1、12.2.2 事件的相互独立性学习目标 1.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念.2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题知识点一 相互独立的概念甲箱里装有 3 个白球、2 个黑球，乙箱里装有 2 个白球，2 个黑球从这两个箱子里分别摸出 1 个球，记事件 A 为“从甲箱里摸出白球” ，事件 B 为“从乙箱里摸出白球” 思考 1 事件 A 发生会影响事件 B 发生的概率吗？答案 不影响思考 2 P(A)， P(B)， P(AB)的值为多少？答案 P(A) ， P(B) ，35 12P(AB) .3254 310思考 3 P(AB)与 P(A)， P(B)有什么关系？答
2、案 P(AB) P(A)P(B)梳理 条件 设 A， B 为两个事件，若 P(AB) P(A)P(B)结论 称事件 A 与事件 B 相互独立知识点二 相互独立的性质2条件 A 与 B 是相互独立事件结论 Error!也相互独立1不可能事件与任何一个事件相互独立( )2必然事件与任何一个事件相互独立( )3如果事件 A 与事件 B 相互独立，则 P(B|A) P(B)( )4 “P(AB) P(A)P(B)”是“事件 A， B 相互独立”的充要条件( )类型一 事件独立性的判断例 1 判断下列各对事件是不是相互独立事件：(1)甲组 3 名男生，2 名女生；乙组 2 名男生，3 名女生，现从甲、乙
3、两组中各选 1 名同学参加演讲比赛， “从甲组中选出 1 名男生”与“从乙组中选出 1 名女生” ；(2)容器内盛有 5 个白乒乓球和 3 个黄乒乓球， “从 8 个球中任意取出 1 个，取出的是白球”与“从剩下的 7 个球中任意取出 1 个，取出的还是白球” ；(3)掷一枚骰子一次， “出现偶数点”与“出现 3 点或 6 点” 考点 相互独立事件的定义题点 相互独立事件的判断解 (1)“从甲组中选出 1 名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出 1 名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件(2)“从 8 个球中任意取出 1 个，取出的是白球”的概率为 ，若这一事件发生了，
4、则“从剩58下的 7 个球中任意取出 1 个，取出的仍是白球”的概率为 ，若前一事件没有发生，则后一47事件发生的概率为 .可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以两者不57是相互独立事件(3)记 A：出现偶数点， B：出现 3 点或 6 点，则 A2,4,6， B3,6， AB6，所以 P(A) ， P(B) ， P(AB) ，36 12 26 13 16所以 P(AB) P(A)P(B)，所以事件 A 与 B 相互独立反思与感悟 三种方法判断两事件是否具有独立性3(1)定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响(2)公式法：检验 P(AB) P(A)P(B)是否成立(3)条件
5、概率法：当 P(A)0 时，可用 P(B|A) P(B)判断跟踪训练 1 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令 A一个家庭中既有男孩又有女孩， B一个家庭中最多有一个女孩对下列两种情形，讨论 A 与 B 的独立性：(1)家庭中有两个小孩；(2)家庭中有三个小孩考点 相互独立事件的定义题点 相互独立事件的判断解 (1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为 (男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，它有 4 个基本事件，由等可能性知概率都为 .14这时 A(男，女)，(女，男)，B(男，男)，(男，女)，(女，男)，AB(男，女)，(女，男)，于是 P(A) ， P(
6、B) ， P(AB) .12 34 12由此可知 P(AB) P(A)P(B)，所以事件 A， B 不相互独立(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为 (男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)由等可能性知这 8 个基本事件的概率均为 ，这时 A 中含有 6 个基本事件， B 中含有 4 个基18本事件， AB 中含有 3 个基本事件于是 P(A) ， P(B) ， P(AB) ，68 34 48 12 38显然有 P(AB) P(A)P(B)成立38从而事件 A 与 B 是相互独立的类型二 求
7、相互独立事件的概率例 2 小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为 0.8,0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响求：(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；4(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率考点 相互独立事件同时发生的概率计算题点 求多个相互独立事件同时发生的概率解 用 A， B， C 分别表示这三列火车正点到达的事件，则 P(A)0.8， P(B)0.7， P(C)0.9，所以 P( )0.2， P( )0.3， P( )0.1.A B C(1)由题意得 A， B， C 之间互相独立，所以恰好有两列火车正点到达的概率为P1
