1、12.2 一元二次不等式及其解法最新考纲 考情考向分析1.了解一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系2.会解一元二次不等式.以理解一元二次不等式的解法为主，常与集合的运算相结合考查一元二次不等式的解法，有时也在导数的应用中用到，加强函数与方程思想，分类讨论思想和数形结合思想的应用意识在高考中常以选择题的形式考查，属于低档题，若在导数的应用中考查，难度较高.一元二次不等式的解集判别式 b24 ac 0 0 0)的图象方程 ax2 bx c0(a0)的根有两相异实根x1， x2(x10(a0)的解集x|xx2Error! x|xRax2 bx c0)的解集 x|x10(a0)的解集与
2、其对应的函数 y ax2 bx c 的图象有什么关系？提示 ax2 bx c0(a0)的解集就是其对应函数 y ax2 bx c 的图象在 x 轴上方的部分2所对应的 x 的取值范围2一元二次不等式 ax2 bx c0(0 恒成立的条件是 Error!ax2 bx c0.( )(2)若不等式 ax2 bx c0 的解集是(， x1)( x2，)，则方程 ax2 bx c0 的两个根是 x1和 x2.( )(3)若方程 ax2 bx c0( a0)没有实数根，则不等式 ax2 bx c0 的解集为 R.( )(4)不等式 ax2 bx c0 在 R 上恒成立的条件是 a0，则 RA 等于 ( )
3、A x|23 D x|x2 x|x3答案 B解析 x2 x60，( x2)( x3)0， x3 或 x3 或 x0，令 3x22 x20，得 x1 ， x2 ，1 73 1 733 x22 x20 的解集为 .( ，1 73 ) (1 73 ， )题组三 易错自纠34不等式 x23 x40 的解集为_(用区间表示)答案 (4,1)解析 由 x23 x40 可知，( x4)( x1)0 的解集是 ，则 a b_.(12， 13)答案 14解析 由题意可知， x1 ， x2 是方程 ax2 bx20 的两个根，12 13Error! 解得Error! a b14.6不等式( a2) x22( a2
4、) x40， A B x|00)解 原不等式变为( ax1)( x1)0，所以 (x1)1 时，解为 1 时，不等式的解集为Error!.思维升华对含参的不等式，应对参数进行分类讨论：根据二次项系数为正、负及零进行分类根据判别式 判断根的个数有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论跟踪训练 1 解不等式 12x2 axa2(aR)解 原不等式可化为 12x2 ax a20，即(4 x a)(3x a)0，令(4 x a)(3x a)0，解得 x1 ， x2 .a4 a3当 a0 时，不等式的解集为 ；( ， a4) (a3， )当 a0 时，不等式的解集为(，0)(0，)；当 a0 时， g
5、x)在1,3上是增函数，所以 g(x)max g(3)，即 7m60，(x12) 34又因为 m(x2 x1)60 的解集为 x|10 的解集为( )A.Error! B.Error!C x|21答案 A解析 不等式 ax2 bx20 的解集为 x|10，解得Error!，故选 A.3若一元二次不等式 2kx2 kx x22 x5，设 f(x) x22 x5( x1) 24， x2,4，当 x2 时， f(x)min5，存在 x2,4使 x22 x5 mf(x)min， m5.故选 B.5若不等式 x2( a1) x a0 的解集是4,3的子集，则 a 的取值范围是( )A4,1 B4,3C
6、1,3 D1,38答案 B解析 原不等式为( x a)(x1)0，当 a1 时，不等式的解集为1， a，此时只要 a3 即可，即 1320，即 x228 x1920，即当 x1,2时，均有 x2.当 a0，即当 x1,2时，均有 x22 a2 或 a0；(2)若不等式 f(x)b 的解集为(1,3)，求实数 a， b 的值解 (1) f(x)3 x2 a(6 a)x6， f(1)3 a(6 a)6 a26 a30，即 a26 a3b 的解集为(1,3)，方程3 x2 a(6 a)x6 b0 的两根为1,3，Error!解得Error!12(2018浙江绍兴一中模拟)已知 f(x) x22 ax
7、3 a2.(1)设 a1，解不等式 f(x)0；(2)若不等式 f(x) ，且当 x1,4 a时，| f(x)|4 a 恒成立，试确定 a 的取值范围14解 (1)当 a1 时，不等式 f(x)0，即 x22 x30，解得 x3 或 x0 的解集为(，1)(3，)(2)f(x) x x2(2 a1) x3 a2，令 g(x) x2(2 a1) x3 a2，若 a0，则 f(x)1，因为| f(a)|4 a2，| f(4a)|5 a2，所以由Error! 得此不等式的解集为.综上， a 的取值范围是 .(14， 4513若不等式 a28 b2 b (a b)对于任意的 a， bR 恒成立，则实数
8、 的取值范围为_答案 8,4解析 因为 a28 b2 b (a b)对于任意的 a， bR 恒成立，所以 a28 b2 b (a b)0对于任意的 a， bR 恒成立，即 a2 ba (8 )b20 恒成立，由一元二次不等式的性质可知， 2b24( 8) b2 b2( 24 32)0，所以( 8)( 4)0，解得8 4.14已知 b， cR，若关于 x 的不等式 0 x2 bx c4 的解集为 x1， x2 x3， x4(x2 时， f( t)0， f(t)单调递增163据题意可知 f(t)min f 4 .(163) 315(2019杭州高级中学仿真测试)若关于 x 的不等式( x2 a)(
9、2x b)0 在( a， b)上恒成立，则 2a b 的最小值为_答案 0解析 要使 2a b 取得最小值，尽量考虑 a， b 取负值的情况，因此当 a0，与b0 矛盾；当 a0.综上可知，2 a b 的最小值为 0.16(2018浙江省海盐高级中学期中)已知函数 f(x) x2( a2) x2 a，若集合A xN| f(x)0，亦即 a28 a40，方程 x2( a2) x2 a0 的根为x1 ， x2 .2 a a2 8a 42 2 a a2 8a 42又 f(0)2 a，若 f(0)2 a2，此时 x2 1，2 a a2 8a 42则集合 A xN| f(x)0中至少有两个元素 0,1，不符合题意；故 f(0)2 a0， a2，此时要使集合 A xN| f(x)0中有且只有一个元素，需满足Error! 即Error!解得 a ，即 a 的取值范围是 .12 23 (12， 2312
