1、1第 5 讲 指数与指数函数考纲解读 1.理解有理指数幂的含义，掌握指数幂的运算，并能通过具体实例了解实数指数幂的意义2.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性并掌握指数函数的图象及其通过的特殊点(重点、难点)3.通过具体实例，了解指数函数模型的实际背景，并体会指数函数是一类重要的函数模型考向预测 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的命题热点预测 2020 年高考主要与函数的图象、最值、比较大小、指数函数图象过定点为命题方向；也有可能与其他知识相结合进行考查.1根式2有理数指数幂(1)幂的有关概念正数的正分数指数幂： a (a0， m， nN *且 n1)mn nam2正数的负分数指数幂：
2、a (a0， m， nN *且 n1)mn 1amn 1nam0 的正分数指数幂等于 0；0 的负分数指数幂 没有意义01 02 (2)有理数指数幂的性质 aras ar s(a0， r， sQ)；03 ( ar)s ars(a0， r， sQ)；04 ( ab)r arbr(a0， b0， rQ)05 3指数函数的图象与性质y ax (a0 且 a1) a1 00，且 a1)，则 m0，且 a1)的图象可能是( )3答案 C解析 函数 y ax a 的图象过点(1,0)，排除 A，B，D.(2)化简 的结果是_ x3x答案 x解析 由题意得 x0，且 a1)的图象经过点 A ，则 f(1)_
3、.(2，13)答案 3解析 依题意可知 a2 ，解得 a ，13 33所以 f(x) x，所以 f( 1) 1 .(33) (33) 3(4)若指数函数 f(x)( a2) x为减函数，则实数 a 的取值范围为_答案 (2，1)解析 因为指数函数 f(x)( a2) x为减函数，所以 00， a1)的图象恒过点 A，下列函数中图象不经过点 A 的是( )A y B y| x2|1 xC y2 x1 D ylog 2(2x)答案 A解析 函数 f(x) ax1 (a0，且 a1)的图象恒过点 A(1,1)，经检验知，只有选项 A中函数的图象不经过点 A.2(2018青岛模拟)函数 f(x)2 1
4、 x的大致图象为( )答案 A解析 函数 f(x)2 1 x在 R 上是减函数，其图象过点(0,2)，故选 A.条件探究 1 举例说明 2 中函数改为 f(x)2 |x1| ，其图象是( )6答案 B解析 f(x)2 |x1| Error!所以 f(x)在(，1上单调递减，在(1，)上单调递增，故排除 A，C，D.条件探究 2 举例说明 2 中函数改为 y2 1 x m，若此函数的图象不经过第一象限，则 m 的取值范围如何？解 因为 y2 1 x m x1 m，函数 y x1 的图象如图所示，(12) (12)则要使函数 y2 1 x m 的图象不经过第一象限，则 m2.(1)画指数函数 y
5、ax(a0，且 a1)的图象，应抓住三个关键点：(1， a)，(0,1)，.如举例说明 1.( 1，1a)(2)指数函数图象的应用已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到特别地，当底数 a 与 1 的大小关系不确定时应注意分类讨论7(3)指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如图所示，其中 0bc B bac C cab D cba答案 A解析 因为 a(2 2)0.82 1.6， b(2 3)0.462 1.38， c(2 1 )1.2 2
6、 1.2，函数 y2 x在 R 上单调递增，且 1.20，即 a1 时，122a(1 a)4 a1 ，此方程无解综上所述， a .123不等式 2 x22 x x4 的解集为_(12)答案 x|1 x4 ，(12)x22 x x4 ，(12) (12) x22 x0，且 a1)型函数最值问题多用换元法，即令 t ax转化为 y t2 bt c 的最值问题，注意根据指数函数求 t 的范围(2)形如 y af(x)(a0，且 a1)型函数最值问题，可令 t f(x)，则 y at，先由 x 的取值范围求 t 的取值范围，再求 y at的最值如举例说明 4.4对于形如 y af(x)的函数的单调性(
7、1)若 a1，函数 f(x)的单调增(减)区间即函数 y af(x)的单调增(减)区间；(2)若 0bc B acbC cab D bca10答案 A解析 指数函数 y0.4 x为减函数，0.20.40.6， bc.幂函数 y x0.2为增函数，20.4，2 0.20.40.2， ab， abc.2函数 f(x) x22 x1的单调减区间为_(12)答案 (，1解析 设 u x22 x1，因为 y u在 R 上为减函数，(12)所以函数 f(x) x22 x1的单调减区间即为函数 u x22 x1 的单调增区(12)间又 u x22 x1 的单调增区间为(，1，所以 f(x)的单调减区间为(，13设函数 f(x)Error!若 f(a)3.又 a0，3 a0.当 a0 时，不等式 f(a)1 可化为 1.a0 a1，综上， a 的取值范围为(3,1)11
