1、1培优点二十 几何概型1.长度类几何概型例 1：已知函数 2fx， 5,x，在定义域内任取一点 0x，使 0f的概率是（ ）A 0B 3C310D45【答案】C【解析】先解出 0fx时 0的取值范围： 2 2xx，从而在数轴上 1,2区间长度占 5,区间长度的比例即为事件发生的概率，310P，故选 C2面积类几何概型（1）图形类几何概型例 2-1：如图所示，在矩形 ABCD中， 2a， AD，图中阴影部分是以 AB为直径的半圆，现在向矩形 ABCD内随机撒 4000 粒豆子（豆子的大小忽略不计） ，根据你所学的概率统计知识，下列四个选项中最有可能落在阴影部分内的豆子数目是（ ）A1000 B2
2、000 C3000 D4000【答案】C【解析】在矩形 ACD中， 2a， AD，面积为 2a，半圆的面积为21a，故由几何概型可知，半圆所占比例为 4，随机撒 4000 粒豆子，落在阴影部分内的豆子数目大约为 3000，故选 C（2）线性规划类几何概型例 2-2：甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠 6 小时，假定他们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率（ ）A14B13C34D716【答案】D【解析】设甲船到达的时间为 x，乙船到达的时间为 y，2则所有基本事件构成的区域 满足024xy，这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待包含的基本事件构成的区域 A
3、满足0246xy，作出对应的平面区域如图所示：这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率为187246SPA阴，故选 D（3）利用积分求面积例 2-3：如图，圆22:Oxy内的正弦曲线 sinyx与 轴围成的区域记为 M（图中阴影部分） ，随机往圆 内投一个点 A，则点 落在区域 M内的概率是（ ）A 24B 34C 2D 32【答案】B【解析】构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为 3，正弦曲线 sinyx与 轴围成的区域记为 M，根据图形的对称性得：面积为 002sindx2cos4S，由几何概率的计算公式可得，随机往圆 O内投一个点 A，3则点 A落在区域 M内的概率 34P，故选 B
4、3体积类几何概型例 3：一个多面体的直观图和三视图所示， M是 A的中点，一只蝴蝶在几何体 ADFBCE内自由飞翔，由它飞入几何体 FACD内的概率为（ ）A34B23C13D12【答案】D【解析】所求概率为棱锥 FAMD的体积与棱柱 AFBE体积的比值由三视图可得 Ca，且 ， ， 两两垂直，可得31122ADFBCEAFVSa，棱锥体积 3MADMC，而234ADCSMCDa，214FACDVa从而12FABCEVP故选 D对点增分集训一、单选题1如图，边长为 2 的正方形中有一阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23则阴影区域的面积约为（ ）4A23B43C83D
5、无法计算【答案】C【解析】设阴影区域的面积为 s，24，s故选 C2某景区在开放时间内，每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车，某人上午到达景区入口，准备乘坐观光车，则他等待时间不多于 10 分钟的概率为（ ）A10B16C15D56【答案】B【解析】由题意，此人在 50 分到整点之间的 10 分钟内到达，等待时间不多于 10 分钟，概率106P故选 B3一只蚂蚁在边长为 4 的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于 2 的区域内的概率为（ ）A16B34C36D 14【答案】A【解析】满足条件的正三角形如图所示：其中正三角形 ABC的面积3164S三 角 形满足到正三角形 的顶点
6、 ， B， C的距离都小于 2 的平面区域如图中阴影部分所示，则 2S阴 ，则使取到的点到三个顶点 A， ， 的距离都大于 2 的概率为：523164P故选 A4在区间 0,上随机取两个数 x， y，记 P为事件2“3xy的概率，则 P（ ）A23B12C49D29【答案】D【解析】如图所示， 01x， y表示的平面区域为 AB，平面区域内满足23y的部分为阴影部分的区域 PQ，其中203,，23Q,，结合几何概型计算公式可得满足题意的概率值为129p，故选 D5在区间 02,上随机取一个数，sin2x的值介于 0 到12之间的概率为（ ）A13B C D23【答案】A【解析】由10sin2x
7、，得026x，或52x，10x或52x，记i的值介于 0 到 之间，则构成事件 A的区域长度为1533；全部结果的区域 02,长度为 2；213P，故选 A6点 在边长为 1 的正方形 BCD内运动，则动点 P到定点 A的距离 1P的概率为（ ）A14B 2C4D 【答案】C6【解析】满足条件的正方形 ABCD，如图所示：其中满足动点 P到定点 A的距离 1P的平面区域如图中阴影部分所示，则正方形的面积 1S正 ，阴影部分的面积 4S阴故动点 P到定点 A的距离 P的概率阴正故选 C7如图所示，在椭圆214xy内任取一个点 P，则 恰好取自椭圆的两个端点连线与椭圆围成阴影部分的概率为（ ）A1
