1、1单元检测(四) 图形初步与三角形(考试用时:90 分钟 满分:120 分)一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分)1.如图,三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上 .若1 =35,则2 的度数是 ( )A.35 B.45C.55 D.65答案 C解析 1 +3 =90,1 =35, 3 =55, 2 =3 =55.2.已知下列命题: 若 1,则 ab; 若 a+b=0,则 |a|=|b|; 等边三角形的三个内角都相等; 底角ab相等的两个等腰三角形全等 .其中原命题与逆命题均为真命题的个数是( )A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个答案 A解析 当 b1,那么
2、 a0)上,点 B1的坐标为(2,0) .过 B13x作 B1A2 OA1交双曲线于点 A2,过 A2作 A2B2 A1B1交 x 轴于点 B2,得到第二个等边 B1A2B2;过 B2作B2A3 B1A2交双曲线于点 A3,过 A3作 A3B3 A2B2交 x 轴于点 B3,得到第三个等边 B2A3B3;以此类推,则点 B6的坐标为 . 答案 (2 ,0)6解析 如图,作 A2C x 轴于点 C,设 B1C=a,则 A2C= a,3OC=OB1+B1C=2+a,A2(2+a, a).3 点 A2在双曲线 y= (x0)上,3x (2+a) a= ,3 3解得 a= -1,或 a=- -1(舍去
3、),2 2OB 2=OB1+2B1C=2+2 -2=2 ,2 2 点 B2的坐标为(2 ,0);2作 A3D x 轴于点 D,设 B2D=b,则 A3D= b,3OD=OB2+B2D=2 +b,A2(2 +b, b).2 2 3 点 A3在双曲线 y= (x0)上,3x9 (2 +b) b= ,2 3 3解得 b=- ,或 b=- (舍去),2+ 3 2- 3OB 3=OB2+2B2D=2 -2 +2 =2 ,2 2 3 3 点 B3的坐标为(2 ,0);3同理可得点 B4的坐标为(2 ,0)即(4,0);,4 点 Bn的坐标为(2 ,0),n 点 B6的坐标为(2 ,0).6三、解答题(本大
4、题共 6 小题,共 58 分)19.(8 分)(2018 贵州铜仁)已知:如图,点 A,D,C,B 在同一条直线上, AD=BC,AE=BF,CE=DF,求证:AE BF.证明 AD=BC ,AC=BD ,在 ACE 和 BDF 中, AC=BD,AE=BF,CE=DF, ACE BDF(SSS), A= B,AE BF.20.(8 分)(2018 浙江杭州)阅读下列题目的解题过程:已知 a,b,c 为 ABC 的三边,且满足 a2c2-b2c2=a4-b4,试判断 ABC 的形状 .解 a 2c2-b2c2=a4-b4(A)c 2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2)(B)c 2=a2
5、+b2(C) ABC 是直角三角形问:(1)上述解题过程,从哪一步开始出现错误?请写出该步的代号: ; (2)错误的原因为: ; (3)本题正确的结论为: . 解 (1)由题目中的解答步骤可得,错误步骤的代号为:C;(2)错误的原因为:没有考虑 a=b 的情况,(3)本题正确的结论为: ABC 是等腰三角形或直角三角形 .21.(10 分)如图,在 ABC 中, AD BC 于 D,BD=AD,DG=DC,E,F 分别是 BG,AC 的中点 .10(1)求证: DE=DF,DE DF;(2)连接 EF,若 AC=10,求 EF 的长 .(1)证明 AD BC, ADB= ADC=90,在 BD
6、G 和 ADC 中, BD=AD, BDG= ADC,DG=DC, BDG ADC(SAS),BG=AC , BGD= C, ADB= ADC=90,E,F 分别是 BG,AC 的中点,DE= BG=EG,DF= AC=AF,DE=DF , EDG= EGD, FDA= FAD, EDG+ FDA=90,DE DF;12 12(2)解 AC= 10,DE=DF= 5,由勾股定理得, EF= =5 .DE2+DF2 222.(10 分)(2018 湖南张家界)2017 年 9 月 8 日10 日,第六届翼装飞行世界锦标赛在我市天门山风景区隆重举行,来自全球 11 个国家的 16 名选手参加了激烈
