1、12.3 圆周运动的案例分析学习目标 1.通过向心力的实例分析，体会匀速圆周运动在生活、生产中的应用.2.能应用向心力和向心加速度公式分析过山车问题和火车转弯问题.3.熟练掌握应用牛顿第二定律和向心力知识分析两类竖直面内圆周运动模型的步骤和方法一、过山车1向心力：过山车到达轨道的顶部时，人与车作为一个整体，所受到的向心力是重力跟轨道对车的弹力的合力，方向向下2临界速度：当轨道对车的弹力为零时，过山车通过圆形轨道顶部时的速度此时m mg，得 v 临界 .v2R gR(1)v v 临界 时，重力恰好等于过山车做圆周运动的向心力，车不会脱离轨道(2)vv 临界 时，弹力和重力的合力提供向心力，车子不
2、会掉下来二、运动物体的转弯问题1自行车在水平路面转弯，地面对车的作用力与重力的合力提供转弯所需的向心力2汽车在水平路面转弯，所受静摩擦力提供转弯所需的向心力3火车转弯时外轨高于内轨，如图 1 所示，向心力由支持力和重力的合力提供2图 1即学即用1判断下列说法的正误(1)汽车在水平路面上正常转弯时所需要的向心力是滑动摩擦力提供的()(2)火车转弯时，内、外轨道一样高()(3)若铁路弯道的内、外轨一样高，火车通过弯道时向心力的来源是外轨的水平弹力，所以外轨容易磨损()(4)汽车行驶至凸形桥顶部时，对桥面的压力等于车重()(5)汽车行驶至凹形桥底部时，对桥面的压力大于车重()(6)绕地球做匀速圆周运
3、动的航天器中的宇航员处于完全失重状态，故不再具有重力()2飞机由俯冲转为拉起的一段轨迹可看成一段圆弧，如图 2 所示，飞机做俯冲拉起运动时，在最低点附近做半径为 r180 m 的圆周运动，如果飞行员质量 m70 kg，飞机经过最低点P 时的速度 v360 km/h，则这时飞行员对座椅的压力大小约为_( g 取 10 m/s2)图 2答案 4 589 N解析 飞机经过最低点时， v360 km/h100 m/s.对飞行员进行受力分析，飞行员在竖直面内共受到重力 G 和座椅的支持力 N 两个力的作用，根据牛顿第二定律得 N mg m ，所以 N mg m 7010 N70 N4 589 N，由v2
4、r v2r 1002180牛顿第三定律得，飞行员对座椅的压力为 4 589 N.一、分析游乐场中的圆周运动导学探究 如图 3 所示，过山车能从高高的圆形轨道顶部轰然而过，车却不掉下来，这是为什么呢？是因为过山车的车轮镶嵌在轨道的槽内、人被安全带固定的原因吗？3图 3答案 当过山车在最高点的速度大于 时，重力和轨道对车向下的弹力提供向心力，所以gR车不会掉下来，与其它因素无关知识深化 竖直平面内“绳杆模型”的临界问题1轻绳模型(如图 4 所示)图 4(1)绳(内轨道)施力特点：只能施加向下的拉力(或压力)(2)在最高点的动力学方程 T mg m .v2R(3)在最高点的临界条件 T0，此时 mg
5、 m ，则 v .v2R gR v 时，拉力或压力为零gR v 时，小球受向下的拉力或压力gR vv0 时，轮缘受哪个轨道的压力？当火车行驶速度 vv0 时，重力和支持力的合力提供的向心力不足，此时外gRtan 侧轨道对轮缘有向里的侧向压力；当火车行驶速度 vv0时， F 向 F，即所需向心力大于支持力和重力的合力，这时外轨对车轮有侧压力，以弥补向心力不足的部分当 v mg，根据牛顿第三定律得，D 正确【考点】竖直面内的圆周运动分析【题点】竖直面内的“绳”模型考点二 轻杆模型125 (多 选 )如 图 3 所 示 ， 小 球 m 在 竖 直 放 置 的 光 滑 圆 形 管 道 内 做 圆 周
6、运 动 ， 下 列 说 法 正 确 的 是 ( )图 3A小球通过最高点时的最小速度是 RgB小球通过最高点时的最小速度为零C小球在水平线 ab 以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定无作用力D小球在水平线 ab 以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定有作用力答案 BD解析 小球通过最高点的最小速度为 0，圆形管外侧、内侧都可以对小球提供弹力，小球在水平线 ab 以下时，必须有指向圆心的力提供向心力，就是外侧管壁对小球的作用力，故B、D 正确6长度为 1 m 的轻杆 OA 的 A 端有一质量为 2 kg 的小球，以 O 点为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图 4 所示，小球通过最高点时的速度为 3
7、 m/s， g 取 10 m/s2，则此时小球将( )图 4A受到 18 N 的拉力B受到 38 N 的支持力C受到 2 N 的拉力D受到 2 N 的支持力答案 D解析 设此时轻杆对小球的向下的拉力为 F，根据向心力公式有 F mg m ，代入数值可得v2rF2 N，表示小球受到 2 N 向上的支持力，选项 D 正确7如图 5 所示，质量为 m 的小球置于正方体的光滑盒子中，盒子的边长略大于球的直径某同学拿着该盒子在竖直平面内做半径为 R 的匀速圆周运动，已知重力加速度为 g，空气阻力不计，则( )13图 5A若盒子在最高点时，盒子与小球之间恰好无作用力，则该盒子做匀速圆周运动的周期为2RgB
