1、1圆章末小结教学目标【知识与技能】掌握本章重要知识.能灵活运用有关的定理、公式解决问题【过程与方法】通过梳理本章知识，回顾解决问题中所涉及的数形结合思想，分类讨论思想的过程，加深对本章知识的理解.【情感态度】在运用本章知识解决问题过程中，进一步体会数学与生活的密切联系，增强数学应用意识，感受数学的应用价值，激发学生的兴趣.【教学重点】回顾本章知识点，构建知识体系.【教学难点】利用圆的相关知识定理解决问题.教学过程1、整体把握二、加深理解1.垂径定理及推论的应用垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.拓展：弦的垂直平
2、分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.说明：由垂径定理及其推论，可知对于一个圆和一条直线，如果具备下列五个性质中的两个，那么就具备其余三个性质.这五个性质分别为：经过圆心；垂直于弦；平分弦（不是直径）；平分弦所对的劣弧；平分弦所对的优弧.注意：此处被平分的弦不能是直径，因为在圆中，任意两条直径总是互相平分的.2.三角形内切圆的半径 r，周长 l 与面积 S 之间的关系与三角形各边都相切的圆叫做三角形内切圆.内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.2所以，三角形的内心到三角形三边的距离相等，并且一定在三角形内，三角
3、形有唯一的一个内切圆，而圆有无数个外切三角形.3.两圆相交作公共弦的问题两圆相交作公共弦的问题，往往利用圆的轴对称性构造直角三角形来解题但要注意两圆圆心分布在同侧还是异侧.3、复习新知例 1 如图,已知 AB 是 O 的直径， CD AB，垂足为点 E，如果 BE=OE,AB=10cm，求ACD 的周长 .解:连接 OC. AB 是 O 的直径， CD AB， CE=DE= CD.21AB= 10cm， AO=BO=CO=5cm. BE=OE， BE=OE= cm，5AE= cm.在 Rt COE 中， CD AB， OE2+CE2=OC2. CE= cm.215 3CD= 5 cm.同理可得
4、 AC=5 cm， AD=5 cm， ACD 的周长为 15 cm.333例 2 如图， CD 平分 ACB， DE AC，求证: DE=BC.证明： CD 平分 ACB， ACD= BCD. = .ABD DE AC， ACD= CDE， = . = .ACE = . DE=BC.ABCDE方法归纳 在同圆或等圆中,圆心角、圆周角、弧、弦之间的相等关系可以相互转化,知道其中一组量相等,则它们所对应的其他各组量也相等. 例 3 如图,在平面直角坐标系中，以 A(5,1)为圆心，以 2 个单位长度为半径的 A 交x 轴于点 B， C.解答下列问题：（1）将 A 向左平移 3 个单位长度与 y 轴
5、首次相切，得到 A.此时点 A的坐标为 (2,1) ，阴影部分的面积 S= 6 ；（2）求 BC 的长.解:连接 AC，过点 A 作 AD BC 于点 D，则 BC=2DC.由 A 点的坐标为(5，1)，可得 AD=1.又 AC=2，在 Rt ADC 中, DC= . BC=2 .3122AC方法归纳 判断点和圆、直线和圆的位置关系,常转为两点间的距离、点到直线的距离与半径比较大小解决.例 4 如图,已知 O 的半径为 1， DE 是 O 的直径，过 D 点作 O 的切线， C 点是 AD 的中点， AE 交 O 于 B 点，四边形 BCOE 是平行四边形 .（1）求 AD 的长；3（2） B
6、C 是 O 的切线吗?若是，给出证明；若不是，说明理由.解：（1）连接 BD，则 DBE=90.四边形 BCOE 是平行四边形， BC OE， BC=OE=1.在 Rt ABD 中， C 为 AD 的中点， BC= AD=1， AD=2.21（2）是.理由如下：连接 OB.由（1）得 BC OD,且 BC=OD，四边形 BCDO 是平行四边形.又 AD 是 O 的切线， OD AD.四边形 BCDO 是矩形. OB BC. BC 是 O 的切线.方法归纳 题目条件中有圆的切线时，常连接过切点的半径，证明圆的切线时，切点已知，则连半径，证垂直；切点未知，则作垂直，证半径.例 5 如图所示的是一个
