1、12.2.1 条件概率学习目标 1.理解条件概率的定义.2.掌握条件概率的计算方法.3.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题知识点一 条件概率100 件产品中有 93 件产品的长度合格，90 件产品的质量合格，85 件产品的长度、质量都合格令 A产品的长度合格， B产品的质量合格， AB产品的长度、质量都合格思考 1 试求 P(A)， P(B)， P(AB)答案 P(A) ， P(B) ， P(AB) .93100 90100 85100思考 2 任取一件产品，已知其质量合格(即 B 发生)，求它的长度(即 A 发生)也合格(记为A|B)的概率答案 事件 A|B 发生，相当于从 90 件质量
2、合格的产品中任取 1 件长度合格，其概率为P(A|B) .8590思考 3 P(B)， P(AB)， P(A|B)间有怎样的关系答案 P(A|B) .PABPB梳理 条件 设 A， B 为两个事件，且 P(A)0含义 在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率记作 P(B|A)读作 A 发生的条件下 B 发生的概率计算公式缩小样本空间法： P(B|A)nABnA公式法： P(B|A)PABPA2知识点二 条件概率的性质1任何事件的条件概率都在 0 和 1 之间，即 0 P(B|A)1.2如果 B 和 C 是两个互斥事件，则P(B C|A) P(B|A) P(C|A)1若事件 A， B
3、互斥，则 P(B|A)1.( )2事件 A 发生的条件下，事件 B 发生，相当于 A， B 同时发生( )类型一 求条件概率命 题 角 度 1 利 用 定 义 求 条 件 概 率例 1 现有 6 个节目准备参加比赛，其中 4 个舞蹈节目，2 个语言类节目，如果不放回地依次抽取 2 个节目，求(1)第 1 次抽到舞蹈节目的概率；(2)第 1 次和第 2 次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第 1 次抽到舞蹈节目的条件下，第 2 次抽到舞蹈节目的概率考点 条件概率的定义及计算公式题点 直接利用公式求条件概率解 设第 1 次抽到舞蹈节目为事件 A，第 2 次抽到舞蹈节目为事件 B，则第 1 次和第 2
4、次都抽到舞蹈节目为事件 AB.(1)从 6 个节目中不放回地依次抽取 2 个，总的事件数 n( )A 30.26根据分步乘法计数原理，有 n(A)A A 20，1415所以 P(A) .nAn 2030 23(2)因为 n(AB)A 12，所以 P(AB) .24nABn 1230 25(3)方法一 由(1)(2)，得在第 1 次抽到舞蹈节目的条件下，第 2 次抽到舞蹈节目的概率P(B|A) .PABPA2523 35方法二 因为 n(AB)12， n(A)20，所以 P(B|A) .nABnA 1220 353反思与感悟 利用定义计算条件概率的步骤(1)分别计算概率 P(AB)和 P(A)(
5、2)将它们相除得到条件概率 P(B|A) ，这个公式适用于一般情形，其中 AB 表示 A， BPABPA同时发生跟踪训练 1 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 0.75，连续两天为优良的概率是 0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A0.8 B0.75 C0.6 D0.45考点 条件概率的定义及计算公式题点 直接利用公式求条件概率答案 A解析 设某天的空气质量为优良是事件 B，随后一天的空气质量为优良是事件 A，故所求概率为 P(A|B) 0.8.PABPB 0.60.75命 题 角 度 2 缩 小 基 本 事 件 范 围 求 条 件
6、 概 率例 2 集合 A1,2,3,4,5,6，甲、乙两人各从 A 中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率考点 条件概率的定义及计算公式题点 利用缩小基本事件空间求条件概率解 将甲抽到数字 a，乙抽到数字 b，记作( a， b)，甲抽到奇数的情形有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共 15 个在这 15 个中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6
