1、1课时训练(十五) 二次函数的应用(限时:40 分钟)|夯实基础 |1.河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形,建立如图 K15-1 所示的平面直角坐标系,其函数解析式为 y=- x2,当125水面离桥拱顶的高度 DO 是 4 m 时,水面的宽度 AB 为 ( )图 K15-1A.-20 m B.10 m C.20 m D.-10 m2.如图 K15-2 是拱形大桥的示意图,桥拱与桥面的交点为 O,B,以点 O 为原点,水平直线 OB 为 x 轴,建立平面直角坐标系,桥的拱形可近似看成抛物线 y=- (x-80)2+16,桥拱与桥墩 AC 的交点 C 恰好在水面 CD 处,有 AC x 轴,
2、若 OA=10 米,则桥1400面离水面的高度 AC 为 ( )2图 K15-2A.16 米 B. 米 C.16 米 D. 米940 174 740 1543.如图 K15-3,假设篱笆(虚线部分)的长度为 16 m,则所围成矩形 ABCD 的最大面积是 ( )图 K15-3A.60 m2 B.63 m2 C.64 m2 D.66 m24.2018威海 如图 K15-4,将一个小球从斜坡的点 O 处抛出,小球的抛出路线可以用二次函数 y=4x- x2刻画,斜坡可12以用一次函数 y= x 刻画,下列结论错误的是 ( )12图 K15-4A.当小球抛出高度达到 7.5 m 时,小球距 O 点水平
3、距离为 3 mB.小球距 O 点水平距离超过 4 m 时呈下降趋势C.小球落地点距 O 点水平距离为 7 mD.斜坡的坡度为 1 25.2017天门 飞机着落后滑行的距离 s(单位:米)关于滑行的时间 t(单位:秒)的函数解析式是 s=60t- t2,则飞机着32落后滑行的最长时间为 秒 . 6.竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数,小军相隔 1 秒依次竖直向上抛出两个小球,假设两个小球离手时离地高度相同,在各自抛出后 1.1 秒时达到相同的最大离地高度,第一个小球抛出后 t 秒时在空中与第二个小球的离地高度相同,则 t= . 37.2018沈阳 如图 K15-5,一块矩形土地 ABC
4、D 由篱笆围着,并且由一条与 CD 边平行的篱笆 EF 分开 .已知篱笆的总长为 900 m(篱笆的厚度忽略不计),当 AB= m 时,矩形土地 ABCD 的面积最大 . 图 K15-58.某服装店购进单价为 15 元的童装若干件,销售一段时间后发现:当销售价为 25 元时平均每天能售出 8 件,而当销售价每降低 2 元时,平均每天能多售出 4 件,当每件的定价为 元时,该服装店平均每天的销售利润最大 . 9.2018湖州 如图 K15-6,在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 y=ax2+bx(a0)的顶点为 C,与 x 轴的正半轴交于点A,它的对称轴与抛物线 y=ax2(a0)交于点
5、B.若四边形 ABOC 是正方形,则 b 的值是 . 图 K15-610.2018十堰 为早日实现脱贫奔小康的宏伟目标,我市结合本地丰富的山水资源,大力发展旅游业 .王家庄在当地政府的支持下,办起了民宿合作社,专门接待游客,合作社共有 80 间客房,根据合作社提供的房间单价 x(元)和游客居住房间数 y(间)的信息,乐乐绘制出 y 与 x 的函数图象如图 K15-7 所示 .(1)求 y 与 x 之间的函数关系式;(2)合作社规定每个房间价格不低于 60 元且不超过 150 元,对于游客所居住的每个房间,合作社每天需支出 20 元的各种费用,房价定为多少时,合作社每天获利最大?最大利润是多少?
