1、15.3 万有引力定律与天文学的新发现学习目标 1.了解万有引力定律在天文学上的应用，知道海王星、冥王星等天体的发现过程.2.会用万有引力定律计算天体质量，掌握天体质量求解的基本思路一、笔尖下发现的行星海王星的发现根据天王星的“出轨”现象，英国剑桥大学的学生亚当斯和法国青年天文学家勒维烈利用万有引力定律预言在天王星的附近还有一颗新行星，并计算出了轨道.1846 年 9 月 23 日，德国的伽勒在预言的位置附近发现了这颗行星 海王星二、哈雷彗星的预报1英国天文学家哈雷断言，1682 年天空中出现的彗星与 1531 年、1607 年出现的彗星是同一颗星并根据万有引力定律计算出这颗彗星的椭圆轨道，发
2、现它的周期约为 76 年，这颗彗星后来被称为哈雷彗星21759 年 3 月 13 日，这颗大彗星不负众望，光耀夺目地通过近日点，进一步验证了万有引力定律是正确的三、称量天体的质量太阳质量的估算1称量地球的质量(1)思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转，物体的重力等于地球对物体的万有引力(2)关系式： mg G .MmR2(3)结果： M ，只要知道 g、 R、 G 的值，就可计算出地球的质量gR2G22太阳质量的计算(1)思路：质量为 m 的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力(2)关系式： m r.GMmr2 4 2T2(3)结论： M ，只要知道行星绕太阳运动的周
3、期 T 和半径 r 就可以计算出太阳的质4 2r3GT2量(4)推广：若已知卫星绕行星运动的周期 T 和卫星与行星之间的距离 r，可计算行星的质量 M.即学即用1判断下列说法的正误(1)地球表面的物体的重力必然等于地球对它的万有引力()(2)若只知道某行星绕太阳做圆周运动的半径，则可以求出太阳的质量()(3)已知地球绕太阳转动的周期和轨道半径，可以求出地球的质量()(4)天王星是依据万有引力定律计算的轨道而发现的()(5)牛顿根据万有引力定律计算出了海王星的轨道()(6)海王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性()2已知引力常量 G6.6710 11 Nm2/kg2，重力加速度 g9.
4、8 m/s2，地球半径R6.410 6 m，则可知地球的质量约为( )A210 18 kg B210 20 kgC610 22 kg D610 24 kg答案 D一、天体质量和密度的计算导学探究1卡文迪许在实验室测出了引力常量 G 的值，他称自己是“可以称量地球质量的人” (1)他“称量”的依据是什么？(2)若还已知地球表面重力加速度 g，地球半径 R，求地球的质量和密度答案 (1)若忽略地球自转的影响，在地球表面上物体受到的重力等于地球对物体的万有引力(2)由 mg G ，得： MMmR2 gR2G3 .MV M43 R3 3g4 GR2如果知道地球绕太阳的公转周期 T 和它与太阳的距离 r
5、，能求出太阳的质量吗？若要求太阳的密度，还需要哪些量？答案 由 m 地 r 知 M 太 ，可以求出太阳的质量由密度公式 Gm地 M太r2 4 2T2 4 2r3GT2可知，若要求太阳的密度还需要知道太阳的半径M太43 R太 3知识深化 天体质量和密度的计算方法“自力更生法” “借助外援法”情景已知天体(如地球)的半径 R 和天体(如地球)表面的重力加速度 g行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动思路物体的重力近似等于天体(如地球)与物体间的万有引力： mg GMmR2 行星或卫星受到的万有引力充当向心力：G m( )2rMmr2 2T(G m )Mmr2 v2r(G m 2r)Mmr2天体质量 天
6、体(如地球)质量： MgR2G中心天体质量： M (M4 2r3GT2 rv2G或 M )r3 2G天体密度 M43 R3 3g4 RG (以 T 为例)M43 R3 3 r3GT2R3说明 利用 mg 求 M 是忽略了天体自转，GMmR2且 g 为天体表面的重力加速度由 F 引 F 向 求 M，求得的是中心天体的质量，而不是做圆周运动的行星或卫星质量例 1 假设在半径为 R 的某天体上发射一颗该天体的卫星若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为 T1，已知引力常量为 G.(1)则该天体的密度是多少？(2)若这颗卫星距该天体表面的高度为 h，测得卫星在该处做圆周运动的周期为 T2，则该天体的
