1、1培优点十三 三视图与体积、表面积1由三视图求面积例 1：一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_【答案】 3【解析】由三视图可得该几何体由一个半球和一个圆锥组成，其表面积为半球面积和圆锥侧面积的和球的半径为 3，半球的面积 214318S，圆锥的底面半径为 3，母线长为 5，圆锥的侧面积为 25rl，表面积为 123S2由三视图求体积例 2：某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A4 B 2C 42D8【答案】D【解析】由于长方体被平面所截，很难直接求出几何体的体积，可以考虑沿着截面再接上一个一模一样的几何体，2从而拼成了一个长方体，长方
2、体由两个完全一样的几何体拼成，所求体积为长方体体积的一半。从图上可得长方体的底面为正方形，且边长为 2，长方体的高为 314， 416V长 方 体 ， 82V长 方 体 ，故选 D对点增分集训一、单选题1某几何体的三视图如图所示，若该几何体的表面积为 ，则俯视图中圆的半径为（ 16+）A1 B2 C3 D4【答案】A【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体挖去了一个半球，设圆半径为 r，该几何体的表面积 222416Srrr，得 1，故选 A2正方体 1ABCD中， E为棱 1A的中点（如图）用过点 BED、 、 的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（ ）3A B C D【答案
3、】D【解析】由题意可知：过点 B、 E、 1D的平面截去该正方体的上半部分，如图直观图，则几何体的左视图为 D，故选 D3如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A 236B 72C 76D4【答案】A【解析】由三视图可得，该几何体是如图所示的三棱柱 11ABC挖去一个三棱锥EFCG，故所求几何体的体积为 1232326，故选 A4一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为 1 的半圆，则该几何体的表面积为（ ）4A 251B 521C D 【答案】C【解析】由三视图可知，其对应的几何体是半个圆锥，圆锥的底面半径为 1r，圆锥的高 2h，其母
4、线长 215l，则该几何体的表面积为：1 152S ，本题选择 C 选项5若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如图所示，则所截去的三棱锥的外接球的表面积等于（ ）A 34B 32C 17D 172【答案】A【解析】由三视图知几何体是底面为边长为 3，4，5 的三角形，高为 5 的三棱柱被平面截得的，如图所示，5截去的是一个三棱锥，底面是边长为 3，4，5 的直角三角形，高为 3 的棱锥，如图蓝色线条的图像是该棱锥，三棱锥上底面外接圆半径 52圆心设为 M半径为 r，球心到底面距离为 32，设球心为 O，由勾股定理得到2534hRr， 234SR，故选 A6如图，网格纸上小正方形的边长为
5、 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积为（ ）A 32B 16C 36D 72【答案】C【解析】还原几何体如图所示三棱锥由 1BD（如下左图） ，将此三棱锥补形为直三棱柱 1BCD（如上右图） ，在直三棱柱 1B中取 1、 的中点 12O、 ，取 12中点 O，622253ROA， 22436SR表 ，故答案为 C7一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A 642B 842C 643D 843【答案】B【解析】根据三视图，画出原空间结构图如下图所示：表面积为 11111DABDCABCDSSS12222842，故选 B8已知一个三棱锥的三视图如图所示，
6、其中三视图的长、宽、高分别为 2， a， b，且50,2abb，则此三棱锥外接球表面积的最小值为（ ）A 174B 214C 4D 5【答案】B7【解析】由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体 1ABCD的四个顶点，即为三棱锥 1ACBD，且长方体 1ABCD的长、宽、高分别为 2， a， b，此三棱锥的外接球即为长方体 1ABCD的外接球，且球半径为2224ababR，三棱锥外接球表面积为 2 221454aba ，当且仅当 1a， 2b时，三棱锥外接球的表面积取得最小值为 故选 B9在四棱锥 PABCD中， P底面 ABCD，底面 为正方形， PA，该四棱锥被一平面截去一部分后
7、，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）A 12B 13C 14D 15【答案】B【解析】由三视图知，剩余部分的几何体是四棱锥 PAB被平面 Q截去三棱锥QCD（ 为 P中点）后的部分，连接 C交 D于 O，连楼 ，则 OPA ，8且 12OQPA，设 Ba，则 31PABCDVa， 23113QBCDVa，剩余部分的体积为： 312，则所求的体积比值为： 312a本题选择 B 选项10如图，画出的是某四棱锥的三视图，网格纸上小正方形的边长为 1，则该几何体的体积为（ ）A15 B16 C 503D 53【答案】C【解析】由题得几何体原图是下图中的四棱锥 ABE，底面
8、四边形 BCDE的面积为 14210，9四棱锥的体积为 1503，故答案为 C11某几何体的三视图如图（虚线刻画的小正方形边长为 1）所示，则这个几何体的体积为（ ）A 94B 823C12 D 83【答案】D【解析】几何体为如图多面体 PADE，体积为 1182221333DPABECDV，故选 D12如图为一个多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A 203B7 C 23D 23【答案】B【解析】如图所示，该几何体为正方体去掉两个倒置的三棱锥，10该多面体的体积为 3211273V；故选 B二、填空题13网格纸上小正方形的边长为 1，粗虚、实线画出的是某个长方体挖去一个几何体得到的几何图
9、形的三视图，则该被挖去的几何体的体积为_【答案】12【解析】根据三视图知长方体挖去部分是一个底面为等腰梯形（上底为 2，下底为 4，高为2）高为 2 的直四棱柱， 12412VSh14已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积和体积分别为_与_11【答案】 40， 4163【解析】由三视图可知，其对应的几何体是一个组合体，上半部分是一个直径为 2 的球，下半部分是一个直棱柱，棱柱的底面是边长为 2 的正方形，高为 4，则该几何体的表面积 224140S，几何体的体积： 363V15某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为_【答案】1【解析】根据题中所给的三视图，还原几何体，可知其为有一条侧棱垂直于底面的一个四棱锥，该四棱锥的底面就是其俯视图中的直角梯形，根据图中所给的数据，结合椎体的体积公式，可得其体积 1213V，故答案是 116已知某几何体的三视图如图所示，三视图的轮廓均为正方形，则该几何体的体积为_12【答案】 23【解析】由三视图知，该几何体由正方体沿面 1ABD与面 1C截去两个角所得，其体积为 33122，故答案为 23
