1、1圆章末小结与提升旋转 定义性质 对应点到旋转中心的距离相等对应点与旋转中心的连线所成的角相等,都等于 旋转角 旋转前、后的图形全等 圆相关概念 弦与直径弧、半圆、优弧、劣弧 等圆与等弧 基本性质 垂径定理及推论(轴对称性)弧、弦、圆心角之间的关系(旋转不变性) 圆周角定理及推论圆内接四边形的性质 与圆有关的位置关系点与圆的位置关系 点在圆外点在圆上点在圆内 直线和圆的位置关系 相离相切相交 (切线的性质与判定) 正多边形和圆 相关概念正多边形的计算正多边形的画法 弧长和扇形面积 弧长公式、扇形面积公式圆柱和圆锥的侧面积、全面积 类型 1 旋转的性质及应用1.2如图, ABC 绕着点 O 按顺
2、时针方向旋转 90后到达了 CDE 的位置,下列说法中不正确的是 (C)A.线段 AB 与线段 CD 互相垂直B.线段 AC 与线段 CE 互相垂直C.点 A 与点 E 是两个三角形的对应点D.线段 BC 与线段 DE 互相垂直2.如图所示,已知 BAD 和 BCE 均为等腰直角三角形, BAD= BCE=90,M 为 DE 的中点 .过点 E 与 AD 平行的直线交射线 AM 于点 N.(1)当 A,B,C 三点在同一直线上时(如图 1),求证: M 为 AN 的中点;(2)将图 1 中 BCE 绕点 B 旋转,当 A,B,E 三点在同一直线上时(如图 2),求证: CAN 为等腰直角三角形
3、;(3)将图 1 中 BCE 绕点 B 旋转到图 3 的位置时,那么(2)中的结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由 .解:(1) M 为 DE 的中点, DM=EM.AD EN, ADM= NEM,又 DMA= EMN, DMA EMN,AM=MN ,即 M 为 AN 的中点 .(2)由(1)中 DMA EMN 可知 DA=EN,又 DA=AB ,AB=NE.3 ABC= NEC=135,BC=EC, ABC NEC,AC=CN , ACB= NCE, BCE= BCN+ NCE=90, BCN+ ACB=90, ACN=90, CAN 为等腰直角三角形 .(3)成立 .证明
4、:由(2)可知 AB=NE,BC=CE, ABC=360-45-45- DBE=270- DBE.AD EN, ADM= NEM,又 NEC= CEB+ BEN=45+ BED+ NEM=45+45+ BDE+ BED=90+(180- DBE)=270- DBE, ABC= NEC. ABC NEC,再同(2)可证 CAN 为等腰直角三角形, (2)中的结论仍然成立 .类型 2 垂径定理及推论1.如图所示,在 O 中,半径 OD弦 AB 于点 C,连接 AO 并延长交 O 于点 E,连接 EC,若AB=8,CD=2,则 EC 的长度为 (D)A.2 B.85C.2 D.210 132.人工浮
5、床又称人工浮岛,自 20 年前人类开发出第一个人工浮床之后,就将人工浮床应用于地表水体的污染治理和生态修复 .近年来,我国的人工浮床技术开发及应用正好处于快速发4展时期 .如图所示,是我市在某湖面上为净化水质而搭建的一个水上圆形人工浮床示意图,其中圆和三块边长为 16 米的正方形是浮岛框架部分,被分割成的 7部分将运用无土技术分别栽培 7 种不同的水生植物,正方形的顶点 A,B,C,D 都在圆上,且整个浮床成轴对称图形,求这个圆形人工浮床的半径 .解:设过点 D 的垂线与 HF 的交点为 Q,连接 BD 交 EF 于点 P,过点 P 作 PO BD 交 HG 于点 O,连接 OB.在 BEP
6、与 DQP 中, BEP DQP, E= DQP, EPB= DPQ,BE=DQ, PB=PD , 点 O 为圆心,BD= =40,PB= 20,PE= =12,PH= 4, E= BPO=90, EBP+322+242 202-162 EPB= EPB+ HPO=90, EBP= HPO, PBE OPH, ,HO= 3,PHBE=HOPEOG= 13,OB= =5 ,162+132 17 这个圆形人工浮床的半径为 5 米 .17类型 3 圆周角定理及推论典例 1 如图, A,B,C 是圆 O 上的三点,且四边形 ABCO 是平行四边形, OF OC 交圆 O 于点 F,则 BAF等于 (
7、)5A.12.5 B.15C.20 D.22.5【解析】连接 OB. 四边形 ABCO 是平行四边形, OC AB,又OA=OB=OC ,OA=OB=OC=AB , AOB 为等边三角形,OF OC,OC AB,OF AB, BOF= AOF=30,由圆周角定理得 BAF= BOF=15.12【答案】 B【针对训练】1.(贺州中考)如图,在 O 中, AB 是 O 的直径, AB=10, ,点 E 是点 D 关于 AB 的对称AC=CD=DB点, M 是 AB 上的一动点,下列结论: BOE=60; CED= DOB;DM CE;CM+DM 的最12小值是 10.上述结论中正确的个数是 (C)