7、密度又是多少？4答案 (1) (2)3GT12 3 R h3GT22R3解析 设卫星的质量为 m，天体的质量为 M.(1)卫星贴近天体表面运动时有 G m R， MMmR2 4 2T12 4 2R3GT12根据数学知识可知天体的体积为 V R343故该天体的密度为 .MV 4 2R3GT1243 R3 3GT12(2)卫星距天体表面的高度为 h 时，忽略自转有G m (R h)MmR h2 4 2T22M4 2R h3GT22 MV 4 2R h3GT2243 R3 3 R h3GT22R3注意区分 R、 r、 h 的意义：一般情况下， R 指中心天体的半径， r 指行星或卫星的轨道半径，h
8、指卫星距离星球表面的高度， r R h.针对训练 过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕 “51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为 4 天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的 .该中心恒星与太阳的质量的比值约为( )120A. B1 110C5 D10答案 B解析 由 G m r 得 MMmr2 4 2T2 r3T2已知 ， ，则 ( )3( )21，B 项正确r51r地 120 T51T地 4365 M51M地 120 3654例 2 有一星球的密度与地球相同，但它表面处的重力加速度是地球表面重力加速度的
9、4倍，求：(1)星球半径与地球半径之比；(2)星球质量与地球质量之比答案 (1)41 (2)6415解析 (1)由 mg 得 M ，所以 ， R ， GMmR2 gR2G MVgR2G43 R3 3g4 GR 3g4 G RR地 3g4 G .4 G 地3g地 gg地 41(2)由(1)可知该星球半径是地球半径的 4 倍根据 M 得 .gR2G MM地 gR2G Gg地 R地 2 641二、物体所受地球的引力与重力的关系1物体在地球表面上所受引力与重力的关系地球在不停地自转，地球上的物体随着地球自转而做圆周运动，做圆周运动需要一个向心力，所以重力不直接等于万有引力而近似等于万有引力，如图 1，
10、万有引力为 F 引 ，重力为 G，自转向心力为 F.当然，真实情况不会有这么大偏差图 1(1)物体在一般位置时F mr 2， F、 F 引 、 G 不在一条直线上，重力 G 与万有引力 F 引 方向有偏差，重力大小mgG .MmR2(2)当物体在赤道上时， F达到最大值 Fmax，Fmax mR 2，此时重力最小；Gmin F 引 Fmax G mR 2.Mmr2(3)当物体在两极时 F0G F 引 ，重力达最大值 Gmax G .Mmr2可见只有在两极处重力等于万有引力，其他位置重力小于万有引力(4)由于地球自转角速度很小，自转所需向心力很小，一般情况下认为重力近似等于万有引力， mg G
11、， g 为地球表面的重力加速度MmR22重力与高度的关系若距离地面的高度为 h，则 mg G (R 为地球半径， g为离地面 h 高度处的重力加MmR h26速度)所以在同一纬度距地面越高，物体的重力加速度越小，则物体所受的重力也越小例 3 我国航天技术飞速发展，设想数年后宇航员登上了某星球表面宇航员从距该星球表面高度为 h 处，沿水平方向以初速度 v 抛出一小球，测得小球做平抛运动的水平距离为L，已知该星球的半径为 R，引力常量为 G.求：(1)该星球表面的重力加速度；(2)该星球的平均密度答案 (1) (2)2hv2L2 3hv22 GRL2解析 (1)小球在星球表面做平抛运动，有 L v
12、t， h gt2，解得 g .12 2hv2L2(2)在星球表面满足 G mgMmR2又 M R3，解得 .43 3hv22 GRL21(天体质量的计算)(多选)1798 年，英国物理学家卡文迪许测出引力常量 G，因此卡文迪许被人们称为“能称出地球质量的人” 若已知引力常量 G，地球表面处的重力加速度 g，地球半径 R，地球上一昼夜的时间 T1(地球自转周期)，一年的时间 T2(地球公转周期)，地球中心到月球中心的距离 L1，地球中心到太阳中心的距离 L2，能计算出( )A地球的质量 M 地 gR2GB太阳的质量 M 太 4 L23GT22C月球的质量 M 月 4 2L13GT12D月球、地球
13、及太阳的密度答案 AB解析 由 G mg 解得地球的质量 M 地 ，选项 A 正确；根据地球绕太阳运动的万有M地 mR2 gR2G引力等于向心力 G M 地 L2，可得出太阳的质量 M 太 ，选项 B 正确；不M太 M地L22 4 2T22 4 2L23GT22能求出月球的质量和月球、太阳的密度，选项 C、D 错误【考点】计算天体的质量【题点】天体质量的综合问题2(天体的质量和密度的计算)一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行，要测定该行星7的密度，仅仅需要( )A测定飞船的运行周期 B测定飞船的环绕半径C测定行星的体积 D测定飞船的运行速度答案 A解析 取飞船为研究对象，由 G mR 及 M
