1、1第 3 讲 基本不等式考纲解读 1.了解基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单的最值问题(重点)2.掌握基本不等式内容， “一正二定三相等”缺一不可，能对“积”与“和”相互转化，掌握“拆添项”与“配凑因式”的技巧(难点)考向预测 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点预测 2020 年将会考查利用基本不等式求最值或比较大小，也可能与其他知识综合考查，体现基本不等式的工具性试题难度不大，但技巧性强，灵活多变，客观题或解答题均可能出现.1基本不等式设 a0， b0，则 a、 b 的算术平均数为 ，几何平均数为 ，基本不等式可叙05 a b2 06 ab述为 两个正数的算术平均数不小于
2、它们的几何平均数07 2利用基本不等式求最值问题已知 x0， y0，则：(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x y 时， x y 有 最小值是 2 (简记： 积01 p 02 定和最小)(2)如果和 x y 是定值 p，那么当且仅当 x y 时， xy 有 最大值是 (简记： 和定03 p24 04 积最大)注：应用基本不等式求最值时，必须考察“一正、二定、三相等” ，忽略某个条件，就会出现错误23几个重要的不等式(1)a2 b22 ab(a， bR)(2) 2( a， b 同号)ba ab(3)ab 2(a， bR)(a b2 )(4) 2 (a， bR)，(a b2 ) a2 b
3、222(a2 b2)( a b)2(a， bR)(5) ab(a， bR)a2 b22 a b 24(6) (a0， b0)a2 b22 a b2 ab 21a 1b1概念辨析(1)两个不等式 a2 b22 ab 与 成立的条件是相同的( )a b2 ab(2)函数 y x 的最小值是 2.( )1x(3)函数 f(x)sin x 的最小值为 2.( )4sinx(4)x0 且 y0 是 2 的充要条件( )xy yx答案 (1) (2) (3) (4)2小题热身(1)已知 f(x) x 2( x0，所以 x 2 2，当且仅当 x 即 x1 时等号成立所以1 x x 1 x 1 xx 2.所以
4、 f(x) x 24.即 f(x)有最大值4.1x 1x(2)设 x0， y0，且 x y18，则 xy 的最大值为( )A80 B77 C81 D82答案 C解析 由基本不等式 18 x y2 9 xy81，当且仅当 x y 时， xy 有最xy xy3大值 81，故选 C.(3)已知 lg alg b2，则 lg (a b)的最小值为( )A1lg 2 B2 2C1lg 2 D2答案 A解析 由 lg alg b2，可知 a0， b0，则 lg (ab)2，即 ab100.所以 a b2 2 20，ab 100当且仅当 a b10 时取等号，所以 lg (a b)lg 201lg 2.故
5、lg (a b)的最小值为 1lg 2.(4)一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 18 m，则这个矩形的长为_m，宽为_m 时菜园面积最大答案 15 152解析 设矩形的长为 x m，宽为 y m则 x2 y30，所以 S xy x(2y)12 122 ，当且仅当 x2 y，即 x15， y 时取等号(x 2y2 ) 2252 152题型 利用基本不等式求最值一角度 1 直接应用1(2019沈阳模拟)已知 a b0，求 a2 的最小值1b a b解 a b0， a b0. a2 a2 a21b a b 1(b a b2 )2 4a22 4，当且仅当 b a b， a22
6、， a b0，即 a ， b 时取等号a24a2 2 22 a2 的最小值是 4.1b a b角度 2 拼凑法求最值2求 f(x)4 x2 的最大值14x 5(x0， y0， x2 y2 xy8，则 x2 y 的最小值为( )A3 B4 C. D.92 112答案 B解析 因为 x0， y0，且 x2 y2 xy8，所以 x2 y82 xy8 2.(x 2y2 )整理得( x2 y)24( x2 y)320，解得 x2 y4 或 x2 y8.又 x2 y0，所以 x2 y4.故 x2 y 的最小值为 4.条件探究 把举例说明 3 的条件“ x2 y2 xy8”改为“4 xy x2 y4” ，其
7、他条件不变，求 xy 的最小值解 因为 x0， y0 且 4xy x2 y4，所以 4xy4 x2 y2 .2xy整理可得 2xy 20.解得 2 即 xy2，所以 xy 的最小值为 2.2xy 2xy角度 4 常数代换法求最值(多维探究)4若直线 1( a0， b0)过点(1,1)，则 a b 的最小值等于( )xa ybA2 B3 C4 D5答案 C解析 解法一：因为直线 1( a0， b0)过点(1,1)，xa yb所以 1.1a 1b所以 a b( a b) 2 22 4，当且仅当 a b2 时取“” ，(1a 1b) ab ba abba所以 a b 的最小值为 4.解法二：因为直线
8、 1( a0， b0)过点(1,1)，xa yb所以 1，1a 1b所以 b 0，所以 a1， a10，aa 1所以 a b a a a1 2aa 1 a 1 1a 1 1a 12 24. a 1 1a 15当且仅当 a1 即 a2 时等号成立，所以 a b 的最小值为 4.1a 1条件探究 将举例说明 4 条件变为“ x0， y0 且 1” ，求 x y 的最小值1x 9y解 x0， y0， y9 且 x .yy 9 x y y yyy 9 y 9 9y 9 y 1( y9) 10.9y 9 9y 9 y9， y90. y9 102 1016.9y 9 y 9 9y 9当且仅当 y9 ，即
9、y12 时取等号9y 9又 1，则 x4.1x 9y当 x4， y12 时， x y 取最小值 16.1拼凑法求解最值应注意的问题(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的条件2通过消元法求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解如举例说明 4 解法二3常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为 1；(3)