8、 P( BC) P(A C) P(AB )A B C P( )P(B)P(C) P(A)P( )P(C) P(A)P(B)P( )A B C0.20.70.90.80.30.90.80.70.10.398.(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为P21 P( )ABC1 P( )P( )P( )A B C10.20.30.10.994.引申探究1在本例条件下，求恰有一列火车正点到达的概率解 恰有一列火车正点到达的概率为P3 P(A ) P( B ) P( C) P(A)P( )P( ) P( )P(B)P( ) P( )P( )P(C)B C AC A B B C A C A B0.80.30
9、.10.20.70.10.20.30.90.092.2若一列火车正点到达计 10 分，用 表示三列火车的总得分，求 P( 20)解 事件“ 20”表示“至多两列火车正点到达” ，其对立事件为“三列火车都正点到达” ，所以 P( 20)1 P(ABC)1 P(A)P(B)P(C)10.80.70.90.496.反思与感悟 明确事件中的“至少有一个发生” “至多有一个发生” “恰好有一个发生” “都发生” “都不发生” “不都发生”等词语的意义一般地，已知两个事件 A， B，它们的概率分别为 P(A)， P(B)，那么：(1)A， B 中至少有一个发生为事件 A B.(2)A， B 都发生为事件
10、AB.(3)A， B 都不发生为事件 .AB(4)A， B 恰有一个发生为事件 A B.B A(5)A， B 中至多有一个发生为事件 A B .B A AB5跟踪训练 2 甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为 和 ，求两人破译时，以下13 14事件发生的概率：(1)两人都能破译的概率；(2)恰有一人能破译的概率；(3)至多有一人能破译的概率考点 相互独立事件同时发生的概率计算题点 求两个相互独立事件同时发生的概率解 记事件 A 为“甲独立地破译出密码” ，事件 B 为“乙独立地破译出密码” (1)两个人都破译出密码的概率为P(AB) P(A)P(B) .13 14 112(2)恰有一人
11、破译出密码分为两类：甲破译出乙破译不出，乙破译出甲破译不出，即A B，B A P(A B) P(A ) P( B)B A B A P(A)P( ) P( )P(B)B A .13 (1 14) (1 13) 14 512(3)至多有一人破译出密码的对立事件是两人都破译出密码，其概率为 1 P(AB)1 .112 1112类型三 相互独立事件的综合应用例 3 计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格” ，并颁发合格证书甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为 ，在实际操作考试中“合格”的概率依次为 ，45342
12、3 122356所有考试是否合格相互之间没有影响(1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？(2)这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率；(3)用 X 表示甲、乙、丙三人在计算机考试后获合格证书的人数，求 X 的分布列考点 相互独立事件的性质及应用题点 独立事件与分布列解 (1)设“甲获得合格证书”为事件 A， “乙获得合格证书”为事件 B， “丙获得合格证书”为事件 C，则6P(A) ， P(B) ，45 12 25 34 23 12P(C) .23 56 59因为 P(C)P(B)P(A)，所以丙获得合格证书的可能性最大(2
13、)设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件 D，则P(D) P(AB ) P(A C) P( BC)C B A .25 12 49 25 12 59 35 12 59 1130(3)随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2,3.P(X0) ，35 12 49 215P(X2) P(D) ，1130P(X3) ，25 12 59 19P(X1)1 P(X0) P(X2) P(X3)1 .215 1130 19 718所以 X 的分布列为X 0 1 2 3P 215 718 1130 19反思与感悟 概率问题中的数学思想(1)正难则反：灵活应用对立事件的概率关系( P(A) P( )1)简化问
