1、13.3.3 点到直线的距离3.3.4 两条平行直线间的距离【选题明细表】 知识点、方法 题号点到直线的距离 1,2,6两平行线间的距离 3,5,9综合应用 4,7,8,10,11,12,131.(2017陕西西安高一期末)点 P(x,y)在直线 x+y-4=0上,O 是原点,则|OP|的最小值是( B )(A) (B)2 (C) (D)2解析:由题意可知|OP|的最小值即原点(0,0)到直线 x+y-4=0的距离 d= =2 .2.已知点(a,1)到直线 x-y+1=0的距离为 1,则 a的值为( D )(A)1 (B)-1 (C) (D)解析:由题意,得 =1,即|a|= ,所以 a= .
2、故选 D.3.(2018四川绵阳市模拟)若 P,Q分别为直线 3x+4y-12=0与 6x+8y+5=0上任意一点,则|PQ|的最小值为( C )(A) (B) (C) (D)解析:因为 = ,所以两直线平行,由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离,即 = ,所以|PQ|的最小值为 .故选 C.4.直线 l垂直于直线 y=x+1,原点 O到 l的距离为 1,且 l与 y轴正半轴有交点,则直线 l的方程是( A )(A)x+y- =0 (B)x+y+1=0(C)x+y-1=0 (D)x+y+ =0解析:因为直线 l与直线 y=x+1垂直,所以设直线 l的方程为 y=-x+b.又 l与
3、 y轴正半轴有交点,知 b0,即 x+y-b=0(b0),原点 O(0,0)到直线 x+y-b=0(b0)的距离为 =1,解得 b= (b=- 舍去),所以所求直线 l的方程为 x+y- =0.25.(2018甘肃武威凉州区期末)已知两条平行直线 l1:3x+4y+5=0,l2:6x+by+c=0间的距离为 3,则 b+c等于( D )(A)-12 (B)48 (C)36 (D)-12或 48解析:将 l1:3x+4y+5=0改写为 6x+8y+10=0,因为两条直线平行,所以 b=8.由 =3,解得 c=-20或 c=40.所以 b+c=-12或 48故选 D.6.若 A(3,2)和 B(-
4、1,4)到直线 l:mx+y+3=0的距离相等,则 m的值等于 . 解析:由题意得 = ,所以 m= 或 m=-6.答案: 或-67.一直线过点 P(2,0),且点 Q 到该直线的距离等于 4,则该直线的倾斜角为 .解析:当过 P点的直线垂直于 x轴时,Q 点到直线的距离等于 4,此时直线的倾斜角为 90,当过 P点的直线不垂直于 x轴时,直线斜率存在,设过 P点的直线为 y=k(x-2),即 kx-y-2k=0.由 d= =4,解得 k= .所以直线的倾斜角为 30.答案:90或 308.已知点 P(2,-1).(1)若一条直线经过点 P,且原点到直线的距离为 2,求该直线的一般式方程;(2
5、)求过点 P且与原点距离最大的直线的一般式方程,并求出最大距离是多少?解:(1)当 l的斜率不存在时,则直线的方程为 x=2; 当直线的斜率 k存在时,设直线方程为 y+1=k(x-2),即 kx-y-2k-1=0.由点到直线距离公式得 =2,解得 k= ,得直线方程为 3x-4y-10=0.故所求直线的方程为 x-2=0或 3x-4y-10=0.(2)由题意可得过 P点与原点 O距离最大的直线是过 P点且与 PO垂直的直线,3由 kPO=- ,得所求直线的斜率为 2.由直线方程的点斜式得 y+1=2(x-2),即 2x-y-5=0.最大距离为 = .9.两条平行线分别经过点 A(3,0),B(0,4),它们之间的距离 d满足的条件是( B )(A)00,且 d9,所以 =(-54) 2-4(81-d2)(9-d2)0,即 0d3 且 d9.综合可知,所求 d的变化范围为(0,3 .法二 如图所示,显然有 0d|AB|.而|AB|= =3 .故所求的 d的变化范围为(0,3 .(2)由图可知,当 d取最大值时,两直线垂直于直线 AB.而 kAB= = ,所以所求直线的斜率均为-3.5故所求的两条直线方程分别为y-2=-3(x-6),y+1=-3(x+3),即 3x+y-20=0和 3x+y+10=0.