14、 R3 ，知 ，故选 A.MmR2 4 2T2 43 3GT23(地球表面的万有引力与重力的关系)地球可近似看成球形，由于地球表面上物体都随地球自转，所以有( )A物体在赤道处受到的地球引力等于两极处，而重力小于两极处B赤道处的角速度比南纬 30大C地球上物体的向心加速度都指向地心，且赤道上物体的向心加速度比两极处大D地面上的物体随地球自转时提供向心力的是重力答案 A解析 由 F G 可知，若地球看成球形，则物体在地球表面上任何位置受到的地球引力都MmR2相等，此引力的两个分力一个是物体的重力，另一个是物体随地球自转所需的向心力在赤道上，向心力最大，重力最小，A 对地球各处的角速度均等于地球自
15、转的角速度，B错地球上只有赤道上的物体向心加速度指向地心，其他位置的向心加速度均不指向地心，C 错地面上物体随地球自转的向心力是万有引力与地面支持力的合力，D 错4(物体的运动与万有引力的结合)宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间 t 小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t 小球落回原处(取地球表面重力加速度 g10 m/s 2，空气阻力不计)(1)求该星球表面附近的重力加速度 g 星 的大小；(2)已知该星球的半径与地球半径之比为 ，求该星球的质量与地球质量之比 .R星R地 14 M星M地答案 (1)2 m/s 2 (2)180解析 (1
16、)在地球表面以一定的初速度 v0竖直上抛一小球，经过时间 t 小球落回原处，根据运动学公式可有 t .2v0g同理，在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，经过时间 5t 小球落回原处，则5t2v0g星根据以上两式，解得 g 星 g2 m/s 215(2)在天体表面时，物体的重力近似等于万有引力，即8mg ，所以 MGMmR2 gR2G由此可得， .M星M地 g星g R星 2R地 2 15 142 180一、选择题考点一 天体质量和密度的计算1已知引力常量 G、月球中心到地球中心的距离 R 和月球绕地球运行的周期 T，仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有( )A月球的质量 B地球的质量C
17、地球的半径 D地球的密度答案 B解析 由天体运动规律知 G m R 可得，地球质量 M ，由于不知地球的半径，MmR2 4 2T2 4 2R3GT2无法求地球的密度，故选项 B 正确【考点】计算天体的质量【题点】已知周期、半径求质量2若地球绕太阳的公转周期及公转轨道半径分别为 T 和 R，月球绕地球的公转周期和公转轨道半径分别为 t 和 r，则太阳质量与地球质量之比为( )A. B.R3t2r3T2 R3T2r3t2C. D.R3t2r2T3 R2T3r2t3答案 A解析 由万有引力提供向心力得 m ，即 M ，所以 .GMmR20 4 2R0T02 R03T02 M日M地 R3t2r3T2【
18、考点】计算天体的质量【题点】已知周期、半径求质量3如图 1 所示是美国的“卡西尼”号探测器经过长达 7 年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道若“卡西尼”号探测器在半径为 R 的土星上空离土星表面高 h 的圆形轨道上绕土星飞行，环绕 n 周飞行时间为 t，已知引力常量为 G，则下列关于土星质量 M 和平均密度 的表达式正确的是( )9图 1A M ， 4 2R h3Gt2 3 R h3Gt2R3B M ， 4 2R h2Gt2 3 R h2Gt2R3C M ， 4 2t2R h3Gn2 3 t2R h3Gn2R3D M ， 4 2n2R h3Gt2 3 n2R h3Gt2R3答案 D解析 设“
19、卡西尼”号的质量为 m，它围绕土星的中心做匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供， G m(R h)( )2，其中 T ，解得 M .又土星体积MmR h2 2T tn 4 2n2R h3Gt2V R3，所以 .43 MV 3 n2R h3Gt2R3【考点】天体密度的计算【题点】已知周期、半径求密度42015 年 7 月 23 日，美国宇航局通过开普勒太空望远镜发现了迄今“最接近另一个地球”的系外行星开普勒452b，开普勒452b 围绕一颗类似太阳的恒星做匀速圆周运动，公转周期约为 385 天(约 3.3107 s)，轨道半径约为 1.51011 m，已知引力常量G6.6710 11 Nm2/k
