1、1圆章末小结与提升圆相关概念 弦与直径弧、半圆、优弧、劣弧 等圆与等弧 基本性质 垂径定理及推论(轴对称性)弧、弦、圆心角之间的关系 圆周角定理及推论圆内接四边形的性质 与圆有关的位置关系点与圆的位置关系 点在圆外点在圆上点在圆内 直线和圆的位置关系 相离相切相交 (切线的性质与判定) 正多边形和圆 相关概念正多边形的计算正多边形的画法 弧长和扇形面积 弧长公式: l=n R180扇形面积公式: S扇形 = n360 R2 类型 1 垂径定理及其推论典例 1 如图,在 ABC 中,已知 ACB=130, BAC=20,BC=2,以点 C 为圆心, CB为半径的圆交 AB 于点 D,则 BD 的
2、长为 . 2【解析】作 CE AB 于点 E, B=180- BAC- ACB=180-20-130=30,在 Rt BCE中, CEB=90, B=30,BC=2,BE= BC= ,CE BD,DE=BE ,BD= 2BE=2 .32 3 3【答案】 2 3【针对训练】1.如图,设 O 的半径为 r,弦的长为 a,弦与圆心的距离为 d,弦的中点到所对劣弧中点的距离为 h,则下列结论: r=d+h ; 4r2=4d2+a2; 已知 r,a,d,h 中任意两个,可求其他两个 .其中正确结论的序号是 (C)A. B. C. D.2.(南通中考)已知 AOB,作图 .步骤 1:在 OB 上任取一点
3、M,以 M 为圆心, MO 长为半径画半圆,分别交 OA,OB 于点 P,Q;步骤 2:过点 M 作 PQ 的垂线交 于点 C;PQ步骤 3:画射线 OC.则下列判断: ;MC OA;OP=PQ ;OC 平分 AOB.其中正确的个数为 (C)PC=CQA.1 B.2 C.3 D.433.如图,破残的圆形轮片上,弦 AB 的垂直平分线交弧 AB 于点 C,交弦 AB 于点 D.已知 AB=24 cm,CD=8 cm,求圆的半径 .解: 弦 AB 的垂直平分线交弧 AB 于点 C,交弦 AB 于点 D, 圆心在直线 CD 上 .如图,设圆形轮片圆心为 O,连接 OA,设圆的半径为 R,由垂径定理知
4、 AD= AB=12.12在 Rt OAD 中, OA2=OD2+AD2,R 2=122+(R-8)2,解得 R=13. 圆的半径为 13 cm.类型 2 圆心角定理、圆周角定理及其推论典例 2 如图,点 A,B,C 是 O 上的三点,且四边形 ABCO 是平行四边形, OF OC 交 O 于点 F,则 BAF等于 ()A.12.5 B.15C.20 D.22.5【解析】连接 OB, 四边形 ABCO 是平行四边形, OC AB,又 OA=OB=OC,OA=OB=AB , AOB 为等边三角形 .OF OC,OC AB,OF AB, BOF= AOF=30,由圆周角定理得 BAF= BOF=1
5、5.12【答案】 B4【针对训练】1.(贺州中考)如图,在 O 中, AB 是 O 的直径, AB=10, ,点 E 是点 D 关于 AB 的对AC=CD=DB称点, M 是 AB 上的一动点,下列结论: BOE=60; CED= DOB;DM CE;CM+DM 的12最小值是 10.其中正确的个数是(C)A.1 B.2 C.3 D.42.(永州中考)如图,四边形 ABCD 是 O 的内接四边形,点 D 是 的中点,点 E 是 上的一点 .AC BC若 CED=40,则 ADC= 100 . 类型 3 切线的性质与判定典例 3 如图, ABC 内接于 O,AC 为 O 的直径, PB 是 O
6、的切线, B 为切点, OP BC,垂足为 E,交O 于点 D,连接 BD.(1)求证: BD 平分 PBC;(2)若 O 的半径为 1,PD=3DE,求 OE 及 AB 的长 .【解析】(1)连接 OB.PB 是 O 的切线, OB PB, PBO=90,5 PBD+ OBD=90,OB=OD , OBD= ODB,OP BC, BED=90, DBE+ BDE=90, PBD= EBD,BD 平分 PBC.(2)作 DK PB 于点 K. ,S BDES BDP=12BEED12PBDK=DEPD又 BD 平分 PBE,DE BE,DK PB,DK=DE , .BEPB=DEPD=13 O