7、)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,6)，共 9 个，所以所求概率 P .915 35引申探究1在本例条件下，求乙抽到偶数的概率解 在甲抽到奇数的情形中，乙抽到偶数的有(1,2)，(1,4)，(1,6)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，共 9 个，所以所求概率 P .915 352若甲先取(放回)，乙后取，若事件 A：“甲抽到的数大于 4”；事件 B：“甲、乙抽到的两数之和等于 7”，求 P(B|A)解 甲抽到的数大于 4 的情形有：(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6
8、,4)，(6,5)，(6,6)，共 12 个，其中甲、乙抽到的两数之和等于 7 的情形4有：(5,2)，(6,1)，共 2 个所以 P(B|A) .212 16反思与感悟 将原来的基本事件全体 缩小为已知的条件事件 A，原来的事件 B 缩小为 AB.而 A 中仅包含有限个基本事件，每个基本事件发生的概率相等，从而可以在缩小的概率空间上利用古典概型公式计算条件概率，即 P(B|A) ，这里 n(A)和 n(AB)的计数是基于缩nABnA小的基本事件范围的跟踪训练 2 5 个乒乓球，其中 3 个新的，2 个旧的，每次取一个，不放回地取两次，则在第一次取到新球的条件下，第二次取到新球的概率为_考点
9、条件概率的定义及计算公式题点 利用缩小基本事件空间求条件概率答案 12解析 设第 1 次取到新球为事件 A，第 2 次取到新球为事件 B，则 P(B|A) nABnA 3243.12类型二 条件概率的性质及应用例 3 把外形相同的球分装在三个盒子中，每盒 10 个其中，第一个盒子中有 7 个球标有字母 A,3 个球标有字母 B；第二个盒子中有红球和白球各 5 个；第三个盒子中有红球 8 个，白球 2 个试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母 A 的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母 B 的球，则在第三个盒子中任取一个球如果第二次取出的是红球，则称试验成
10、功，求试验成功的概率考点 条件概率的性质及应用题点 条件概率性质的简单应用解 设 A从第一个盒子中取得标有字母 A 的球，B从第一个盒子中取得标有字母 B 的球，R第二次取出的球是红球，W第二次取出的球是白球，则容易求得 P(A) ， P(B) ， P(R|A) ，710 310 12P(W|A) ， P(R|B) ， P(W|B) .12 45 15事件“试验成功”表示为 AR BR，又事件 AR 与事件 BR 互斥，故由概率的加法公式，得P(AR BR) P(AR) P(BR) P(R|A)P(A) P(R|B)P(B)5 0.59.12 710 45 310反思与感悟 当所求事件的概率相
11、对较复杂时，往往把该事件分成两个(或多个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用 P(B C|A) P(B|A) P(C|A)便可求得较复杂事件的概率跟踪训练 3 在某次考试中，要从 20 道题中随机抽出 6 道题，若考生至少能答对其中 4 道题即可通过，至少能答对其中 5 道题就获得优秀已知某考生能答对其中 10 道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率考点 条件概率的性质及应用题点 条件概率性质的简单应用解 记事件 A 为“该考生 6 道题全答对” ，事件 B 为“该考生答对了其中 5 道题，另一道答错” ，事件 C 为“该考生答对了其中 4 道题，
