1、1单元检测(五) 四边形(考试用时:90 分钟 满分:120 分)一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分)1.如图,在 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,添加下列条件不能判定 ABCD 是菱形的只有 ( )A.AC BD B.AB=BCC.AC=BD D.1 =2答案 C解析 A.正确 .对角线相等是平行四边形的菱形 .B.正确 .邻边相等的平行四边形是菱形 .C.错误 .对角线相等的平行四边形是矩形,不一定是菱形 .D.正确 .可以证明平行四边形 ABCD 的邻边相等,即可判定是菱形 .2.如图,在菱形 ABCD 中, AC=8,BD=6,则 ABC 的
2、周长是 ( )A.14 B.16 C.18 D.20答案 C解析 在菱形 ABCD 中, AC=8,BD=6,AB=BC , AOB=90,AO=4,BO=3,BC=AB= =5,42+32 ABC 的周长 =AB+BC+AC=5+5+8=18.3.如图,在矩形 OACB 中, A(-2,0),B(0,1).若正比例函数 y=kx 的图像经过点 C,则 k 的取值为( )A.- B.12 12C.-2 D.2答案 A解析 A (-2,0),B(0,1),OA= 2,OB=1, 四边形 OACB 是矩形,2BC=OA= 2,AC=OB=1, 点 C 在第二象限, C 点坐标为( -2,1), 正
3、比例函数 y=kx 的图像经过点 C,- 2k=1,k=- .124.如图,矩形纸片 ABCD 中, AD=4 cm,把纸片沿直线 AC 折叠,点 B 落在 E 处, AE 交 DC 于点 O,若 AO=5 cm,则 AB 的长为( )A.6 cm B.7 cm C. 8cm D. 9cm答案 C解析 根据折叠前后角相等可知 BAC= EAC, 四边形 ABCD 是矩形, AB CD, BAC= ACD, EAC= ACD,AO=CO= 5cm,在直角三角形 ADO 中, DO= =3cm,AB=CD=DO+CO=3+5=8cm.AO2-AD25.如图,在 ABCD 中,用直尺和圆规作 BAD
4、 的平分线 AG 交 BC 于点 E.若 BF=8,AB=5,则 AE 的长为( )A.5 B.6 C.8 D.12答案 B解析 连接 EF,AE 与 BF 交于点 O, 四边形 ABCD 是平行四边形, AB=AF, 四边形 ABEF 是菱形,AE BF,OB= BF=4,OA= AE.12 12AB= 5,在 Rt AOB 中, AO= =3,25-16AE= 2AO=6.36.(2018 山东临沂)如图,点 E、 F、 G、 H 分别是四边形 ABCD 边 AB、 BC、 CD、 DA 的中点 .则下列说法: 若 AC=BD,则四边形 EFGH 为矩形; 若 AC BD,则四边形 EFG
5、H 为菱形; 若四边形 EFGH 是平行四边形,则 AC 与 BD 互相平分; 若四边形 EFGH 是正方形,则 AC 与 BD 互相垂直且相等 .其中正确的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.4答案 A解析 因为一般四边形的中点四边形是平行四边形,当对角线 BD=AC 时,中点四边形是菱形,当对角线AC BD 时,中点四边形是矩形,当对角线 AC=BD,且 AC BD 时,中点四边形是正方形,故 选项正确 .7.(2018 浙江宁波)如图,在 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,E 是边 CD 的中点,连接 OE.若 ABC=60, BAC=80,则1 的度数为( )A.
6、50 B.40 C.30 D.20答案 B解析 ABC=60, BAC=80, BCA=180-60-80=40, 对角线 AC 与 BD 相交于点 O,E 是边 CD 的中点, EO 是 DBC 的中位线, EO BC, 1 = ACB=40.8.(2018 山东威海)矩形 ABCD 与 CEFG,如图放置,点 B,C,E 共线,点 C,D,G 共线,连接 AF,取 AF 的中点 H,连接 GH.若 BC=EF=2,CD=CE=1,则 GH=( )A.1 B. C. D.23 22 52答案 C解析 如图,延长 GH 交 AD 于点 P,4 四边形 ABCD 和四边形 CEFG 都是矩形,
7、ADC= ADG= CGF=90,AD=BC=2,GF=CE=1,AD GF, GFH= PAH,又 H 是 AF 的中点, AH=FH ,在 APH 和 FGH 中, PAH= GFH,AH=FH, AHP= FHG, APH FGH(ASA),AP=GF= 1,GH=PH= PG,12PD=AD-AP= 1,CG= 2、 CD=1,DG= 1,则 GH= PG= .12 12 PD2+DG2= 229.(2018 江苏宿迁)如图,菱形 ABCD 的对角线 AC、 BD 相交于点 O,点 E 为边 CD 的中点,若菱形 ABCD的周长为 16, BAD=60,则 OCE 的面积是( )A.
