1、1第二章 概率(A)(时间120 分钟 满分150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1将一枚均匀骰子掷两次，下列选项可作为此次试验的随机变量的是( )A第一次出现的点数B第二次出现的点数C两次出现点数之和D两次出现相同点的种数2盒中有 10 只螺丝钉，其中有 3 只是坏的，现从盒中随机地抽取 4 只，那么 表C27C23C410示( )A恰有 1 只坏的概率B恰有 2 只好的概率C4 只全是好的概率D至多 2 只坏的概率3抛掷两枚骰子，所得点数之和为 ，那么 4表示的随机试验结果是( )A一枚是 3 点，一枚是 1 点B两枚都是 2 点C两枚都是 4 点D一
2、枚是 3 点，一枚是 1 点或两枚都是 2 点4在 4 次独立重复试验中，随机事件 A 恰好发生 1 次概率不大于恰好发生 2 次的概率，则事件 A 在一次试验中发生的概率 p 的取值范围是( )A(0,0.4 B0.4,1)C(0,0.6 D0.6,1)5一袋中装有 5 个白球和 3 个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现 10 次时停止，设停止时共取了 次球，则 P( 12)等于( )AC ( )10( )210238 58BC ( )9( )291138 58 38CC ( )9( )291158 38DC ( )9( )291138 586采用简单随机抽样从
3、个体为 6 的总体中抽取一个容量为 3 的样本，则对于总体中指定的个体 a，前两次没被抽到，第三次恰好被抽到的概率为( )A. B. C. D.12 13 15 167在一次反恐演习中，我方三架武装直升机分别从不同方位对同一目标发动攻击(各发射一枚导弹)，由于天气原因，三枚导弹命中目标的概率分别为 0.9,0.9,0.8，若至少有两枚导弹命中目标方可将其摧毁，则目标被摧毁的概率为( )A0.998 B0.046 C0.002 D0.9548设 X B(10,0.8)，则 D(2X1)等于( )A1.6 B3.2 C6.4 D12.89有 5 支竹签，编号分别为 1,2,3,4,5，从中任取 3
4、 支，以 X 表示取出竹签的最大号码，则 E(X)的值为( )A4 B4.5 C4.75 D510已知随机变量 服从正态分布 N(0， 2)，若 P( 2)0.023，则2P(2 2)等于( )A0.477 B0.628 C0.954 D0.9771110 张奖券中有 2 张有奖，甲、乙两人从中各抽 1 张，甲先抽，然后乙抽，设甲中奖的概率为 p1，乙中奖的概率为 p2，那么( )A p1p2 B p1q)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立记 为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为 0 1 2 3P 6125 a b 24125则 a_， b_.三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分)
5、17(10 分)掷 3 枚均匀硬币一次，求正面个数与反面个数之差 X 的分布列，并求其均值和方差318(12 分)甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量 X、 Y，且X、 Y 的分布列分别为：X 1 2 3P a 0.1 0.5Y 1 2 3P 0.2 b 0.3(1)求 a， b 的值；(2)计算 X、 Y 的期望与方差，并依此分析甲、乙的技术状况19(12 分)某车间的 5 台机床中的任何一台在 1 小时内需要工人照管的概率都是 ，14求 1 小时内这 5 台机床中至少有 2 台需要工人照管的概率20(12 分)生产工艺工程中产品的尺寸偏差 X(mm) N(0,22)，如
6、果产品的尺寸与现实的尺寸偏差的绝对值不超过 4 mm 的为合格品，求生产 5 件产品的合格率不小于 80%的概率(精确到 0.001)421(12 分)甲、乙、丙三名篮球运动员，各投篮一次，投中的概率如下表所示(02)0.023，知 P(2 2)12 P( 2)10.0460.954.11C 设“甲中奖”用事件 A 表示， “乙中奖”用事件 B 表示，则 P(A) p1 ， B B AB，且 B 与 AB 彼此互斥，则 P(B) P( B) P(AB)，而 P( B)210 15 A A A A ， P(AB) ，所以 P(B) p2 .810 29 845 210 19 145 845 14