12、另 2 道题答错” ，事件 D 为“该考生在这次考试中通过” ，事件 E 为“该考生在这次考试中获得优秀” ，则 A， B， C 两两互斥，且D A B C， E A B，可知 P(D) P(A B C) P(A) P(B) P(C) ， P(AD) P(A)， P(BD) P(B)，C610C620 C510C10C620 C410C210C620 12 180C620P(E|D) P(A|D) P(B|D) .PAPD PBPD210C62012 180C6202 520C62012 180C620 1358故获得优秀成绩的概率为 .13581已知 P(B|A) ， P(AB) ，则 P(
13、A)等于( )12 38A. B. C. D.316 1316 34 14考点 条件概率的定义及计算公式题点 直接利用公式求条件概率答案 C解析 因为 P(B|A) ，所以 P(A) .PABPA PABPB|A3812 342市场上供应的灯泡中，甲厂产品占 70%，乙厂产品占 30%，甲厂产品的合格率是 95%，乙6厂产品的合格率是 80%，则从市场上买到的一个甲厂的合格灯泡的概率是( )A0.665 B0.564 C0.245 D0.285考点 条件概率的定义及计算公式题点 直接利用公式求条件概率答案 A解析 记事件 A 为“甲厂产品” ，事件 B 为“合格产品” ，则 P(A)0.7，
14、P(B|A)0.95， P(AB) P(A)P(B|A)0.70.950.665.3从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数，事件 A“取到的 2 个数之和为偶数” ，事件B“取到的 2 个数均为偶数” ，则 P(B|A)等于( )A. B. C. D.18 14 25 12考点 条件概率的定义及计算公式题点 利用缩小基本事件空间求条件概率答案 B解析 P(A) ， P(AB) ，C23 C2C25 25 C2C25 110P(B|A) .PABPA 144假定生男、生女是等可能的，一个家庭中有两个小孩，已知有一个是女孩，则另一个小孩是男孩的概率是_考点 条件概率的定义及计算公式题点 利
15、用缩小基本事件空间求条件概率答案 23解析 一个家庭的两个小孩只有 4 种可能：男，男，男，女，女，男，女，女，由题意可知这 4 个基本事件的发生是等可能的，所求概率 P .235抛掷红、蓝两枚骰子，记事件 A 为“蓝色骰子的点数为 4 或 6”，事件 B 为“两枚骰子的点数之和大于 8”，求：(1)事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率；(2)事件 B 发生的条件下事件 A 发生的概率考点 条件概率的定义及计算公式题点 直接利用公式求条件概率解 抛掷红、蓝两枚骰子，事件总数为 6636，事件 A 的基本事件数为 6212，所以 P(A) .1236 137由于 366345548,466
16、4558，56658,668.所以事件 B 的基本事件数为 432110，所以 P(B) .1036 518事件 AB 的基本事件数为 6.故 P(AB) .636 16由条件概率公式得(1)P(B|A) .PABPA1613 12(2)P(A|B) .PABPB16518 351条件概率： P(B|A) .PABPA nABnA2概率 P(B|A)与 P(AB)的区别与联系： P(AB)表示在样本空间 中，计算 AB 发生的概率，而 P(B|A)表示在缩小的样本空间 A中，计算 B 发生的概率用古典概型公式，则 P(B|A) ， P(AB) .AB中 样 本 点 数 A中 样 本 点 数 A
17、B中 样 本 点 数 中 样 本 点 数一、 选择题1某班学生考试成绩中，数学不及格的占 15%，语文不及格的占 5%，两门都不及格的占 3%.已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是( )A0.2 B0.33 C0.5 D0.6考点 条件概率的定义及计算公式题点 直接利用公式求条件概率答案 A解析 记“数学不及格”为事件 A， “语文不及格”为事件 B， P(B|A) 0.2，PABPA 0.030.15所以数学不及格时，该生语文也不及格的概率为 0.2.2将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件 A两个点数互不相同， B出现一个 5 点，8则 P(B|A)等于( )A. B. C. D.