8、B.2 C.2 D.43 3答案 A解析 菱形 ABCD 的周长为 16, 菱形 ABCD 的边长为 4, BAD=60, ABD 是等边三角形,又 O 是菱形对角线 AC、 BD 的交点,AC BD,在 Rt AOD 中, AO= =2 ,AC= 2AO=4 ,AD2-OD2= 16-4 3 3S ACD= ODAC= 24 =4 ,12 12 3 3又 O 、 E 分别是中点, OE AD, COE CAD, ,OEAD=125 ,S COES CAD=14S COE= S CAD= 4 .14 14 3= 310.(2018 山东潍坊)如图,菱形 ABCD 的边长是 4 cm, B=60
9、,动点 P 以 1 cm/s 的速度自 A 点出发沿 AB 方向运动至 B 点停止,动点 O 以 2 cm/s 的速度自 B 点出发沿折线 BCD 运动至 D 点停止 .若点 P,Q同时出发运动了 t 秒,记 BPQ 的面积为 S cm2,下面图象中能表示 S 与 t 之间的函数关系的是( )答案 D解析 当 0 t0)的顶点为 C,与 x 轴的正半轴交于点 A,它的对称轴与抛物线 y=ax2(a0)交于点 B.若四边形 ABOC 是正方形,则 b 的值是 .答案 -2解析 四边形 ABOC 是正方形, 点 B 的坐标为 - ,- .b2a b2a 抛物线 y=ax2过点 B,- =a - 2
10、,b2a b2a解得 b1=0(舍去), b2=-2.三、解答题(本大题共 6 小题,共 58 分)19.(6 分)(2018 湖南湘潭)如图,在正方形 ABCD 中, AF=BE,AE 与 DF 相交于点 O.(1)求证: DAF ABE;(2)求 AOD 的度数 .(1)证明 四边形 ABCD 是正方形, DAB= ABC=90,AD=AB,在 DAF 和 ABE 中,AD=AB, DAF= ABE=90,AF=BE, DAF ABE(SAS).(2)解 由(1)知, DAF ABE, ADF= BAE, ADF+ DAO= BAE+ DAO= DAB=90, AOD=180-( ADF+
11、 DAO)=90.20.(10 分)(2018 湖南娄底)如图,已知四边形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,且 OA=OC,OB=OD,过 O 点作 EF BD,分别交 AD,BC 于点 E,F.9(1)求证: AOE COF;(2)判断四边形 BEDF 的形状,并说明理由 .(1)证明 OA=OC ,OB=OD, 四边形 ABCD 是平行四边形,AD BC, EAO= FCO,在 AOE 和 COF 中, EAO= FCO,OA=OC, AOE= COF, AOE COF(ASA).(2)解 结论:四边形 BEDF 是菱形, AOE COF,AE=CF ,AD=BC ,DE=
12、BF ,DE BF, 四边形 BEDF 是平行四边形,OB=OD ,EF BD,EB=ED , 四边形 BEDF 是菱形 .21.(10 分)(2018 贵州安顺)如图,在 ABC 中, AD 是 BC 边上的中线, E 是 AD 的中点,过点 A 作 BC 的平行线交 BE 的延长线于点 F,连接 CF.(1)求证: AF=DC;(2)若 AB AC,试判断四边形 ADCF 的形状,并证明你的结论 .(1)证明 AF BC, AFE= DBE,E 是 AD 的中点, AD 是 BC 边上的中线,AE=DE ,BD=CD,在 AFE 和 DBE 中 AFE= DBE, FEA= BED,AE=
