1、1第 1 讲 函数及其表示考纲解读 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念(重点)2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数(重点)3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)(难点)考向预测 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点预测 2020 年会考查函数的解析式与分段函数的应用，可能涉及函数的求值、函数图象的判断及最值的求解.1函数与映射2函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数 y f(x)， x A 中， x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫做函数的 定义域；与 x01 的值相对应的
2、 y 值叫做 函数值，函数值的集合 f(x)|x A叫做函数的 值域02 03 2(2)函数的三要素： 定义域、 对应关系和 值域04 05 06 (3)函数的表示法表示函数的常用方法有 解析法、 图象法和 列表法07 08 09 3分段函数(1)定义：若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的 对应关01 系，这样的函数通常叫做分段函数(2)分段函数的相关结论分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 并集，值域等于各段函数的值域的02 并集03 1概念辨析(1)对于函数 f： A B，其值域就是集合 B.( )(2)若两个函数的定义
3、域与值域相同，则这两个函数相等( )(3)A1,4,9， B3，2，1,1,2,3f： x x 的平方根是 A 到 B 的映射( )(4)分段函数是一个函数，而不是两个或多个函数( )答案 (1) (2) (3) (4)2小题热身(1)下列图形中可以表示为以 M x|0 x1为定义域，以 N y|0 y1为值域的函数的是( )答案 C解析 观察图形可知，B，D 不是函数图象，A 中函数的值域不是 y|0 y1，故选 C.(2)函数 y 的定义域为( )2x 31x 3A. B(，3)(3，)32， )3C. (3，) D(3，)32， 3)答案 C解析 由Error!解得 x 且 x3，所以已
4、知函数的定义域为 (3，)32 32， 3)(3)下列函数中，与函数 y x1 是相等函数的是( )A y( )2 B y 1x 1 3x3C y 1 D y 1x2x x2答案 B解析 对于 A，函数 y( )2的定义域为 x|x1，与函数 y x1 的定义域不x 1同，不是相等函数；对于 B，定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于 C，函数y 1 的定义域为 x|x0，与函数 y x1 的定义域不同，不是相等函数；对于 D，x2x定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数(4)若函数 f(x)Error!则 ff(1)的值为( )A10 B10 C2 D2答案 C解析 f(1)2 142，
5、 ff(1) f(2)2(2)22.(5)函数 y f(x)的图象如图所示，那么， f(x)的定义域是_；值域是_；其中只有唯一的 x 值与之对应的 y 值的范围是_(图中，曲线 l 与直线m 无限接近，但永不相交)答案 3,01,4) 1，) 1,2)(5，)解析 观察函数 y f(x)的图象可知， f(x)的定义域为3,01,4)，值域是1，)，当 y1,2)(5，)时，只有唯一的 x 值与之对应题型 函数的定义域一41函数 y 的定义域为( )1 x22x2 3x 2A(，1 B1,1C1,2)(2，) D. 1， 12) ( 12， 1答案 D解析 由Error!得1 x1，且 x ，
6、所以函数 y 的定义域为12 1 x22x2 3x 2 ，故选 D. 1， 12) ( 12， 12函数 f(x)的定义域是2，)，则函数 y 的定义域是( )f 2xx 2A1，) B(，1C1,2)(2，) D2，)答案 C解析 依题意，Error!解得 x1 且 x2，所以函数 y 的定义域是1,2)f 2xx 2(2，)1函数 y f(x)的定义域2抽象函数的定义域的求法(1)若已知函数 f(x)的定义域为 a， b，则复合函数 fg(x)的定义域由 a g(x) b求出如举例说明 2 中 f(x)的定义域是2，)； f(2x)中 x 应满足 2x2.(2)若已知函数 fg(x)的定义
7、域为 a， b，则 f(x)的定义域为 g(x)在 x a， b时的值域 51(2018潍坊二模)函数 f(x) lg (3 x25 x2)的定义域为_11 x答案 (13， 1)解析 由Error!得Error! 所以 1)2x 1解析 令 t 1，则由 x0 知 11， x ，所以由 f lg x，得 f(t)2x 2x 2t 1 (2x 1)lg (t1)，所以 f(x)lg (x1)2t 1 2x 12已知 f x2 x2 ，则 f(x)_.(x1x)答案 x22( x2 或 x2)解析 因为 f x2 x2 22，(x1x) (x 1x)且当 x0 时， x 2；当 x (成立)；8
8、3 23 53若 a (舍去)，综上 a .43 53 233设函数 f(x) 则使得 f(x)3 成立的 x 的取值范围是_答案 (，27解析 当 x8 时，2e x8 23，此时 f(x)3 恒成立；当 x8 时，由 x 3 得 x 27，此时 x 的取值范围为 8 x27.综上所述， x 的取值范围为(，271求分段函数的函数值(1)基本步骤确定要求值的自变量属于哪一区间代入该区间对应的解析式求值(2)两种特殊情况当出现 ff(a)的形式时，应从内到外依次求值如举例说明 2.当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点如举例说明 2，求 f 后再求 f 要
9、分类讨论(23) f(23)2求分段函数的参数或自变量的值(或范围)的方法求某条件下参数或自变量的值(或范围)，先假设所求的值或范围在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值或范围，切记代入检验，看所求的自变量的值或范围是否满足相应各段自变量的取值范围 1(2018河南郑州三模)设函数 f(x)Error!则 ff(4)_.9答案 1解析 ff(4) f(1642) f(10)1.2函数 f(x)Error!若 f(a) a，则实数 a 的取值范围是_答案 1，)解析 当 a0 时，由 f(a) a1 a，解得 a2，所以 a0；当 a0 时，由 f(a)12 a，解得1 a1，所以1 a0.综上所述，实数 a 的取值范围是1，)1a