10、把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式如举例说明 4 解法一(4)利用基本不等式求解最值 1若正数 x， y 满足 x23 xy10，则 x y 的最小值是( )A. B. C. D.23 223 33 2336答案 B解析 对于 x23 xy10 可得 y ，13(1x x) x y 2 (当且仅当 x 时等号成立)故选 B.2x3 13x 29 223 222(2018天津高考)已知 a， bR，且 a3 b60，则 2a 的最小值为18b_答案 14解析 因为 a3 b60，所以 a3 b6,2 a 2 a 2 a2 3 b218b 123b2 2 ，所2a2
11、 3b 2a 3b 2 614(当 且 仅 当 2a 18b 18， 即 a 3， b 1时 取 等 号 )以 2a 的最小值为 .18b 14题型 基本不等式的综合应用二角度 1 基本不等式中的恒成立问题1当 x 时，2sin 2x asin2x10 恒成立，则实数 a 的取值范围是(0， 2)_答案 (， 3解析 当 x 时，sin2 x0，(0， 2)原不等式可化为 asin2x2sin 2x1，a .2sin2x 1sin2x设 f(x) ，则2sin2x 1sin2xf(x) tanx .2sin2x sin2x cos2x2sinxcosx 32 12tanx因为 x ，所以 ta
12、nx0.(0， 2)所以 f(x) tanx 2 ，32 12tanx 32tanx12tanx 3当且仅当 tanx ，即 tanx 时等号成立，32 12tanx 33所以 f(x)min ，所以 a .3 3角度 2 基本不等式与其他知识的综合问题72(2018西安模拟)若 ABC 的内角满足 sinA sinB2sin C，则 cosC 的最小值是2( )A. B.6 24 6 24C. D.6 22 6 22答案 A解析 由正弦定理，得 a b2 c.2所以 cosC a2 b2 c22ab a2 b2 (a 2b2 )22ab .3a2 2b2 22ab8ab 26ab 22ab8
13、ab 6 24当且仅当 3a22 b2，即 a b 时，等号成立3 2所以 cosC 的最小值为 .6 24基本不等式的综合运用常见题型及求解策略(1)应用基本不等式判断不等式的成立性或比较大小，有时也与其他知识进行综合命题，结合函数的单调性进行大小的比较(2)利用基本不等式研究恒成立问题，以求参数的取值范围为主，如举例说明 1.(3)与其他知识综合考查求最值问题，此时基本不等式作为求最值时的一个工具，常出现于解三角形求最值、解析几何求最值问题等如举例说明 2. 1已知 f(x)3 2x( k1)3 x2，当 xR 时， f(x)恒为正值，则 k 的取值范围是( )A(，1) B(，2 1)2
14、C(1,2 1) D(2 1,2 1)2 2 2答案 B解析 由 32x( k1)3 x20 恒成立，得 k13 x .23x3 x 2 ， k12 ，即 k2 1.23x 2 2 22设等差数列 an的公差是 d，其前 n 项和是 Sn，若 a1 d1，则 的最小值是( )Sn 8anA. B.92 72C2 D2 212 2 128答案 A解析 an a1( n1) d n， Sn ，n 1 n2 Sn 8an n n 12 8n 12(n 16n 1) ，12(2n16n 1) 92当且仅当 n4 时取等号 的最小值是 .故选 A.Sn 8an 92题型 基本不等式在实际问题中的应用三某
15、厂家拟在 2017 年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用 m 万元( m0)满足 x3 (k 为常数)，如果不搞促销活动，那么km 1该产品的年销售量只能是 1 万件已知生产该产品的固定投入为 8 万元，每生产一万件该产品需要再投入 16 万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5 倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)(1)将 2017 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 m 万元的函数；(2)该厂家 2017 年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解 (1)由题意知，当 m0 时， x1(万件)，13 k，
16、 k2， x3 .2m 1由题意可知每件产品的销售价格为 1.5 (元)，8 16xx2017 年的利润 y1.5 x 816 x m8 16xx 29( m0)16m 1 m 1 (2)当 m0 时， ( m1)2 8，16m 1 16 y82921，当且仅当 m1，即 m3(万元)时， ymax21(万元)16m 1故该厂家 2017 年的促销费用投入 3(万元)时，厂家的利润最大为 21 万元利用基本不等式求解实际问题的求解策略(1)根据实际问题抽象出目标函数的表达式，再利用基本不等式求得函数的最值9(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数(3)解应用题时，一定要注意变量的
17、实际意义及其取值范围(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解提醒：利用基本不等式求最值时，一定要结合变量的实际意义验证等号是否成立 (2018成都诊断)某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4 千米时，运费为 20 万元，仓储费为 5 万元，当工厂和仓库之间的距离为_千米时，运费与仓储费之和最小，最小为_万元答案 2 20解析 设工厂和仓库之间的距离为 x 千米，运费为 y1万元，仓储费为 y2万元，则y1 k1x(k10)， y2 (k20)，k2x工厂和仓库之间的距离为 4 千米时，运费为 20 万元，仓储费用为 5 万元， k15， k220，运费与仓储费之和为 万元，(5x20x)5 x 2 20，当且仅当 5x ，即 x2 时，运费与仓储费之和最小，20x 5x20x 20x为 20 万元