13、DE, AFE DBE(AAS),AF=BD ,AF=DC.(2)解 四边形 ADCF 是菱形,10证明: AF BC,AF=DC, 四边形 ADCF 是平行四边形,AC AB,AD 是斜边 BC 的中线,AD= BC=DC,12 平行四边形 ADCF 是菱形 .22.(10 分)(2018 江苏连云港)如图,矩形 ABCD 中, E 是 AD 的中点,延长 CE,BA 交于点 F,连接 AC,DF.(1)求证:四边形 ACDF 是平行四边形;(2)当 CF 平分 BCD 时,写出 BC 与 CD 的数量关系,并说明理由 .(1)证明 四边形 ABCD 是矩形,AB CD, FAE= CDE,
14、E 是 AD 的中点, AE=DE ,又 FEA= CED, FAE CDE(ASA),CD=FA ,又 CD AF, 四边形 ACDF 是平行四边形;(2)解 BC=2CD.证明: CF 平分 BCD, DCE=45, CDE=90, CDE 是等腰直角三角形, CD=DE ,E 是 AD 的中点, AD= 2CD,AD=BC ,BC= 2CD.23.(10 分)(2018 山东潍坊)如图,点 M 是正方形 ABCD 边 CD 上一点,连接 AM,作 DE AM 于点E,BF AM 于点 F,连接 BE.(1)求证: AE=BF;(2)已知 AF=2,四边形 ABED 的面积为 24,求 E
15、BF 的正弦值 .(1)证明 四边形 ABCD 为正方形,11BA=AD , BAD=90,DE AM 于点 E,BF AM 于点 F, AFB=90, DEA=90, ABF+ BAF=90, EAD+ BAF=90, ABF= EAD,在 ABF 和 DAE 中 BFA= DEA, ABF= EAD,AB=DA, ABF DAE(AAS),BF=AE ;(2)解 设 AE=x,则 BF=x,DE=AF=2, 四边形 ABED 的面积为 24, xx+ x2=24,解得 x1=6,x2=-8(舍去),12 12EF=x- 2=4,在 Rt BEF 中, BE= =2 ,42+62 13 si
16、n EBF= .EFBE= 4213=2131324.(12 分)(2018 四川自贡)如图,抛物线 y=ax2+bx-3 过 A(1,0),B(-3,0),直线 AD 交抛物线于点 D,点 D 的横坐标为 -2,点 P(m,n)是线段 AD 上的动点 .(1)求直线 AD 及抛物线的解析式;(2)过点 P 的直线垂直于 x 轴,交抛物线于点 Q,求线段 PQ 的长度 l 与 m 的关系式, m 为何值时, PQ 最长?(3)在平面内是否存在整点(横、纵坐标都为整数) R,使得 P,Q,D,R 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出点 R 的坐标;若不存在,说明理由 .解 (1)把(1,
17、0),( -3,0)代入函数解析式,得 ,解得 ,a+b-3=09a-3b-3=0 a=1b=2抛物线的解析式为 y=x2+2x-3;当 x=-2 时, y=(-2)2+2(-2)-3,解得 y=-3,即 D(-2,-3).设直线 AD 的解析式为 y=kx+b,将 A(1,0),D(-2,-3)代入,得,解得 ,直线 AD 的解析式为 y=x-1;k+b=0-2k+b= -3 k=1b= -1(2)设 P 点坐标为( m,m-1),Q(m,m2+2m-3),l=(m-1)-(m2+2m-3)化简,得 l=-m2-m+212配方,得 l=- m+ 2+ ,当 m=- 时, l 最大 = ;12 94 12 94(3)DR PQ 且 DR=PQ 时, PQDR 是平行四边形,由(2)得 0PQ ,又 PQ 是正整数,94PQ= 1,或 PQ=2.当 PQ=1 时, DR=1,-3+1=-2,即 R(-2,-2),-3-1=-4,即 R(-2,-4);当 PQ=2 时, DR=2,-3+2=-1,即 R(-2,-1),-3-2=-5,即 R(-2,-5),综上所述: R 点的坐标为( -2,-2),(-2,-4),(-2,-1),(-2,-5),使得以 P,Q,D,R 为顶点的四边形是平行四边形 .