8、A.1 B.2 C.3 D.42.(永州中考)如图,四边形 ABCD 是 O 的内接四边形, D 是 的中点, E 是 上的一点,若AC BC CED=40,则 ADC= 100 . 类型 4 切线的性质与判定典例 2 如图, ABC 内接于 O,AC 为 O 的直径,6PB 是 O 的切线, B 为切点, OP BC,垂足为 E,交 O 于点 D,连接 BD.(1)求证: BD 平分 PBC;(2)若 O 的半径为 1,PD=3DE,求 OE 及 AB 的长 .【解析】(1)连接 OB.PB 是 O 的切线,OB PB, PBO=90, PBD+ OBD=90,OB=OD , OBD= OD
9、B,OP BC, BED=90, DBE+ BDE=90, PBD= EBD,BD 平分 PBC.(2)作 DK PB 于点 K. ,S BDES BDP=12BEED12PBDK=DEDP又 BD 平分 PBE,DE BE,DK PB,DK=DE , ,BEPB=EDPD=13 OBE+ PBE=90, PBE+ P=90, OBE= P, OEB= BEP=90, BEO PEB, , ,BOPB=OEBE OEBO=BEPB=13BO= 1,OE= ,13OE BC,BE=EC ,7AO=OC ,AB= 2OE= .23【针对训练】1.(日照中考)如图, AB 是 O 的直径, PA 切
10、 O 于点 A,连接 PO 并延长交 O 于点 C,连接AC,AB=10, P=30,则 AC 的长度是 (A)A.5 B.5 C.5 D.3 2522.(永州中考)如图,线段 AB 为 O 的直径,点 C,E 在 O 上, ,CD AB,垂足为 D,连接BC=CEBE,弦 BE 与线段 CD 相交于点 F.(1)求证: CF=BF;(2)若 cos ABE= ,在 AB 的延长线上取一点 M,使 BM=4, O 的半径为 6.求证:直线 CM 是 O45的切线 .解:(1)延长 CD 交 O 于点 G.CD AB, ,BC=BG , ,BC=CE CE=BG CBE= GCB,CF=BF.(
11、2)连接 OC 交 BE 于点 H.8 ,OC BE,BC=CE在 Rt OBH 中,cos OBH= ,BHOB=45BH= 6= ,45 245OH= ,OB2-BH= 62-(245)2=185 , ,OHOC=1856=35,OBOM= 66+4=35 OHOC=OBOM HOB= COM, OHB OCM, OCM= OHB=90,OC CM, 直线 CM 是 O 的切线 .类型 5 正多边形与圆的有关计算1.如图,将正六边形 ABCDEF 放在平面直角坐标系中,中心与坐标原点重合,若点 A 的坐标为(-1,0),则点 C 的坐标为 . (12,- 32)2.如图, O 是正六边形
12、ABCDEF 的中心,连接 BD,DF,FB.9(1)设 BDF 的面积为 S1,正六边形 ABCDEF 的面积为 S2,则 S1与 S2的数量关系是 S2=2S1 ; (2) ABF 通过旋转可与 CDB 重合,请指出旋转中心和最小旋转角的度数 .解:(1) S2=2S1.提示:连接 OD,OF,OB. 六边形 ABCDEF 是正六边形, BDF 是正三角形,易知 ABF, BDC, DEF, DOF, BOF, BOD 都是全等的, S 2=2S1.(2)旋转中心是 O,最小旋转角是 120.类型 6 弧长、扇形面积及圆锥侧面积典例 3 如图, AB 是 O 的直径, E 为 BC 的中点
13、, AB=4, BED=120,则图中阴影部分的面积之和为( )A. B.23 3C. D.132【解析】如图,连接 AE,OD,OE,AB 是直径, AEB=90,又 BED=120, AED=30, AOD=2 AED=60.OA=OD , AOD 是等边三角形, OAD=60,E 为 BC 的中点, AEB=90,AB=AC , ABC 是等边三角形,边长是 4, EDC 是等边三角形,边长是102, BOE= EOD=60, 和弦 BE 围成部分的面积等于 和弦 DE 围成部分的面积, 阴影BE DE部分的面积 =S EDC= 22= .34 3【答案】 A【针对训练】1.如图,半径为 1 的圆 O 与正五边形 ABCDE 相切于点 A,C,则劣弧 AC 的长度为 (B)A. B. 35 45C. D. 34 232.(长春中考)如图,在 ABC 中, BAC=100,AB=AC=4,以点 B 为圆心, BA 长为半径作圆弧,交 BC 于点 D,则 的长为 .(结果保留 ) AD 8911
