1、1培优点十九 圆锥曲线综合1直线过定点例 1：已知中心在原点，焦点在 x轴上的椭圆 C的离心率为 2，过左焦点 F且垂直于 x轴的直线交椭圆 C于 P， Q两点，且 2P（1）求 的方程；（2）若直线 l是圆 28xy上的点 ,处的切线，点 M是直线 l上任一点，过点 M作椭圆 C的切线 MA， B，切点分别为 A， B，设切线的斜率都存在求证：直线 AB过定点，并求出该定点的坐标【答案】 （1）2184xy；（2）证明见解析， 2,1【解析】 （1）由已知，设椭圆 C的方程为 20xyab，因为 2PQ，不妨设点 ,Pc，代入椭圆方程得21c，又因为 cea，所以 21b， ，所以 24b，
2、 28ab，所以 C的方程为284xy（2）依题设，得直线 l的方程为 2yx，即 40y，设 0,Mxy， 1,Axy， 2,Bx，由切线 的斜率存在，设其方程为 11ykx，联立11284ykx得， 2211480kxykx，由相切得 2 2221 1680kyxyk，化简得 14，即 2114x，因为方程只有一解，所以 122118xyky，所以切线 MA的方程为112xy，即 18，同理，切线 MB的方程为 28xy，2又因为两切线都经过点 0,Mxy，所以 1010228xy，所以直线 AB的方程为028xy，又 04xy，所以直线 AB的方程可化为 00248xy，即 0280，令
3、 28xy，得 1，所以直线 AB恒过定点 ,12面积问题例 2：已知椭圆 210xyab的左、右焦点分别为 1F、 2，焦距为 4，直线1:blyc与椭圆相交于 A、 B两点， 2F关于直线 1l的对称点 E在椭圆上斜率为 1的直线 2l与线段 B相交于点 P，与椭圆相交于 C、 D两点（1）求椭圆的标准方程；（2）求四边形 ACBD面积的取值范围【答案】 （1）2184xy；（2） 32,9【解析】 （1）由椭圆焦距为 4，设 1,0F， 2,，连结 1EF，设 12，则 tanbc，又 22ac，得 sinba， cos，12901|iFaceEb，解得 22abcc， 28a，所以椭圆
4、方程为2184xy3（2）设直线 2l方程： +yxm， 1,Cy、 2,Dxy，由 184xy，得 223480，所以12438mx，由（1）知直线 1l： yx，代入椭圆得 26,3A， 26,3B，得 83AB，由直线 2l与线段 AB相交于点 P，得 4,m，222 21211 8648 +193mCDxxx，而 2lk与 1l，知 21l， 21ACBDS，由 46,3m，得 3,0m，所以 2633+,99m，四边形 ACBD面积的取值范围 2,933参数的值与范围例 3：已知抛物线 2:0Cypx的焦点 1,0F，点 ,2A在抛物线 C上，过焦点 F的直线 l交抛物线 于 M，
5、N两点（1）求抛物线 的方程以及 A的值；（2）记抛物线 C的准线与 x轴交于点 B，若 MFN， 2240B，求 的值【答案】 （1） 24y， 2F；（2） 3【解析】 （1） 抛物线 :0ypx的焦点 1,0，2p，则 4，抛物线方程为 24；点 1,A在抛物线 C上， 1AF（2）依题意， ,0F，设 :lxmy，设 1,Mxy、 2,Nxy，4联立方程241yxm，消去 x，得 240ym所以 124y ，且 12xy，又 MFN，则 12,1,xyxy，即 12y，代入得 24ym，消去 2得 4，1,0B，则 1,xy， 21,BNxy，则 2 22 11|MNy21212xxy
6、2121()()myymy22148y426816016，当 421014m，解得 2m，故 34弦长类问题例 4：已知椭圆 21:0xyCab的左右顶点是双曲线2:13xCy的顶点，且椭圆 1的上顶点到双曲线 2的渐近线的距离为 32（1）求椭圆 1的方程；（2）若直线 l与 C相交于 1M， 2两点，与 2C相交于 1Q， 2两点，且 125OQ，求 12M的取值范围【答案】 （1）213xy；（2） 0,1【解析】 （1）由题意可知： 3a，又椭圆 1C的上顶点为 0,b，5双曲线 2C的渐近线为： 30yxy，由点到直线的距离公式有： 12b，椭圆方程213xy（2）易知直线 的斜率存