8、42B14C18D18【答案】A【解析】先求椭圆面积的14，由21xy知24x，22001dxd4Sx椭 圆，而20表示24yx与 ， 2x围成的面积，即圆24xy面积的1，204dx， 01dS椭 圆， S椭 圆 ，概率124P，故选 A78如图，若在矩形 OABC中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为（ ）A21B2C 2D 21【答案】A【解析】 1S矩 形 ，又00sindxcoscso02， 2S阴 影 ，豆子落在图中阴影部分的概率为21故选 A9把不超过实数 x的最大整数记为 x，则函数 fx称作取整函数，又叫高斯函数，在 14,上任取 x，则 2x的概率为（ ）A14B
9、13C12D23【答案】D【解析】当 12x,时，则 21x，满足 x；当 ,3时， ， ,6，则 2，满足 2x；当 ,4x时， x， 2x,，则 x不满足 ；当 时， ， ，则 2，不满足 2x综上，满足 2x的 1,3x，则 x的概率为314，故选 D10关于圆周率 ，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的普丰实验和查理斯实验受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计 的值：先请 120 名同学每人随机写下一个 x， y都小于 1 的正实数对 xy,，再统计其中 能与 1 构成钝角三角形三边的数对 xy,的个数 m，最后根据统计个数 m估， 计 的值如果统计结果是 34m，那么可
10、以估计 的值为（ ）8A27B4715C516D5317【答案】B【解析】 由题意，120 对都小于 的正实数 xy,，满足01xy，面积为 1，1两个数能与 1 构成钝角三角形的三边的数对 ，满足21xy且0xy，面积为142，统计两数能与 1 构成钝角三角形三边的数对 xy,的个数为 34m，则34120，475，故选 B11为了节省材料，某市下水道井盖的形状如图 1 所示，其外围是由以正三角形的顶点为圆心，正三角形的边长为半径的三段圆弧组成的曲边三角形，这个曲边三角形称作“菜洛三角形” 现有一颗质量均匀的弹珠落在如图 2 所示的莱洛三角形内，则弹珠恰好落在三角形 ABC内的概率为（ ）A
11、32B32C32D31【答案】A【解析】弹珠落在莱洛三角形内的每一个位置是等可能的，由几何概型的概率计算公式可知所求概率： 22 21sin6031123 sin60ABCSP ou or( ABCur 为莱洛三角形的面积） ，故选 A12下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 的斜边 BC，直角边 ， C AB 的三边所围成的区域记为 I，黑色部分记为 II，9其余部分记为 III在整个图形中随机取一点，此点取自 I，II，III 的概率分别记为 1p， 2， 3，则（ ）A 12pB 13pC 23pD 123p【答案】A【解析】设
12、 Cb， Ac， a，则有 22bca，从而可以求得 B 的面积为 1Sc，黑色部分的面积为222222 114cbacbabc214cba，其余部分的面积为22314aaSbcc，有 12S，根据面积型几何概型的概率公式，可以得到 12p，故选 A二、填空题13在区间 02,内任取一个实数 a，则使函数 21logafxx在 0,上为减函数的概率是_【答案】14【解析】函数 21logafxx在 0,上为减函数， 021a，因此所求概率为12414记集合 216Axy,，集合 0, BxyxyA, 表示的平面区域分别为 1，102若在区域 1内任取一点 Pxy,，则点 落在区域 2中的概率为
13、_【答案】34【解析】画出 216Axy,表示的区域 1，即图中以原点为圆心，半径为 2 的圆；集合 0, BA, 表示的区域 2，即图中的阴影部分由题意可得 16S， 23164182，根据几何概型概率公式可得所求概率为2134SP15如图，曲线sin32xy把边长为 4 的正方形 OABC分成黑色部分和白色部分在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是_【答案】14【解析】由题意可知，阴影部分的面积4 41 00 2sin3dxcos2S x，正方形的面积： 2416S，11由几何概型计算公式可知此点取自黑色部分的概率：1246Sp16父亲节小明给爸爸从网上购买了一双运动鞋，就在父亲
14、节的当天，快递公司给小明打电话话说鞋子已经到达快递公司了，马上可以送到小明家，到达时间为晚上 6 点到 7 点之间，小明的爸爸晚上 5 点下班之后需要坐公共汽车回家，到家的时间在晚上 5 点半到 6 点半之间求小明的爸爸到家之后就能收到鞋子的概率（快递员把鞋子送到小明家的时候，会把鞋子放在小明家门口的“丰巢”中）为_【答案】18【解析】设爸爸到家时间为 x，快递员到达时间为 y，以横坐标表示爸爸到家时间，以纵坐标表示快递送达时间，建立平面直角坐标系，爸爸到家之后就能收到鞋子的事件构成区域如下图：根据题意，所有基本事件构成的平面区域为5.6.7xxy,，面积 1S，爸爸到家之后就能收到鞋子的事件，构成的平面区域为.5.60xxy,，直线 0xy与直线 6.5x和 y交点坐标分别为 ,和 .5,，218S阴 影，由几何概型概率公式可得，爸爸到家之后就能收到鞋子的概率：18SP阴 影故答案为18
