1、1小专题 14 教材 P124复习题T13的变式与应用【教材母题】 如图，点 E是ABC 的内心，AE 的延长线和ABC 的外接圆相交于点 D.求证：DEDB.证明：连接 BE，由点 E是ABC 的内心可知BADCAD.CADCBD，BADCBD.又ABECBE，BADABECBECBD.BEDEBD.DEDB.【问题延伸 1】 写出BED 与C 的关系：BED90 C12【问题延伸 2】 设 AD交 BC于点 F，AD 为ABC 外接圆的直径，G 为 AB上一点，且ADG C.若 BG3，AG5，求 DE的长122解：易证 AD垂直平分 BC，ADG C ADB，12 12DG 平分ADB.
2、由(1)知 BDDE，DG 垂直平分 BE.连接 GE，BGGE，DEGDBG90.BG3，AG5，GE3.AE4.设 BDDEx，则 x28 2(x4) 2，解得 x6.DE6.1(临沂中考)如图，BAC 的平分线交ABC 的外接圆于点 D，ABC 的平分线交 AD于点E.(1)求证：DEDB；(2)若BAC90，BD4，求ABC 外接圆的半径解：(1)解答同教材母题解答(2)连接 DC，BAC90，BC 是直径BDC90.BADCAD，BD4，BDCD4.BC 4 .BD2 CD2 2外接圆的半径为 2 .22如图，O 为ABC 的外接圆，BC 为直径，AD 平分BAC 交O 于点 D，点
3、 M为ABC 的内心(1)求证：BC DM；2(2)若 DM5 ，AB8，求 OM的长23解：(1)证明：连接 MC，DB，DC.点 M为ABC 的内心，MC 平分ACB.ACMBCM.BC 为直径，BAC90.AD 平分BAC，BADCAD BAC45.12DBCBCD45.BDC 为等腰直角三角形BC DC.2又DMCMACACM45ACM，而DCMBCDBCM45BCM，DMCDCM.DCDM.BC DM.2(2)作 MFBC 于点 F，MEAC 于点 E，MHAB 于点 H，连接 OM.DM5 ，2BC DM10.2而 AB8，AC 6.BC2 AB2设ABC 的内切圆半径为 r，点
4、M为ABC 的内心，MHMEMFr.四边形 AHME为正方形AHAEr，则 CECF6r，4BHBF8r.而 BFFCBC，8r6r10，计算得出 r2.MF2，CF624，OC5，OF541.在 RtOMF 中，OM .MF2 OF2 5小专题 15 与圆的切线有关的计算与证明1(怀化中考)如图，在 RtABC 中，BAC90.(1)先作ACB 的平分线交 AB边于点 P，再以点 P为圆心，PA 长为半径作P；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)(2)请你判断(1)中 BC与P 的位置关系，并证明你的结论解：(1)如图所示，P 为所求的圆(2)BC与P 相切，理由：过 P作 PDBC，
5、垂足为 D，CP 为ACB 的平分线，且 PAAC，PDCB，PDPA.PA 为P 的半径，BC 与P 相切2(永州中考)如图，已知 AB是O 的直径，过 O点作 OPAB，交弦 AC于点 D，交O 于点 E，且使PCAABC.(1)求证：PC 是O 的切线；(2)若P60，PC2，求 PE的长5解：(1)证明：连接 OC，AB 是O 的直径，ACB90，BCOACO90.OCOB，BBCO.PCAABC，BCOACP.ACPOCA90.OCP90，即 OCPC.OC 为O 的半径，PC 是O 的切线(2)P60，PC2，PCO90，OC2 ，OP2PC4.3PEOPOEOPOC42 .33(
6、黄石中考)如图，O 是ABC 的外接圆，BC 为O 的直径，点 E为ABC 的内心，连接 AE并延长交O 于点 D，连接 BD并延长至点 F，使得 BDDF，连接 CF，BE.求证：(1)DBDE；(2)直线 CF为O 的切线证明：(1)E 为ABC 的内心，DACDAB，CBEEBA.6又DBCDAC，DBEDBCCBE，DEBEABEBA，DBEDEB.DBDE.(2)连接 OD.BDDF，O 是 BC的中点，ODCF.又BC 为O 的直径，OBOD，ODBDBODAC45.BCFBOD90.OCCF.又 OC为O 的半径，直线 CF为O 的切线4(北京中考)如图，AB 为O 的直径，F
7、为弦 AC的中点，连接 OF并延长交 于点 D，过AC 点 D作O 的切线，交 BA的延长线于点 E.(1)求证：ACDE；(2)连接 CD，若 OAAEa，写出求四边形 ACDE面积的思路解：(1)证明：ED 与O 相切于点 D，ODDE.F 为弦 AC的中点，ODAC.ACDE.(2)连接 AD，易知 ADAO，又OAOD，AOD 是等边三角形，且边长为 a.可以进一步求出AOD 的面积为 a2；34根据点 A是 EO中点，可知EOD 的面积是AOD 面积的 2倍，可得EOD 的面积为a2；327等量代换可得四边形 ACDE的面积为 a2.325如图所示，MN 是O 的切线，B 为切点，B
8、C 是O 的弦且CBN45，过 C的直线与O，MN 分别交于 A，D 两点，过 C作 CEBD 于点 E.(1)求证：CE 是O 的切线；(2)若D30，BD22 ，求O 的半径 r.3解：(1)证明：连接 OB，OC.MN 是O 的切线，OBMN.CBN45，OBC45，BCE45.OBOC，OBCOCB45.OCE90.又点 C在O 上，CE 是O 的切线(2)OBBE，CEBE，OCCE，四边形 BOCE是矩形又OBOC，四边形 BOCE是正方形BECEOBOCr.在 RtCDE 中，D30，CEr，DE r.3BD22 ，r r22 .解得 r2.3 3 3即O 的半径为 2.6已知直
9、线 l与O，AB 是O 的直径，ADl 于点 D.(1)如图 1，当直线 l与O 相切于点 C时，若DAC30，求BAC 的大小；(2)如图 2，当直线 l与O 相交于点 E，F 时，若DAE18，求BAF 的大小8解：(1)连接 OC.直线 l与O 相切于点 C，OCl.又ADl，ADOC.ACODAC30.OAOC，BACACO.BACDAC30.(2)连接 BF.AEF 为 RtADE 的一个外角，DAE18，AEFADEDAE9018108.四边形 ABFE是圆内接四边形，AEFB180.B18010872.AB 是O 的直径，AFB90.BAF90B18.7(教材 P102习题 T1
10、2变式)如图，AB 是O 的直径，C 为O 上一点，AD 与过 C点的切线互相垂直，垂足为 D，AD 交O 于点 E，DE2，CD4.(1)求证：AC 平分BAD；(2)求O 的半径 R；(3)延长 AB，DC 交于点 F，OHAC 于点 H.若F2ABH，则 BH的长为 2 (直接写出)109解：(1)证明：连接 OC，FD 切O 于点 C.OCFD.ADFD.OCAD.ACODAC.OCOA，ACOCAO.DACCAO，即 AC平分DAB.(2)作 OGAE 于点 G，则 AGEG.OGCD4，OCDGR.EGR2AG.在 RtAGO 中，(R2) 24 2R 2，R5.(3)提示：连接 BE，AEB90.BEDF.FABE2ABH.BH 平分ABE.又AC 平分BAD.AHB135.CHB 是等腰三角形BCCHAH.设 BCx，AC2x，在 RtABC 中，x 2(2x) 210 2，x2 ，5BH CH2 .2 10
