1、12.1.1 离散型随机变量学习目标 1.理解随机变量及离散型随机变量的含义.2.了解随机变量与函数的区别与联系知识点一 随机变量思考 1 抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果，这种试验结果能用数字表示吗？答案 可以，可用数字 1 和 0 分别表示正面向上和反面向上思考 2 在一块地里种 10 棵树苗，成活的棵数为 x，则 x 可取哪些数字？答案 x0,1,2,3，10.梳理 (1)定义在随机试验中，可以确定一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示，数字随着试验结果的变化而变化，像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量(2)随机变量常用字母 X， Y，
2、 ， ，表示知识点二 随机变量与函数的关系相同点 随机变量和函数都是一种一一对应关系区别随机变量是随机试验的结果到实数的一一对应，函数是实数到实数的一一对应联系随机试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域2知识点三 离散型随机变量1定义：所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量2特征：(1)可用数字表示(2)试验之前可以判断其出现的所有值(3)在试验之前不能确定取何值(4)试验结果能一一列出1离散型随机变量的取值是任意的实数( )2随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个( )3离散型随机变量是指某一区间内的任意值( )类型一 随机变量的概念例 1 下列变
3、量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？并说明理由(1)某机场一年中每天运送乘客的数量；(2)某单位办公室一天中接到电话的次数；(3)明年 5 月 1 日到 10 月 1 日期间所查酒驾的人数；(4)明年某天济南青岛的某次列车到达青岛站的时间考点 随机变量及离散型随机变量的概念题点 随机变量的概念解 (1)某机场一年中每天运送乘客的数量可能为 0,1,2,3，是随机变化的，因此是随机变量(2)某单位办公室一天中接到电话的次数可能为 0,1,2,3，是随机变化的，因此是随机变量(3)明年 5 月 1 日到 10 月 1 日期间，所查酒驾的人数可能为 0,1,2,3，是随机变化的，因此是随机变量(
4、4)济南青岛的某次列车到达青岛站的时间每次都是随机的，可能提前，可能准时，也可能晚点，故是随机变量反思与感悟 随机变量的辨析方法(1)随机试验的结果具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同(2)随机试验的结果的不确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果3如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量跟踪训练 1 掷均匀硬币一次，随机变量为( )A掷硬币的次数B出现正面向上的次数C出现正面向上的次数或反面向上的次数D出现正面向上的次数与反面向上的次数之和考点 随机变量及离散型随机变量的概念题点 随机变量的概念答案 B解
5、析 掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量 ， 的取值是 0,1.A 项中，掷硬币的次数就是 1，不是随机变量；C 项中的标准模糊不清；D 项中，出现正面向上的次数和反面向上的次数的和必是 1，对应的是必然事件，试验前便知是必然出现的结果，所以不是随机变量故选 B.类型二 离散型随机变量的判定例 2 下面给出四个随机变量：某高速公路上某收费站在未来 1 小时内经过的车辆数 X 是一个随机变量；一个沿直线 y x 进行随机运动的质点，它在该直线上的位置 Y 是一个随机变量；某网站未来 1 小时内的点击量；一天内
6、的温度 .其中是离散型随机变量的为( )A B C D考点 随机变量及离散型随机变量的概念题点 离散型随机变量的概念答案 C解析 是，因为 1 小时内经过该收费站的车辆可一一列出；不是，质点在直线 y x 上运动时的位置无法一一列出；是，1 小时内网站的访问次数可一一列出；不是，1 天内的温度 是该天最低温度和最高温度这一范围内的任意实数，无法一一列出故选 C.反思与感悟 “三步法”判定离散型随机变量(1)依据具体情境分析变量是否为随机变量(2)由条件求解随机变量的值域(3)判断变量的取值能否一一列举出来，若能，则是离散型随机变量；否则，不是离散型随机变量跟踪训练 2 某座大桥一天经过的某品牌
7、轿车的辆数为 ；某网站中歌曲爱我中华4一天内被点击的次数为 ；体积为 1 000 cm3的球的半径长；射手对目标进行射击，击中目标得 1 分，未击中目标得 0 分，用 表示该射手在一次射击中的得分上述问题中的 是离散型随机变量的是( )A BC D考点 随机变量及离散型随机变量的概念题点 离散型随机变量的概念答案 B解析 由题意知中的球的半径是固定的，可以求出来，所以不是随机变量，而是离散型随机变量类型三 用随机变量表示随机试验的结果例 3 写出下列随机变量可能取的值，并说明这些值所表示的随机试验的结果(1)袋中有大小相同的红球 10 个，白球 5 个，从袋中每次任取 1 个球，取后不放回，直