7、在，设直线 的方程为 ykm，代入2，消去 y并整理 得：2213630kxm，要与 2C相交于两点，则应有： 2 2213130 641330k kmkm ，设 1,Qxy， 2,xy，则有： 263km，2123k又 2 21211211Oxyxmxkxmx 又： 5Q，所以有： 2236353kk ，2219mk，将 yx，代入213xy，消去 y并整理得： 2210kxm，要有两交点，则 2264303kmk由有 209设 13,Mxy、 24,xy有 34261kmx，23431xk，22126kmk2224391kk将 229m代入有 22 212 12214133kkMM2123
8、k，令 2tk， 0,9t，6令 23113t tfft， 10,9所以 0ft在 ,9t内恒成立，故函数 ft在 10,9内单调递增，故 1250,0,7ftM5存在性问题例 5：已知椭圆 2:10xyCab的左、右焦点分别为 1,0F， 21,，点21,A在椭圆 上（1）求椭圆 的标准方程；（2）是否存在斜率为 2 的直线 l，使得当直线 l与椭圆 C有两个不同交点 M， N时，能在直线 53y上找到一点 P，在椭圆 C上找到一点 Q，满足 P？若存在，求出直线 l的方程；若不存在，说明理由【答案】 （1）21xy；（2）不存在，见解析【解析】 （1）设椭圆 C的焦距为 c，则 1， 2,
9、A在椭圆 上， 22122aAF， a， 22bac，故椭圆 的方程为 21xy（2）假设这样的直线存在，设直线 l的方程为 t，设 1,Mxy， 2,Nxy， 35,Px， 4,Qxy， MN的中点为 0,Dxy，由 2txy，消去 ，得 22980t，7 129ty，且 2243680tt，故 1209yt且 3t，由 PMNQ，知四边形 PMN为平行四边形，而 D为线段 的中点，因此 D为线段 PQ的中点，405329yt，得 42159ty，又 3t，可得 4713y，点 Q不在椭圆上，故不存在满足题意的直线 l对点增分集训一、解答题1已知动圆 P过点 2,0F并且与圆 21:4Fxy
10、相外切，动圆圆心 P的轨迹为 C（1）求曲线 C的轨迹方程；（2）过点 2,的直线 1l与轨迹 C交于 A、 B两点，设直线 1:2lx，设点 1,0D，直线 AD交 l于 M，求证：直线 B经过定点【答案】 （1） 203yxx；（2）见解析【解析】 （1）由已知 12| | PF， 12| | PF，P轨迹 C为双曲线的右支， a， ， | 4c， 2曲线 标准方程 2103yxx（2）由对称性可知，直线 BM必过 轴的定点，当直线 1l的斜率不存在时， 2,A， ,3， 1,2，知直线 BM经过点 1,0P，当直线 1l的斜率存在时，不妨设直线 1:lykx， 1,Axy， 2,xy，8
11、直线 1:yADx，当 12时， 13Myx， 13,2yx，23ykx得 222340kxk， 12243k，2143k，下面证明直线 BM经过点 1,0P，即证 PMB，即 12yx，即 12123yxy，由 12ykx， 2yk，整理得， 12124540xx，即 222434350kk即证 BM经过点 ,P，直线 BM过定点 1,02已知点 31,2在椭圆2:xyEab上，设 A， B分别为椭圆的左顶点、下顶点，原点 O到直线 AB的距离为 17（1）求椭圆 的方程；（2）设 P为椭圆 E在第一象限内一点，直线 PA， B分别交 y轴、 x轴于 D， C两点，求四边形 ABCD的面积【
