的返利方案如下：甲厂家每天固定返利 70 元，且每卖出一件产品厂家再返利2 元；乙厂家无固定返利，卖出 40 件以内（含 40 件）的产品，每件产品厂家返利 4 元，超出 40 件的部分每件返利 6 元分别记录其 10 天内的销售件数，得到如下频数表：甲厂家销售件数频数表销售件数38 39 40 41 42天数 2 4 2 1 1乙厂家
22、销售件数频数表销售件数38 39 40 41 42天数 1 2 2 4 1（）现从甲厂家试销的 10 天中抽取两天，求一天销售量大于 40 而另一天销售量小于 40的概率；（）若将频率视作概率，回答以下问题：记乙厂家的日返利额为 （单位：元） ，求 的分布列和数学期望；XX商场拟在甲、乙两个厂家中选择一家长期销售，如果仅从日返利额的角度考虑，请利用所学的统计学知识为商场作出选择，并说明理由（）设乙产品的日销售量为 a，则18当 时， ；38a4152X当 时， ；96当 时， ；400当 时， ；1a41当 时， ；2267X 的所有可能取值为：152,156,160,166,1726 分 的
23、分布列为152 156 160 166 172p105210 9 分1()266726150EX依题意，甲厂家的日平均销售量为：，380.9.40.1.4.1395甲厂家的日平均返利额为： 元，73952由得乙厂家的日平均返利额为 162 元（149 元） ，推荐该商场选择乙厂家长期销售 12 分20 （本题满分 12 分）设椭圆 ： ，其中长轴是短轴长的 倍，过焦E21(0)xyab2点且垂直于 轴的直线被椭圆截得的弦长为 。23（I）求椭圆 的方程；（II）点 是椭圆 上动点，且横坐标大于 ，点 ， 在 轴上，PBCy内切于 ，试判断点 的横坐标为何值时 的面积 最小。1)(2yxBCPP
24、S20. 解: （I）由已知 ，解得： ，故所求椭圆方程为：3,2ab6,32ba193 分162yx（II）设 ， .不妨设 ，则直线 的),(0P)320x,(mB),0(nCnmPB方程为 ，即 ，又圆心 到ylB0:000xyy ),1(直线 的距离为 ，即 ， ，化简得P11)(|200xmy0，5 分2)(00xmx同理 ，所以 是方程0nyn,的两个根，所以 ， ，2)(00xx 20xym20xn则 7 分2002)(84)(xynm因为 是椭圆上的点，所以 ， ，),(0yxP)12(600x202)(48)(xnm则 ，2020202 )(4)(4841xxS 200)(9
25、 分令 ，则 ，令 化简tx20 )13(0t 2)(8)(ttf，则 ，2261)(tttf 332 )16(16)( tttf 令 ，得 ，而，所以函数 在 上单调递0tf 133t )(f)(,0减，当 即 即点 的横坐标为 时，的 面积 最小。)1(2t20xP320xPBCS12 分21 （本题满分 12 分）20已知函数 2lnafxxR（I）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；2ayf1,f（II）若 在 处取得极小值，求实数 的取值范围()()gxfaxa（II）由已知得 ，则 ，记2()ln(1)agxxlngxa，则 ，5 分()lhx0h1当 ， 时， ，函数 单调递增，所
26、以当 时，0a,xgx 0,1x，当 时， ，所以 在 处取得极小值，满足题gx10g1意7 分当 时， ，当 时， ，故函数 单调递增，0a1(,)xa()hxgx可得当 时， ， 时， ，所以 在 处取得极,1x0g0g1小值，满足题意9 分当 时，当 时， ， 在 内单调递增； 时，1a(0,1)x0hxgx0,1(1,)x， 在 内单调递减，所以当 时， ， 单()0hxg0g调递减，不合题意当 时，即 ，当 时， ， 单调递减，1a1a,1xa()0hxx，当 时， ， 单调递减， ，所以 在0gx,()0hg 0ggx处取得极大值，不合题意1综上可知，实数 的取值范围为 12 分a
27、1a22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程21已知曲线 E 的极坐标方程为 ，倾斜角为 的直线 l 过点 P (2，2).costan4（1）求曲线 E 的直角坐标方程和直线 的参数方程；l（2）设 l1, l2是过点 P 且关于直线 x=2 对称的两条直线， l1与 E 交于 A, B 两点， l2与 E 交于 C, D 两点. 求证：| PA| : |PD|=|PC| : |PB|.选修 4-5：不等式选讲：23 （本小题满分 10 分）设函数 .|2|)(xaxf（1）若函数 f(x)有最大值，求 a 的取值范围；（2）若 a=1，求不等式 f(x)|2 x-3|的
28、解集选修 44：坐标系与参数方程：22解：（1） E:x2=4y(x0), l: (t 为参数) 5 分sin2coty（2） l1, l2关于直线 x=2 对称, l1, l2的倾斜角互补.设 l1的倾斜角为 ，则 l2的倾斜角为 - ,把直线 l1: (t 为参数)代入 x2=4y 并整理得： t2cos2 +4(cos -sin )t-sincotyx4=0,根据韦达定理， t1t2= ,即| PA|PB|= .8 分cos42cos4同理即| PC|PD|= = .)(22s| PA|PB|=|PC|PD|,即| PA | : |PD|=|PC | : |PB|. 10 分选修 45：不等式选讲：23解：（1） ,2 分2,)1()xaxf f(x)有最大值，1- a0 且 1+a0,4 分解得 a-1.最大值为 f(2)=2 5 分（2）即| x-2|-|2x-3|+x0.设 g(x)= |x-2|-|2x-3|+x= , 7 分2,135,x由 g(x)0 解得 x .原不等式的解集为 x|x . 10 分2122