14、题，是求解概率问题最A常用的方法(2)化繁为简：将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系 “所求事件”分几类(考虑加法公式，转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式，转化为相互独立事件)(3)方程思想：利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程(组)，通过解方程(组)使问题获解跟踪训练 3 甲、乙两名篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为 与 p，且乙12投球 2 次均未命中的概率为 .116(1)求乙投球的命中率 p；(2)求甲投球 2 次，至少命中 1 次的概率7考点 相互独立事件的性质及应用题点 独立事件与互斥事件的综合应用解 (1)设“
15、甲投一次球命中”为事件 A， “乙投一次球命中”为事件 B.由题意得 P( )P( )B B ，116解得 P( ) 或 P( ) (舍去)，B14 B 14故 p1 P( ) ，所以乙投球的命中率为 .B34 34(2)方法一 由题设知， P(A) ， P( ) ，12 A 12故甲投球 2 次，至少命中 1 次的概率为1 P( )1 P( )P( ) .A A A A34方法二 由题设知， P(A) ， P( ) ，12 A 12故甲投球 2 次，至少命中 1 次的概率为 2P(A)P( ) P(A)P(A) .A341坛子里放有 3 个白球，2 个黑球，从中不放回地摸球，用 A1表示第
16、1 次摸得白球， A2表示第 2 次摸得白球，则 A1与 A2是( )A互斥事件 B相互独立事件C对立事件 D不相互独立事件考点 相互独立事件的定义题点 相互独立事件的判断答案 D解析 互斥事件和对立事件是同一次试验的两个不同时发生的事件，故选项 A，C 错而事件 A1的发生对事件 A2发生的概率有影响，故两者是不相互独立事件2打靶时，甲每打 10 次可中靶 8 次，乙每打 10 次可中靶 7 次，若两人同时射击，则他们同时中靶的概率是( )A. B.1425 1225C. D.34 35考点 相互独立事件同时发生的概率计算8题点 求两个相互独立事件同时发生的概率答案 A解析 P 甲 ， P
17、乙 ，所以 P P 甲 P 乙 .810 45 710 14253甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率是 p1，乙解决这个问题的概率是 p2，那么恰好有 1 人解决这个问题的概率是( )A p1p2 B p1(1 p2) p2(1 p1)C1 p1p2 D1(1 p1)(1 p2)考点 相互独立事件的性质及应用题点 独立事件与互斥事件的综合应用答案 B解析 恰好有 1 人解决可分为甲解决乙没解决、甲没解决乙解决两种情况，这两个事件显然是互斥的，所以恰好有 1 人解决这个问题的概率为 p1(1 p2) p2(1 p1)，故选 B.4在某道路的 A， B， C 三处设有交通灯，这三盏
18、灯在 1 分钟内开放绿灯的时间分别为 25 秒、35 秒、45 秒，某辆车在这段道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为( )A. B.764 25192C. D.35192 35576考点 相互独立事件同时发生的概率计算题点 求多个相互独立事件同时发生的概率答案 C解析 由题意知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为 ， ，则在这段道路上三处都不停51271234车的概率 P .512 712 34 351925某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：(1)第 3 次拨号才接通电话；(2)拨号不超过 3 次而接通电话考点 相互独立事件的性质及
19、应用题点 独立事件与互斥事件的综合应用解 设 Ai第 i 次拨号接通电话， i1,2,3.(1)第 3 次拨号才接通电话可表示为 1 2A3，AA于是所求概率为 P( 1 2A3) .AA910 89 18 1109(2)拨号不超过 3 次而接通电话可表示为A1 1A2 1 2A3，A AA于是所求概率为 P(A1 1A2 1 2A3)A AA P(A1) P( 1A2) P( 1 2A3)A AA .110 910 19 910 89 18 310一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件不可能同时发生，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提相互独立事件同时发生的概率等于每个事件
20、发生的概率的积，这一点与互斥事件的概率和也是不同的(列表比较)互斥事件 相互独立事件定义不可能同时发生的两个事件事件 A 是否发生对事件 B 发生的概率没有影响概率公式P(A B) P(A) P(B) P(AB) P(A)P(B)一、选择题1若 P(AB) ， P( ) ， P(B) ，则事件 A 与 B 的关系是( )19 A 23 13A事件 A 与 B 互斥B事件 A 与 B 对立C事件 A 与 B 相互独立D事件 A 与 B 既互斥又独立考点 相互独立事件的定义题点 相互独立事件的判断答案 C解析 P(A)1 P( )1 ，A23 13 P(AB) P(A)P(B)， A， B 相互独