8、若盒子以周期 做匀速圆周运动，则当盒子运动到图示球心与 O 点位于同一水平面Rg位置时，小球对盒子左侧面的力为 4mgC若盒子以角速度 2 做匀速圆周运动，则当盒子运动到最高点时，小球对盒子下面的力gR为 3mgD盒子从最低点向最高点做匀速圆周运动的过程中，球处于超重状态；当盒子从最高点向最低点做匀速圆周运动的过程中，球处于失重状态答案 A解析 由 mg m R 可得，盒子运动周期 T2 ，A 正确由 N1 m R， T1 ，4 2T2 Rg 4 2T12 Rg得 N14 mg，由牛顿第三定律可知，小球对盒子右侧面的力为 4mg，B 错误由N2 mg m 2R 得，小球以 2 做匀速圆周运动时
9、，在最高点小球对盒子上面的力为gR3mg，C 错误盒子由最低点向最高点运动的过程中，小球的加速度先斜向上，后斜向下，故小球先超重后失重，D 错误【考点】竖直面内的圆周运动分析【题点】竖直面内的“杆”模型考点三 运动物体转弯问题8.如图 6 所示，质量相等的汽车甲和汽车乙，以相等的速率沿同一水平弯道做匀速圆周运动，汽车甲在汽车乙的外侧两车沿半径方向受到的摩擦力分别为 f 甲 和 f 乙 以下说法正确的是( )图 6A f 甲 小于 f 乙B f 甲 等于 f 乙C f 甲 大于 f 乙D f 甲 和 f 乙 的大小均与汽车速率无关14答案 A解析 汽车在水平面内做匀速圆周运动，摩擦力提供做匀速圆
10、周运动的向心力，即 f F 向心 m ，由于 r 甲 r 乙 ，则 f 甲 f 乙 ，A 正确v2r9摆式列车是集电脑、自动控制等高新技术于一体的新型高速列车，如图 7 所示当列车转弯时，在电脑控制下，车厢会自动倾斜；行驶在直轨上时，车厢又恢复原状，就像玩具“不倒翁”一样假设有一摆式列车在水平面内行驶，以 360 km/h 的速度转弯，转弯半径为 1 km，则质量为 50 kg 的乘客，在转弯过程中所受到的火车给他的作用力为( g 取 10 m/s2)( )图 7A500 N B1 000 NC500 N D02答案 C解析 乘客所需的向心力 F m 500 N，而乘客的重力为 500 N，故
11、火车对乘客的作用力v2R大小 FN 500 N，C 正确F2 G2 2【考点】交通工具的转弯问题【题点】倾斜面内的转弯问题10在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低如图 8 所示，在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面低一些汽车的运动可看做是半径为 R 的圆周运动设内、外路面高度差为 h，路基的水平宽度为 d，路面的宽度为 L.已知重力加速度为 g.要使车轮与路面之间的横向(即垂直于前进方向)摩擦力等于零，则汽车转弯时的车速应等于( )图 8A. B.gRhL gRhdC. D.gRLh gRdh答案 B解析 设路面的倾角为 ，根据牛顿第二定律得 mgtan m ，又由数学知识可知
12、 tan v2R15 ，联立解得 v ，选项 B 正确hd gRhd二、非选择题11(运动物体转弯问题)如图 9 所示为汽车在水平路面做半径为 R 的大转弯的后视图，悬吊在车顶的灯左偏了 角，则：(重力加速度为 g)图 9(1)车正向左转弯还是向右转弯？(2)车速是多少？(3)若(2)中求出的速度正是汽车转弯时不打滑允许的最大速度，则车轮与地面间的动摩擦因数 是多少？答案 (1)向右转弯(2) gRtan (3)tan 解析 (1)向右转弯(2)对灯受力分析知 mgtan m 得 vv2R gRtan (3)车刚好不打滑，有 Mg M 得 tan .v2R12(轻杆模型)质量为 0.2 kg
13、的小球固定在长为 0.9 m 的轻杆一端，杆可绕过另一端 O 点的水平轴在竖直平面内转动( g10 m/s 2)求：(1)当小球在最高点的速度为多大时，球对杆的作用力为零？(2)当小球在最高点的速度分别为 6 m/s 和 1.5 m/s 时，球对杆的作用力答案 (1)3 m/s (2)6 N，方向竖直向上 1.5 N，方向竖直向下解析 (1)当 小 球 在 最 高 点 对 杆 的 作 用 力 为 零 时 ， 重 力 提 供 向 心 力 ， 则 mg m ， 解得v02Rv03 m/s.(2)v1 v0，由 牛 顿 第 二 定 律 得 ： mg F1 m ， 由 牛 顿 第 三 定 律 得 ： F1 F1， 解得v12RF16 N，方向竖直向上v2 v0，由牛顿第二定律得： mg F2 m ，由牛顿第三定律得： F2 F2，解得：v22RF21.5 N，方向竖直向下