20、g2，利用以上数据可以估算出类似太阳的恒星的质量约为( )A1.810 30 kg B1.810 27 kgC1.810 24 kg D1.810 21 kg答案 A解析 根据万有引力充当向心力，有 G mr ，则中心天体的质量 M mMr2 4 2T2 4 2r3GT2kg1.810 30 kg，故 A 正确43.1421.5101136.6710 113.31072【考点】计算天体的质量【题点】已知周期、半径求质量5某火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得它运动的周期为 T，则火星的平均密度 的表达式为( k 为某个常量)( )10A kT B kTC kT2 D kT2答案 D
21、解析 根据万有引力定律得 G mR ，可得火星的质量 M ，又火星的体积MmR2 4 2T2 4 2R3GT2V R3，故火星的平均密度 ，选项 D 正确43 MV 3GT2 kT2【考点】天体密度的计算【题点】已知周期、半径求密度6 “嫦娥三号”的环月轨道可近似看成是圆轨道，观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动，发现每经过时间 t 通过的弧长为 l，该弧长对应的圆心角为 (弧度)，如图 2 所示已知引力常量为 G，由此可推导出月球的质量为( )图 2A. B. l3G t2 l3Gt2C. D.lG t2 l2G t2答案 A解析 根据弧长及对应的圆心角，可得“嫦娥三号”的轨道半径 r ，根据
22、转过的角度和l时间，可得 ，由于月球对“嫦娥三号”的万有引力提供“嫦娥三号”做圆周运动的 t向心力，可得 G m 2r，由以上三式可得 M .Mmr2 l3G t2考点二 重力与万有引力7地球半径为 R，地球表面的重力加速度为 g，若高空中某处的重力加速度为 ，则该处距g2地球表面的高度为( )A( 1) R B R2C. R D2 R2答案 A解析 万有引力近似等于重力，设地球的质量为 M，物体质量为 m，物体距地面的高度为11h，分别列式 mg， G m ，联立得 2R2( R h)2，解得 h( 1) R，选项 A 正GMmR2 MmR h2 g2 2确8据报道，最近在太阳系外发现了首颗
23、“宜居”行星，其质量约为地球质量的 6.4 倍，一个在地球表面重量为 600 N 的人在这个行星表面的重量将变为 960 N由此可推知，该行星的半径与地球半径的比值为( )A0.5 B2 C3.2 D4答案 B解析 若地球质量为 M0，则“宜居”行星质量为 M6.4 M0，由 mg G 得Mmr2 ，所以 2，选项 B 正确m0gm0g M0r02 r2M 600960 rr0 600M960M0 6006.4M0960M09火星的质量和半径分别约为地球的 和 ，地球表面的重力加速度为 g，则火星表面的重110 12力加速度约为( )A0.2 g B0.4 gC2.5 g D5 g答案 B解析
24、 在星球表面有 mg ，设火星表面的重力加速度为 g 火 ，则 0.4，GMmR2 g火g M火 R地 2M地 R火 2故 B 正确10(多选)一卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为 r，卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为 T，已知地球的半径为 R，地球表面的重力加速度为 g，引力常量为 G，不考虑地球自转，则地球的质量可表示为( )A. B. 4 2r3GT2 4 2R3GT2C. D.gR2G gr2G答案 AC解析 根据 G m r 得， M ，选项 A 正确，选项 B 错误；在地球的表面附近有Mmr2 4 2T2 4 2r3GT2mg G ，则 M ，选项 C 正确，选项 D 错误Mm
25、R2 gR2G二、非选择题11(重力与万有引力)若宇航员登上月球后，在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地若羽毛和铁锤是从高度为 h 处下落，12经时间 t 落到月球表面已知引力常量为 G，月球的半径为 R.求：(不考虑月球自转的影响)(1)月球表面的自由落体加速度大小 g 月 ；(2)月球的质量 M；(3)月球的密度答案 (1) (2) (3)2ht2 2hR2Gt2 3h2 RGt2解析 (1)月 球 表 面 附 近 的 物 体 做 自 由 落 体 运 动 h g 月 t2， 月 球 表 面 的 自 由 落 体 加 速 度 大 小12g 月 .2ht2(2)因不考虑月球自转的影响，则有 G mg 月 ，月球的质量 M .MmR2 2hR2Gt2(3)月球的密度 .MV2hR2Gt243 R3 3h2 RGt2