21、立2投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件 A， “骰子向上的10点数是 3”为事件 B，则事件 A， B 中至少有一个发生的概率是( )A. B. C. D.712 12 512 34考点 相互独立事件的性质及应用题点 独立事件与互斥事件的综合应用答案 A解析 因为 P(A) ， P(B) ，所以 P( ) ，12 16 A 12P( ) .又 A， B 为相互独立事件，B56所以 P( ) P( )P( ) .AB A B12 56 512所以 A， B 中至少有一个发生的概率为 1 P( )1 .AB512 7123甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为 和
22、，两人同时参加测试，其中有且只12 13有一人能通过的概率是( )A. B. C. D113 23 12考点 相互独立事件的性质及应用题点 相互独立事件性质的应用答案 C解析 设事件 A 表示“甲通过听力测试” ，事件 B 表示“乙通过听力测试” 根据题意，知事件 A 和 B 相互独立，且 P(A) ， P(B) .12 13记“有且只有一人通过听力测试”为事件 C，则 C A B，且 A 和 B 互斥B A B A故 P(C) P(A B)B A P(A ) P( B)B A P(A)P( ) P( )P(B)B A .12 (1 13) (1 12) 13 124从甲袋内摸出 1 个红球的
23、概率是 ，从乙袋内摸出 1 个红球的概率是 ，从两袋内各摸出13 121 个球，则 等于( )23A2 个球不都是红球的概率B2 个球都是红球的概率11C至少有 1 个红球的概率D2 个球中恰好有 1 个红球的概率考点 相互独立事件的性质及应用题点 独立事件与互斥事件的综合应用答案 C解析 至少有 1 个红球的概率是 . 13 (1 12) 12 (1 13) 12 13 235设两个相互独立事件 A 和 B 都不发生的概率为 ， A 发生 B 不发生的概率与 B 发生 A 不发19生的概率相同，则事件 A 发生的概率 P(A)是( )A. B. C. D.29 118 13 23考点 相互独
24、立事件的性质及应用题点 相互独立事件性质的应用答案 D解析 由 P(A ) P(B )，得 P(A)P( ) P(B)P( )，B A B A即 P(A)1 P(B) P(B)1 P(A)， P(A) P(B)又 P( ) ，则 P( ) P( ) ，AB19 A B 13 P(A) .236出租车司机从饭店到火车站途中经过六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是 ，则这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率为( )13A. B. C. D.124 427 79 127考点 相互独立事件同时发生的概率计算题点 求多个相互独立事件同时发生的概率答案 B解析 因
25、为这位司机第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯，它们之间相互独立，且遇到红灯的概率都是 ，所以未遇到红灯的概率都是 1 ，所以13 13 23P .23 23 13 4277同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为 x，转盘乙得到的数为 y(若指针停在边界上则重新转)， x， y 构成数对( x， y)，则所有数对( x， y)中，满足 xy4 的概率为( )12A. B.116 18C. D.316 14考点 相互独立事件的性质及应用题点 独立事件与互斥事件的综合应用答案 C解析 满足 xy4 的所有可能如下：x1， y4； x2， y2； x4， y1.所求事件的概率为
26、P P(x1， y4) P(x2， y2) P(x4， y1) .14 14 14 14 14 14 3168在如图所示的电路图中，开关 a， b， c 闭合与断开的概率都是 ，且是相互独立的，则灯12亮的概率是( )A. B.18 38C. D.14 78考点 相互独立事件的性质及应用题点 独立事件与互斥事件的综合应用答案 B解析 设开关 a， b， c 闭合的事件分别为 A， B， C，则灯亮这一事件 E ABC AB A C，且C BA， B， C 相互独立， ABC， AB ， A C 互斥，C B所以 P(E) P(ABC AB A C)C B P(ABC) P(AB ) P(A C
27、)C B P(A)P(B)P(C) P(A)P(B)P( ) P(A)P( )P(C)C B13 .12 12 12 12 12 (1 12) 12 (1 12) 12 38二、填空题9某自动银行设有两台 ATM 机在某一时刻这两台 ATM 机被占用的概率分别为 ，则该客1312户此刻到达需要等待的概率为_考点 相互独立事件同时发生的概率计算题点 求两个相互独立事件同时发生的概率答案 16解析 该客户需要等待意味着这两台 ATM 机同时被占用，故所求概率为 P .13 12 1610事件 A， B， C 相互独立，如果 P(AB) ， P( C) ， P(AB ) ，则 P(B)16 B 18