8、到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；(2)一个袋中装有 8 个红球，3 个白球，从中任取 5 个球，其中所含白球的个数为 X.考点 离散型随机变量的可能取值题点 离散型随机变量的结果解 (1)设所需的取球次数为 X，则 X1,2,3,4，10,11， X i 表示前( i1)次取到的均是红球，第 i 次取到白球，这里 i1,2,3,4，11.(2)X 的所有可能取值为 0,1,2,3.X0 表示取 5 个球全是红球；X1 表示取 1 个白球，4 个红球；X2 表示取 2 个白球，3 个红球；X3 表示取 3 个白球，2 个红球反思与感悟 解答此类问题的关键在于明确随机变量的所有可能的取值，
9、以及其取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些试验结果跟踪训练 3 写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果(1)从学校回家要经过 3 个红绿灯路口，可能遇到红灯的次数 ；(2)电台在每个整点都报时，报时所需时间为 0.5 分钟，某人随机打开收音机对时间，他所等待的时间为 分钟考点 离散型随机变量的可能取值题点 离散型随机变量的取值5解 (1) 可取 0,1,2,3， 0 表示遇到红灯的次数为 0； 1 表示遇到红灯的次数为 1； 2 表示遇到红灯的次数为 2； 3 表示遇到红灯的次数为 3.(2) 的可
10、能取值为区间0,59.5内任何一个值，每一个可能取值表示他所等待的时间1下列变量中，不是随机变量的是( )A一射击手射击一次命中的环数B标准状态下，水沸腾时的温度C抛掷两枚骰子，所得点数之和D某电话总机在时间区间(0， T)内收到的呼叫次数考点 随机变量及离散型随机变量的概念题点 随机变量的概念答案 B解析 B 中水沸腾时的温度是一个确定的值210 件产品中有 3 件次品，从中任取 2 件，可作为随机变量的是( )A取到产品的件数 B取到正品的概率C取到次品的件数 D取到次品的概率考点 随机变量及离散型随机变量的概念题点 随机变量的概念答案 C解析 对于 A 中取到产品的件数，是一个常量不是变
11、量，B，D 也是一个常量，而 C 中取到次品的件数可能是 0,1,2，是随机变量3下列叙述中，是离散型随机变量的为( )A某人早晨在车站等出租车的时间B把一杯开水置于空气中，让它自然冷却，每一时刻它的温度C射击十次，命中目标的次数D袋中有 2 个黑球，6 个红球，任取 2 个，取得 1 个红球的可能性考点 随机变量及离散型随机变量的概念题点 离散型随机变量的概念答案 C4从标有 110 的 10 支竹签中任取 2 支，设所得 2 支竹签上的数字之和为 X，那么随机变6量 X 可能取得的值有_个考点 离散型随机变量的可能取值题点 离散型随机变量的取值答案 17解析 X 的可能取值为 3,4,5，
12、19，共 17 个5甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制” 用 表示需要比赛的局数，写出“ 6”时表示的试验结果考点 离散型随机变量的可能取值题点 离散型随机变量的结果解 根据题意可知， 6 表示甲在前 5 局中胜 3 局且在第 6 局中胜出或乙在前 5 局中胜 3局且在第 6 局中胜出1所谓的随机变量就是试验结果和实数之间的一个对应关系，随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应于随机试验的某一个随机事件2写随机变量表示的结果，要看三个特征：(1)可用数来表示；(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值；(3)在试验之前不能确定取值一、选择题1将一枚均匀骰子掷两次，不能作为随
13、机变量的是( )A两次掷得的点数B两次掷得的点数之和C两次掷得的最大点数D第一次掷得的点数减去第二次掷得的点数的差考点 随机变量及离散型随机变量的概念题点 随机变量的概念答案 A解析 两次掷得的点数的取值是一个数对，不是一个数2抛掷两枚骰子一次， X 为第一枚骰子掷出的点数与第二枚掷出的点数之差，则 X 的所有可能的取值为( )A0 X5， xNB5 X0， xZC1 X6， xN7D5 X5， xZ考点 离散型随机变量的可能取值题点 离散型随机变量的取值答案 D解析 两次掷出点数均可取 16 所有整数，所以 X5,5， xZ.3下列变量中，离散型随机变量的个数为( )在 2 012 张已编号
14、(从 1 号到 2 012 号)的卡片中取一张，被取出的号码为 ；在 2 012 张已编号(从 1 号到 2 012 号)的卡片中任取三张，被取出的号码和为 X；某加工厂加工的某种铜管，外径与规定的外径尺寸之差 Y；投掷一枚骰子，正面向上的点数为 .A1 B2 C3 D4考点 随机变量及离散型随机变量的概念题点 离散型随机变量的概念答案 C解析 中 Y 取值在某一区间内，不是离散型随机变量4某人进行射击，共有 5 发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为 ，则“ 5”表示的试验结果是( )A第 5 次击中目标B第 5 次未击中目标C前 4 次均未击中目标D第 4 次击中目标考点 离散型