7、半圆形桥洞截面示意图，圆心为 O，水位线 CD 平行于直径AB， OE CD 于点 E.（1）若水面距离洞顶最高处仅 1m，已测得水位线 CD 长为10m，求半径 OD；（2）根据设计要求,通常情况下，水位线 CD 与桥洞圆心 O 的夹角 COD=120，此时桥洞截面充水面积是多少？ (精确到 0.1m2，参考数据：3 .14， 1 .73， 1 .41)32解：（1）在 Rt ODE 中， DE=5m， OE=OD-1， OD2=OE2+DE2， OD2=(OD-1)2+DE2， OD=13m.（2） COD=120, DOE=60,由 r=13 得 OE= r= ,DE= OE= ,CD1
8、331=2DE=13 . S= 13 2-( - )= - + = +3136012326969469161.5(m 2).故此时桥洞截面充水面积是 161.5m2.4169方法归纳 圆中求阴影部分的面积,常转化为求扇形、三角形、平行四边形等的面积解决. 4、巩固练习1.在 ABC 中， C=90， AC=BC=4cm， D 是 AB 边的中点，以点 A 为圆心，4cm 为半径作圆，则 A， B， C， D 四点中,在圆内的点有( )A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2.如图，从一个直径为 4 dm 的圆形铁皮中剪出一个圆心角为 60的3扇形 ABC,并将剪下来的扇形围成一个圆锥
9、，则圆锥的底面半径为 dm. 3.已知 O 的直径为 10cm，弦 AB CD， AB=6cm， CD=8cm，求 AB 和 CD 的距离.4.如图， AB 是 O 的弦，半径 OC， OD 分别交 AB 于点 E， F，且 AE=BF，请你找出与 的数量关系，并给予证明.ACBD5.如图， AB 是 O 的直径， C 为圆周上一点， BD 是 O 的切线， B 为切点.4（1）在图中， BAC=30，求 DBC 的度数.（2）在图中， BA1C=40，求 DBC 的度数.（3）在图中， BA1C= ，求 DBC 的大小.（4）通过（1）、（2）、（3）的探究，你发现了什么？用自己的语言叙述你
10、的发现.答案：1.B 2.1 3.解：（1）当 AB， CD 在圆心的同侧时，如图 1，过点 O 作 OM AB 交 AB 于点 M，交CD 于点 N，连接 OB， OD，得 Rt OMB，Rt OND，然后由勾股定理，求得 OM=4cm， ON=3cm.故 AB 和 CD 的距离为 1cm.（2）当 AB， CD 在圆心的异侧时，如图 2，仍可求得 OM=4cm， ON=3cm.故 AB 和 CD 的距离为 7cm.所以 AB 和 CD 的距离为 1cm 或 7cm.4.解： 与 相等.证明如下：连接 OA， OB，则 OAB= ABO.ACBD OA=OB， AE=BF， OAE OBF，
11、即 AOC= BOD，即 = .ACBD5.解:（1）30.（2）连接 AC，由（1）可得 DBC=40.（3）连接 AC，由（1）可得 DBC= .（4）在图中， BAC= DBC，在图、图中， CBD= BAC，由此可得：圆的切线与弦所成的角等于它所夹的弧所对的圆周角.五、归纳小结你能完整地回顾本章所学的有关圆的知识吗？你学会了哪些与圆有关的证明方法？你还有什么疑问？布置作业从教材复习题 24 中选取教学反思本节课通过学习归纳本章内容，以垂径定理、内切圆、两圆相交作公共弦等知识点为支撑，力求以点带面，查漏补缺，让学生对本章知识了然于胸，此外，又通过两个有关切线的例题，加强对重点知识的训练.使学生能在全面掌握知识点的前提下，又能抓住重点.