28、 C 18_， P( B)_.A考点 相互独立事件的性质及应用题点 相互独立事件性质的应用答案 12 13解析 P(AB ) P(AB)P( ) P( ) ，C C16 C 18 P( ) ，即 P(C) .又 P( C) P( )P(C) ，C34 14 B B 18 P( ) ， P(B) .又 P(AB) ，则 P(A) ，B12 12 16 13 P( B) P( )P(B) .A A (113) 12 1311某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的 5 个问题中，选手若能连续正确回答出 2 个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是 0.8，且每个问题的回答结果
29、相互独立，则该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮的概率等于_考点 相互独立事件的性质及应用题点 相互独立事件性质的应用答案 0.128解析 由已知条件知，第 2 个问题答错，第 3,4 个问题答对，记“问题回答正确”事件为A，则 P(A)0.8，故 P P(A ) AA1 P(A)P(A)P(A)0.128.AA三、解答题12要生产一种产品，甲机床的废品率为 0.04，乙机床的废品率为 0.05，从甲、乙机床生14产的产品中各任取 1 件，求：(1)至少有 1 件废品的概率；(2)恰有 1 件废品的概率考点 相互独立事件的性质及应用题点 独立事件与互斥事件的综合应用解 从甲、乙机床生产的产
30、品中各取 1 件是废品分别记为事件 A， B，则事件 A， B 相互独立(1)设至少有 1 件废品为事件 C，则P(C)1 P( )1 P( )P( )1(10.04)(10.05)0.088.AB A B(2)设“恰有 1 件废品”为事件 D，则P(D) P(A ) P( B)0.04(10.05)(10.04)0.050.086.B A13某校设计了如下有奖闯关游戏：参赛选手按第一关，第二关，第三关的顺序依次闯关，若闯关成功，分别获得 5 个学豆，10 个学豆，20 个学豆的奖励，游戏还规定，当选手闯过一关后，可以选择带走相应的学豆，结束游戏；也可以选择继续闯下一关，若有任何一关没有闯关成
31、功，则全部学豆归零，游戏结束设选手甲第一关，第二关，第三关闯关成功的概率分别为 ，选手选择继续闯关的概率均为 ，且各关之间闯关成功与否互不影响342312 12(1)求选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率；(2)设该选手所得学豆总数为 X，求 X 的分布列考点 相互独立事件的性质及应用题点 独立事件与分布列解 (1)设“甲第一关闯关成功且所得学豆为零”为事件 A， “第一关闯关成功第二关闯关失败”为事件 A1， “前两关闯关成功第三关闯关失败”为事件 A2，则 A1， A2互斥P(A1) ，34 12 (1 23) 18P(A2) ，34 12 23 12 (1 12) 116P(A) P
32、(A1) P(A2) ，18 116 316所以选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率为 .316(2)由题意得 X 的所有可能取值为 0,5,15,35，P(X0) P(A) ，(134) 716P(X5) ，34 12 3815P(X15) ，34 12 23 12 18P(X35) .34 12 23 12 12 116所以 X 的分布列为X 0 5 15 35P 716 38 18 116四、探究与拓展14甲、乙两人参加一次考试，已知在备选的 10 道题中，甲能答对其中 6 道题，乙能答对其中 8 道题若规定每人每次考试都从这 10 道题中随机抽出 3 道题进行测试，且至少答对2 道
33、题算合格，则甲、乙两人分别参加一次考试，至少有一人考试合格的概率为( )A. B. C. D.2325 1745 4445 15 05315 625考点 相互独立事件的性质及应用题点 独立事件与互斥事件的综合应用答案 C解析 设事件 A 表示“甲考试合格” ，事件 B 表示“乙考试合格” ，则 P(A) ，C26C14 C36C310 60 20120 23P(B) .C28C12 C38C310 56 56120 1415所以甲、乙两人考试都不合格的概率为 P( ) P( )P( ) ，则甲、A B A B (123) (1 1415) 145乙两人至少有一人考试合格的概率为 1 P( )1
34、 .AB145 444515在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为 1 000 元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：作物产量(kg) 300 500概率 0.5 0.5作物市场价格(元/kg) 6 10概率 0.4 0.616设 X 表示在这块地上种植 1 季此作物的利润，求 X 的分布列考点 题点 解 设 A 表示事件“作物产量为 300 kg”， B 表示事件“作物市场价格为 6 元/kg” ，由题设知 P(A)0.5， P(B)0.4.利润产量市场价格成本， X 所有可能的取值为500101 0004 000,50061 0002 000，300101 0002 000,30061 000800.P(X4 000) P( )P( )(10.5)(10.4)0.3，A BP(X2 000) P( )P(B) P(A)P( )A B(10.5)0.40.5(10.4)0.5，P(X800) P(A)P(B)0.50.40.2，所以 X 的分布列为X 4 000 2 000 800P 0.3 0.5 0.2