18、13 518 16 14考点 条件概率的定义及计算公式题点 利用缩小基本事件空间求条件概率答案 A解析 出现点数互不相同的共有 6530(种)，出现一个 5 点共有 5210(种)，所以P(B|A) .1030 1337 名同学站成一排，已知甲站在中间，则乙站在末尾的概率是( )A. B. C. D.14 15 16 17考点 条件概率的定义及计算公式题点 利用缩小基本事件空间求条件概率答案 C解析 记“甲站在中间”为事件 A， “乙站在末尾”为事件 B，则 n(A)A ，6n(AB)A ，5所以 P(B|A) .A5A6 164盒中装有 6 件产品，其中 4 件一等品，2 件二等品，从中不放
19、回地取两次，每次取 1 件，已知第二次取得一等品，则第一次取得二等品的概率为( )A. B. C. D.310 35 12 25考点 条件概率的定义及计算公式题点 直接利用公式求条件概率答案 D解析 设“第二次取得一等品”为事件 A， “第一次取得二等品”为事件 B，则 P(AB) ， P(A) ，所以 P(B|A) .C12C14C16C15 415 C14C13 C12C14C16C15 23 PABPA 415 32 255在区间(0,1)内随机投掷一个点 M(其坐标为 x)，若 AError!， BError!，则 P(B|A)等于( )A. B. C. D.12 14 13 34考点
20、 条件概率的定义及计算公式题点 直接利用公式求条件概率9答案 A解析 P(A) . A BError!，121 12 P(AB) ， P(B|A) .141 14PABPA1412 126甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件 A 为“三个人去的景点不相同” ， B 为“甲独自去一个景点” ，则概率 P(A|B)等于( )A. B. C. D.49 29 12 13考点 条件概率的定义及计算公式题点 利用缩小基本事件空间求条件概率答案 C解析 由题意可知 n(B)C 2212， n(AB)A 6.13 3所以 P(A|B) .nABnB 612 127已知盒中装有 3 只螺口灯
21、泡与 7 只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第 1 次抽到的是螺口灯泡的条件下，第 2 次抽到的是卡口灯泡的概率为( )A. B. C. D.310 29 78 79答案 D解析 方法一 设事件 A 为“第 1 次抽到的是螺口灯泡” ，事件 B 为“第 2 次抽到的是卡口灯泡” ，则 P(A) ， P(AB) ，则所求概率为 P(B|A) .310 310 79 730 PABPA730310 79方法二 第 1 次抽到螺口灯泡后还剩余 9 只灯泡，其中有 7 只卡口灯泡，故第 2 次抽到卡口灯泡的概率为 .C17
22、C19 79二、填空题8某种元件用满 6 000 小时未坏的概率是 ，用满 10 000 小时未坏的概率是 ，现有一个此34 12种元件，已经用过 6 000 小时未坏，则它能用到 10 000 小时的概率为_考点 条件概率的定义及计算公式题点 直接利用公式求条件概率10答案 23解析 设“用满 6 000 小时未坏”为事件 A， “用满 10 000 小时未坏”为事件 B，则 P(A)， P(AB) P(B) ，所以 P(B|A) .34 12 PABPA1234 239如图，四边形 EFGH 是以 O 为圆心、1 为半径的圆的内接正方形将一颗豆子随机地扔到该圆内，用 A 表示事件“豆子落在
23、正方形 EFGH 内” ， B 表示事件“豆子落在扇形 OHE(阴影部分)内” ， 则(1) P(A)_；(2)P(B|A)_.考点 条件概率的定义及计算公式题点 直接利用公式求条件概率答案 (1) (2)2 14解析 正方形的面积为 2，圆的面积为 .(1) A 表示事件“豆子落在正方形 EFGH 内” ， P(A) .2(2) B 表示事件“豆子落在扇形 OHE(阴影部分)内” ， P(AB) ， P(B|A) .12 PABPA 1410设某种动物由出生算起活到 20 岁的概率为 0.8，活到 25 岁的概率 0.4，现有一个 20岁的这种动物，则它能活到 25 岁的概率是_考点 条件概