12、答案】 （1）2143xy；（2） 3【解析】 （1）因为椭圆 2:0xyEab经过点 31,2，有 2941ab，由等面积法，可得原点 O到直线 AB的距离为 27b，联立两方程解得 2a， 3b，所以椭圆 E的方程为2:143xy（2）设点 00,Pxy，则20143xy，即 20直线 0:2A，令 ，得 0Dx从而有 003232yxyBDx，同理，可得 0323xyAC9所以四边形的面积为 0032323112xyxyACBD200000000 0343814181 2323xyxy yxy 00062323xyy所以四边形 ABCD的面积为 233已知点 为圆 18xy的圆心， P是
13、圆上的动点，点 Q在圆的半径 CP上，且有点 1,0和 P上的点 M，满足 0QA， 2AM（1）当点 在圆上运动时，判断 点的轨迹是什么？并求出其方程；（2）若斜率为 k的直线 l与圆 21xy相切，与（1）中所求点 Q的轨迹交于不同的两点F， H，且 3445OF（其中 O是坐标原点） ，求 k的取值范围【答案】 （1）是以点 C， A为焦点，焦距为 2，长轴长为 2的椭圆，21xy；（2）232,【解析】 （1）由题意 MQ是线段 AP的垂直平分线，所以 22CPCC，所以点 的轨迹是以点 ， 为焦点，焦距为 2，长轴长为 2的椭圆， 2a， 1c， 21bac，故点 Q的轨迹方程是 x
14、y（2）设直线 l： kb， 1,F， 2,Hxy，直线 l与圆 21xy相切，得 2k，即 21bk，10联立21xykb，消去 y得： 22140kxb，222264818 k，得 k，122kx，21bxk， 22 2 21211141kbkbOFHyxxb22 22141kkk，所以235k，得 23， ，解得 3k或 2k，故所求范围为 22,34已知椭圆 2:10xyCab的焦距为 c，离心率为 12，圆 22:Oxyc， 1A，2A是椭圆的左右顶点， AB是圆 O的任意一条直径， 1AB 面积的最大值为 2（1）求椭圆 及圆 的方程；（2）若 l为圆 O的任意一条切线， l与椭圆
15、 E交于两点 P， Q，求 的取值范围【答案】 （1）2143xy， 21xy；（2） 463,【解析】 （1）设 B点到 轴距离为 h，则 1112ABAOBSha ，易知当线段A在 y轴时， maxhOc， 1ac ，2ce， ， 2， ， 3b，所以椭圆方程为2143xy，圆的方程为 21xy（2）当直线 L的斜率不存在时，直线 L的方程为 ，此时23bPQa；11设直线 L方程为： ykxm，直线为圆的切线， 21mdk， 21k，直线与椭圆联立， 2143，得 2243840kx，判别式 280k，由韦达定理得：12341kmx，所以弦长221431kPQkx，令 23tk，所以21
16、4633,Pt；综上， 46,Q，5如图，己知 1F、 2是椭圆 2:10xyGab的左、右焦点，直线:lykx经过左焦点 1，且与椭圆 交 A， B两点， 2AF 的周长为 43（1）求椭圆 的标准方程；（2）是否存在直线 I，使得 2BF 为等腰直角三角形？若存在，求出直线 l的方程；若不存在，请说明理由【答案】 （1）213xy；（2）不存在，见解析【解析】 （1）设椭圆 G的半焦距为 c，因为直线 l与 x轴的交点为 1,0，故 1c又 2ABF 的周长为 4，即 243ABFa，故 a，所以，231bac12因此，椭圆 G的标准方程为213xy（2）不存在理由如下：先用反证法证明 AB不可能为底边，即 2AFB由题意知 21,0F，设 1,xy， ,xy，假设 2F，则211xy，又23， 213x，代入上式，消去 21y， 得： 121260xx因为直线 l斜率存在，所以直线 l不垂直于 x轴，所以 ，故 (与 1x， 2， 1236x矛盾）联立方程 213xyk，得： 223630kxk，所以21263kx矛盾故 2AFB再证明 不可能为等腰直角三角形的直角腰假设 2 为等腰直角三角形，不妨设 A为直角顶点设 1AFm，则 23m，在 12F 中，由勾股定理得： 2234m，此方程无解故不存在这样的等腰直角三角形