7、BE+ PBE=90, PBE+ P=90, OBE= P. OEB= BEP=90, BEO PEB, , .BOPB=OEBE OEBO=BEPB=13BO= 1,OE= .13OE BC,BE=EC.AO=OC ,AB= 2OE= .23【针对训练】1.如图,已知 ABC 中, AB=3,AC=4,BC=5,作 ABC 的角平分线交 AC 于点 D,以 D 为圆心, DA 为半径作圆,与射线交于点 E,F.有下列结论:6 ABC 是直角三角形; D 与直线 BC 相切; 点 E 是线段 BF 的黄金分割点; tan CDF=2.其中正确的结论有 (A)A.4 个 B.3 个 C.2 个
8、D.1 个2.(天水中考)如图,点 D 为 O 上一点,点 C 在直径 BA 的延长线上,且 CDA= CBD.(1)判断直线 CD 和 O 的位置关系,并说明理由;(2)过点 B 作 O 的切线 BE 交直线 CD 于点 E,若 AC=2, O 的半径是 3,求 BE 的长 .解:(1)直线 CD 和 O 的位置关系是相切 .理由:连接 OD.AB 是 O 的直径, ADB=90, DAB+ DBA=90. CDA= CBD, DAB+ CDA=90.OD=OA , DAB= ADO, CDA+ ADO=90,即 OD CE. 直线 CD 是 O 的切线,即直线 CD 和 O 的位置关系是相
9、切 .(2)AC= 2, O 的半径是 3,OC= 2+3=5,OD=3.CD= 4.CE 切 O 于点 D,EB 切 O 于点 B,DE=EB , CBE=90.设 DE=EB=x,在 Rt CBE 中,由勾股定理,得 CE2=BE2+BC2,则(4 +x)2=x2+(5+3)2.解得 x=6,即 BE=6.类型 4 正多边形与圆的有关计算71.如图,正方形 ABCD 和正 AEF 都内接于 O,EF 与 BC,CD 分别相交于点 G,H,则 的值是(C)EFGHA. B. C. D.262 2 32.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为 (A)A.3 2 1 B.4 3 2C.4 2 1
10、 D.6 4 33.等腰直角三角形的外接圆的半径为 (B)A.腰长 B.腰长的 倍22C.底边长的 倍 D.腰上的高22类型 5 弧长与扇形面积的相关计算1.如图,在 ABC 中, AB=AC.分别以 B,C 为圆心, BC 长为半径在 BC 下方画弧,设两弧交于点 D,与AB,AC 的延长线分别交于点 E,F,连接 AD,BD,CD.若 BC=6, BAC=50,则 的长度之和为 DE,DF . 1132.(德州中考)如图, AB 是 O 的直径,直线 CD 与 O 相切于点 C,且与 AB 的延长线交于点E,C 是 的中点 .BF(1)求证: AD CD;8(2)若 CAD=30, O 的
11、半径为 3,一只蚂蚁从点 B 出发,沿着 BE-EC- 爬回至点 B,求蚂蚁CB爬过的路程 .(3 .14, 1 .73,结果保留一位小数)3解:(1)连接 OC. 直线 CD 与 O 相切,OC CD, 点 C 是 的中点, DAC= EAC,BFOA=OC , OCA= EAC, DAC= OCA,OC AD,AD CD.(2) CAD=30, CAE= CAD=30,由圆周角定理,得 COE=60,OE= 2OC=6,BE=6-3=3, 的长为 = = .BC 60 3180在 Rt OCE 中, EC= =3 ,OE2-OC2= 62-32 3 蚂蚁爬过的路程 =3+3 +11 .3.3