7、的角逐 .如图,某选手从离水平地面 1 000 米高的 A 点出发( AB=1 000 米),沿俯角为 30的方向直线飞行 1 400 米到达 D 点,然后打开降落伞沿俯角为 60的方向降落到地面上的 C 点,求该选手飞行的水平距离 BC.解 过点 D 作 DE AB 于 E,DF BC 于点 F,由题意知 ADE=30, CDF=30,在 Rt DAE 中 .AE= AD= 1400=700,12 12cos ADE= ,DEAD= 32DE=1400 =70032 3EB=AB-AE=1000-700=300DF=BE=300tan CDF=FCDF= 3311FC=300 =10033
8、3BC=BF+FC=DE+FC= 700 +100 =800 (米) .3 3 323.(10 分)在 ABC 中, A=30,点 P 从点 A 出发以 2 cm/s 的速度沿折线 A-C-B 运动,点 Q 从点 A出发以 a(cm/s)的速度沿 AB 运动, P,Q 两点同时出发,当某一点运动到点 B 时,两点同时停止运动 .设运动时间为 x(s), APQ 的面积为 y(cm2),y 关于 x 的函数图象由 C1,C2两段组成,如图 2 所示 .(1)求 a 的值;(2)求图 2 中图象 C2段的函数表达式;(3)当点 P 运动到线段 BC 上某一段时 APQ 的面积,大于当点 P 在线段
9、 AC 上任意一点时 APQ 的面积,求 x 的取值范围 .解 (1)如图,作 PD AB 于 D, A=30,PD= AP=x,12由题图 2 可知,当 x=1 时, y= ,12 a1= ,a= 1.12 12(2)如图,作 PD AB 于 D,由图象可知, PB=52-2x=10-2x,PD=PBsinB=(10-2x)sinB,y= AQPD= x(10-2x)sinB,12 12 当 x=4 时, y= , 4(10-24)sinB= ,解得 sinB= ,43 12 43 13y= x(10-2x) =- x2+ x;12 13 13 53(3) x2=- x2+ x,12 13
10、5312解得 x1=0,x2=2,由图象可知,当 x=2 时, y= x2有最大值,最大值是 22=2,12 12- x2+ x=2,13 53解得, x1=3,x2=2, 当 2x3 时,点 P 运动到线段 BC 上某一段时 APQ 的面积,大于当点 P 在线段 AC 上任意一点时 APQ 的面积 .24.(12 分)(2018 贵州安顺)如图,已知抛物线 y=ax2+bx+c(a0)的对称轴为直线 x=-1,且抛物线与 x 轴交于 A、 B 两点,与 y 轴交于 C 点,其中 A(1,0),C(0,3).(1)若直线 y=mx+n 经过 B、 C 两点,求直线 BC 和抛物线的解析式;(2
11、)在抛物线的对称轴 x=-1 上找一点 M,使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小,求出点 M 的坐标;(3)设点 P 为抛物线的对称轴 x=-1 上的一个动点,求使 PBC 为直角三角形的点的坐标 .解 (1)依题意得 解之得-b2a= -1,a+b+c=0,c=3, a= -1,b= -2,c=3, 抛物线的解析式: y=-x2-2x+3. 对称轴为 x=-1,且抛物线经过 A(1,0), 把 B(-3,0),C(0,3)分别代入直线 y=mx+n,得 ,解之得 ,-3m+n=0n=3 m=1n=3 直线 y=mx+n 的解析式为 y=x+3.(2)直线 BC 与对称轴 x=
12、-1 的交点为 M,则此时 MA+MC 的值最小,把 x=-1 代入直线 y=x+3 得 y=2,M (-1,2).即当点 M 到点的距离与到点的距离之和最小时 M 的坐标为( -1,2).(注:本题只求 M 坐标没说要证明为何此时 MA+MC 的值最小,所以答案没证明 MA+MC 的值最小的原因) .13(3)设 P(-1,t),又 B(-3,0),C(0,3),BC 2=18,PB2=(-1+3)2+t2=4+t2,PC2=(-1)2+(t-3)2=t2-6t+10, 若点 B 为直角顶点,则 BC2+PB2=PC2即:18 +4+t2=t2-6t+10 解之得 t=-2, 若点 C 为直角顶点,则 BC2+PC2=PB2即:18 +t2-6t+10=4+t2解之得 t=4, 若点 P 为直角顶点,则 PB2+PC2=BC2即:4 +t2+t2-6t+10=18 解之得t1= ,t2= .3+ 172 3- 172综上所述的坐标为( -1,-2)或( -1,4)或 -1, 或 -1, .3+ 172 3- 172