15、随机变量的可能取值题点 离散型随机变量的结果答案 C解析 5 表示前 4 次均未击中目标，故选 C.5抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为 X，则“X4”表示的试验的结果为( )A第一枚为 5 点，第二枚为 1 点B第一枚大于 4 点，第二枚也大于 4 点C第一枚为 6 点，第二枚为 1 点D第一枚为 4 点，第二枚为 1 点考点 离散型随机变量的可能取值题点 离散型随机变量的结果8答案 C6设一汽车在开往目的地的道路上需经过 5 盏信号灯， Y 表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数，则表示“遇到第 5 盏信号灯时首次停下”的事件是( )A Y5 B Y4C
16、 Y3 D Y2考点 离散型随机变量的可能取值题点 离散型随机变量的取值答案 B7一串钥匙有 6 枚，只有一枚能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数 X 的最大可能取值为( )A6 B5 C4 D2考点 离散型随机变量的可能取值题点 离散型随机变量的取值答案 B解析 由于是逐次试验，可能前 5 次都打不开锁，那么剩余的钥匙一定能开锁，故选 B.8一用户在打电话时忘了号码的最后四位数字，只记得最后四位数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后四位数字(两两不同)，设他拨到所要号码时已拨的次数为 ，则随机变量 的所有可能取值的种数为( )A24 B20 C4 D18
17、考点 离散型随机变量的可能取值题点 离散型随机变量的取值答案 A解析 由于后四位数字两两不同，且都大于 5，因此只能是 6,7,8,9 四位数字的不同排列，故有 A 24 种49对一批产品逐个进行检测，第一次检测到次品前已检测的产品个数为 ，则 k 表示的试验结果为( )A第 k1 次检测到正品，而第 k 次检测到次品B第 k 次检测到正品，而第 k1 次检测到次品C前 k1 次检测到正品，而第 k 次检测到次品D前 k 次检测到正品，而第 k1 次检测到次品考点 离散型随机变量的可能取值题点 离散型随机变量的结果答案 D解析 由题意，得 k 表示第一次检测到次品前已检测的产品个数为 k，因此
18、前 k 次检测9到的都是正品，第 k1 次检测到的是次品，故选 D.二、填空题10下列随机变量中不是离散型随机变量的是_(填序号)某宾馆每天入住的旅客数量 X；广州某水文站观测到一天中珠江的水位 X；深圳欢乐谷一日接待游客的数量 X；虎门大桥一天经过的车辆数 X.考点 随机变量及离散型随机变量的概念题点 离散型随机变量的概念答案 11袋中有大小相同的红球 6 个，白球 5 个，从袋中每次任意取出 1 个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数为随机变量 X，则 X 的可能取值为_考点 离散型随机变量的可能取值题点 离散型随机变量的取值答案 1,2,3,4,5,6,7解析 由于取到是白球时，
19、取球停止，所以取球次数可以是 1,2,3，7.12一木箱中装有 8 个同样大小的篮球，分别编号为 1,2,3,4,5,6,7,8，现从中随机取出 3个篮球，以 表示取出的篮球的最大号码，则 8 表示的试验结果有_种考点 离散型随机变量的可能取值题点 离散型随机变量的结果答案 21解析 8 表示在 3 个篮球中，一个编号是 8，另外两个从剩余 7 个号中选 2 个，有 C 种27方法，即 21 种三、解答题13某车间三天内每天生产 10 件某产品，其中第一天、第二天分别生产了 1 件、2 件次品，而质检部门每天要在生产的 10 件产品中随机抽取 4 件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过
20、若厂内对车间生产的产品采用记分制，两天全不通过检查得 0 分，通过一天、两天分别得 1 分、2 分设该车间在这两天内总得分为 ，写出 的可能取值，并说明这些值所表示的随机试验的结果考点 离散型随机变量的可能取值题点 离散型随机变量的取值解 的可能取值为 0,1,2. 0 表示在两天检查中均发现了次品； 1 表示在两天检查中有 1 天没有检查到次品，1 天检查到了次品；10 2 表示在两天检查中都没有发现次品四、探究与拓展14在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规则规定：每题回答正确得 100 分，回答不正确得100 分，则选手甲回答这三个问题的总得分 的所有可能取值是_考点 离散型随机变量的可能
21、取值题点 离散型随机变量的取值答案 300，100,100,300解析 答对的个数可以取 0,1,2,3，所对应的得分为300，100,100,300， 可取300，100,100,300.15一个袋中装有 5 个白球和 5 个黑球，从中任取 3 个，其中所含白球的个数为 .(1)列表说明可能出现的结果与对应的 的值；(2)若规定抽取 3 个球中，每抽到一个白球加 5 分，抽到黑球不加分，且最后不管结果都加上 6 分求最终得分 的可能取值，并判定 的随机变量类型考点 离散型随机变量的可能取值题点 离散型随机变量的取值解 (1) 0 1 2 3结果 取得 3 个黑球取得 1 个白球 2 个黑球取得 2 个白球 1 个黑球取得 3 个白球(2)由题意可得 5 6，而 可能的取值范围为0,1,2,3，所以 对应的各值是：506,516,526,536.故 的可能取值为6,11,16,21，显然 为离散型随机变量