24、率的定义及计算公式题点 直接利用公式求条件概率答案 0.5解析 设该动物活到 20 岁为事件 A，活到 25 岁为事件 B，则 P(A)0.8， P(B)0.4，又 P(AB) P(B)，11所以 P(B|A) 0.5.PABPA PBPA 0.40.811有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取得的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为_考点 条件概率的性质及应用题点 条件概率性质的简单应用答案 67解析 设事件 A 为“其中一瓶是蓝色” ，事件 B 为“另一瓶是红色” ，事件 C 为“另一瓶是黑色” ，事件 D 为“另一瓶是红色或黑色” ，则 D
25、B C 且 B 与 C 互斥又 P(A) ，C12C13 C2C25 710P(AB) ，C12C1C25 15P(AC) ，C12C12C25 25故 P(D|A) P(B C|A) P(B|A) P(C|A) .PABPA PACPA 67三、解答题12从 1100 共 100 个正整数中，任取一数，已知取出的一个数不大于 50，求此数是 2 或3 的倍数的概率考点 条件概率的性质及应用题点 条件概率性质的简单应用解 设事件 C 为“取出的数不大于 50”，事件 A 为“取出的数是 2 的倍数” ，事件 B 为“取出的数是 3 的倍数” 则 P(C) ，且所求概率为12P(A B|C) P
26、(A|C) P(B|C) P(AB|C) PACPC PBCPC PABCPC2 .(25100 16100 8100) 33501213坛子里放着 5 个大小、形状都相同的咸鸭蛋，其中有 3 个是绿皮的，2 个是白皮的如果不放回地依次拿出 2 个鸭蛋，求：(1)第 1 次拿出绿皮鸭蛋的概率；(2)第 1 次和第 2 次都拿出绿皮鸭蛋的概率；(3)在第 1 次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第 2 次拿出绿皮鸭蛋的概率考点 条件概率的定义及计算公式题点 直接利用公式求条件概率解 设“第 1 次拿出绿皮鸭蛋”为事件 A， “第 2 次拿出绿皮鸭蛋”为事件 B，则第 1 次和第2 次都拿出绿皮鸭蛋为事件 A
27、B.(1)从 5 个鸭蛋中不放回地依次拿出 2 个鸭蛋的总基本事件数为 n( )A 20.25又 n(A)A A 12，13 14于是 P(A) .nAn 1220 35(2)因为 n(AB)326，所以 P(AB) .nABn 620 310(3)由(1)(2)，可得在第 1 次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第 2 次拿出绿皮鸭蛋的概率为 P(B|A) .PABPA31035 12四、探究与拓展14先后掷两次骰子(骰子的六个面上分别是 1,2,3,4,5,6 点)，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为 x， y，记事件 A 为“ x y 为偶数” ，事件 B 为“ x， y 中有偶数且 x y”，
28、则概率 P(B|A)_.考点 条件概率的定义及计算公式题点 直接利用公式求条件概率答案 13解析 根据题意，事件 A 为“ x y 为偶数” ，则 x， y 两个数均为奇数或偶数，共有23318 个基本事件事件 A 发生的概率为 P(A) ，而 A， B 同时发生，基本事件有“24” ，23366 12“26” ， “42” ， “46” ， “62” ， “64” ，共 6 个，事件 A， B 同时发生的概率为 P(AB) ，666 1613 P(B|A) .PABPA1612 1315甲箱的产品中有 5 个正品和 3 个次品，乙箱的产品中有 4 个正品和 3 个次品(1)从甲箱中任取 2
29、个产品，求这 2 个产品都是次品的概率；(2)若从甲箱中任取 2 个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率考点 条件概率的性质及应用题点 条件概率性质的简单应用解 (1)从甲箱中任取 2 个产品的事件数为 C 28，这 2 个产品都是次品的事件数为28C 3，所以这 2 个产品都是次品的概率为 .23328(2)设事件 A 为“从乙箱中取一个正品” ，事件 B1为“从甲箱中取出 2 个产品都是正品” ，事件 B2为“从甲箱中取出 1 个正品，1 个次品” ，事件 B3为“从甲箱中取出 2 个产品都是次品”，则事件 B1，事件 B2，事件 B3彼此互斥P(B1) ， P(B2) ，C25C28 514 C15C13C28 1528P(B3) ，C23C28 328所以 P(A|B1) ，69P(A|B2) ， P(A|B3) .59 49所以 P(A) P(B1)P(A|B1) P(B2)P(A|B2) P(B3)P(A|B3) .514 69 1528 59 328 49 712