7、5 1512A 由题意知 P(X0) (1 p)2 ， p .13 112 12随机变量 X 的分布列为：X 0 1 2 3P 112 13 512 16E(X)0 1 2 3 .112 13 512 16 53613.726解析 一副扑克牌中有 1 张红桃 K,13 张黑桃，事件 A 与事件 B 为互斥事件， P(A B) P(A) P(B) .152 1352 726145.515.1132解析 正面出现的次数比反面出现的次数多，则正面可以出现 4 次，5 次或 6 次，所求概率 PC ( )6C ( )6C ( )6 .4612 5612 612 113216. 37125 58125解
8、析 由题意知P( 0) P( 1 2 3) (1 p)(1 q) ，AAA15 6125P( 3) P(A1A2A3) pq .45 24125整理得 pq ， p q1.625由 pq，可得 p ， q .35 25则 a P( 1) P(A1 2 3) P( 1A2 3) P( 1 2A3) (1 p)(1 q) p(1 q)AA A A AA45 15 (1 p)q ，15 37125b P( 2)1 P( 0) P( 1) P( 3) .5812517解 X3，1,1,3，且 P(X3) ； P(X1)C ( )212 12 12 18 13 12 12； P(X1)C ( )2 ；
9、P(X3) ，38 23 12 12 38 12 12 12 18 X 的分布列为X 3 1 1 3P 18 38 38 18 E(X)3 (1) 1 3 0，18 38 38 18D(X)(30) 2 (10) 2 (10) 2 (30) 2 3.18 38 38 1818解 (1)由离散型随机变量的分布列的性质可知，a0.10.51，即 a0.4；02 b0.31，即 b0.5.(2)E(X)10.420.130.52.1，E(Y)10.220.530.32.1；D(X)(12.1) 20.4(22.1) 20.1(32.1) 20.50.89，D(Y)(12.1) 20.2(22.1)
10、20.5(32.1) 20.30.49.计算结果 E(X) E(Y)，说明甲乙射击的平均得分一样，但是 D(X)D(Y)，说明甲得分的稳定性不如乙719解 设事件 A：“1 台机床在 1 小时内需要工人照管” ，则有 P(A) .14设 X k 表示在 1 小时内有 k 台机床需要工人照管，k0,1,2,3,4,5，所以 5 台机床在 1 小时内需要照管相当于 5 次独立重复试验，而事件 A 至少发生 2 次的概率为1 P(X1) P(X0)1 ，C15(14)(34)4 C05(14)0(34)5 47128所求的概率为 .4712820解 由题意 X N(0,22)，求得 P(|X|4)
11、P(4 X4)0.954.设 Y 表示 5 件产品中合格品个数，则 Y B(5,0.954) P(Y50.8) P(Y4)C (0.954)40.046C (0.954)45 550.1910.7900.981.故生产的 5 件产品的合格率不小于 80%的概率为 0.981.21解 (1) P0 (1 p)2； P1 (1 p)22 p(1 p) p2 ，12 12 12 12 12P22 p(1 p) p2 p2 p， P3 p2，12 12 12 12 X 的分布列为X 0 1 2 3P (1 p)212 p212 12 p2 p12p212(2)E(X)0 (1 p)21( p2 )2(
12、 p2 p)3 p22 p ，12 12 12 12 12 122 p 2， p .12 3422解 记第一、二、三次射击命中目标分别为事件 A， B， C，三次都未击中目标为事件 D，依题意 P(A) ，设在 x m 处击中目标的概率为 P(x)，则 P(x) ，且 ，12 kx2 12 k1002 k5 000，即 P(x) ，5 000x2 P(B) ， P(C) ，5 0001502 29 5 0002002 18P(D)(1 )(1 )(1 ) .12 29 18 49144(1)方法一 由于各次射击都是相互独立的，该射手在三次射击中击中目标的概率 P P(A) P( B) P( C) P(A)A A B P( )P(B) P( )P( )P(C) (1 ) (1 )(1 ) .A A B12 12 29 12 29 18 95144方法二 P1 P(D)1 .49144 95144(2)依题意，设射手甲得分为 X，则 P(X3) ， P(X2) ，12 12 29 19P(X1) ， P(X0) ，12 79 18 7144 491448 E(X)3 2 1 012 19 7144 49144 .255144 8548