6、4图 K15-711.2017德州 随着新农村的建设和旧城的改造,我们的家园越来越美丽 .小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池,在水池中心竖直安装了一根高为 2 米的喷水管,它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 1 米处达到最高,水柱落地处离池中心 3 米 .(1)请你建立适当的平面直角坐标系,并求出水柱抛物线的函数解析式;(2)求出水柱的最大高度是多少 .图 K15-8|拓展提升 |12.2017绍兴 某农场拟建一间矩形种牛饲养室,饲养室的一面靠现有墙(墙足够长),已知计划中的建筑材料可建围5墙的总长度为 50 m.设饲养室长为 x(m),占地面积为 y(m2).(1)如图 K15-9
7、 ,问饲养室长 x 为多少时,占地面积 y 最大?(2)如图 K15-9 ,现要求在图中所示位置留 2 m 宽的门,且仍使饲养室的占地面积最大 .小敏说:“只要饲养室长比(1)中的长多 2 m 就行了 .”请你通过计算,判断小敏的说法是否正确 .图 K15-96参考答案1.C 解析 根据题意,得点 B 的纵坐标为 -4,把 y=-4 代入 y=- x2,得 x=10,125A (-10,-4),B(10,-4),AB= 20 m,即水面的宽度 AB 为 20 m.2.B 解析 AC x 轴, OA=10 米, 点 C 的横坐标为 -10.当 x=-10 时, y=- (x-80)2+16=-
8、(-10-80)2+16=- ,1400 1400 174C ,(-10,-174) 桥面离水面的高度 AC 为 米 .174故选 B.3.C 解析 设 BC=x m,则 AB=(16-x)m,矩形 ABCD 的面积为 y m2,根据题意,得 y=(16-x)x=-x2+16x=-(x-8)2+64,当 x=8 时, y 最大值 =64, 所围成矩形 ABCD 的最大面积是 64 m2.4.A 解析 根据函数图象可知,当小球抛出的高度为 7.5 m 时,二次函数 y=4x- x2的函数值为 7.5,即 4x- x2=7.5,解12 12得 x1=3,x2=5,故当抛出的高度为 7.5 m 时,
9、小球距离 O 点的水平距离为 3 m 或 5 m,A 结论错误;由 y=4x- x2,得 y=-12(x-4)2+8,则抛物线的对称轴为直线 x=4,当 x4 时, y 随 x 值的增大而减小,B 结论正确;联立方程 y=4x- x2与 y= x,解12 12 12得 或 则抛物线与直线的交点坐标为(0,0)或 7, ,C 结论正确;由点 7, 知坡度为 7=1 2 也可以=0,=0 =7,=72. 72 72 72根据 y= x 中系数 的意义判断坡度为 1 2 ,D 结论正确 .故选 A.12 125.20 解析 滑行的最长时间实际上是求 s 取最大值时对应的时间 t 的值 .7s= 60
10、t- t2=- (t-20)2+600,32 32 当 t=20 秒时, s 的最大值为 600 米 .6.1.6 解析 设各自抛出后 1.1 秒时达到相同的最大离地高度 h,则第一个小球的离地高度 y=a(t-1.1)2+h(a0),由题意 a(t-1.1)2+h=a(t-1-1.1)2+h,解得 t=1.6.故第一个小球抛出后 1.6 秒时在空中与第二个小球的离地高度相同 .7.150 解析 设 AB=x m,矩形土地 ABCD 的面积为 y m2,由题意,得 y=x =- (x-150)2+33750,- 0, 该函900-32 32 32数图象开口向下,当 x=150 时,该函数有最大
11、值 .即 AB=150 m 时,矩形土地 ABCD 的面积最大 .8.22 解析 设每件的定价为 x 元,每天的销售利润为 y 元 .根据题意,得 y=(x-15)8+2(25-x)=-2x2+88x-870.y=- 2x2+88x-870=-2(x-22)2+98.a=- 20, 抛物线开口向下, 当 x=22 时, y 最大值 =98.故答案为 22.9.-2 解析 由抛物线 y=ax2+bx 可知,点 C 的横坐标为 - ,纵坐标为 - . 四边形 ABOC 是正方形, -2 24= .b= 0(舍去)或 b=-2.故填 -2.22410.解:(1)依题意,函数图象上的两点的坐标分别为(
12、70,75),(80,70),设 y 与 x 的函数关系式为 y=kx+b,则: 解得:70+=75,80+=70, =-12,=110,即 y 与 x 的函数关系式为 y=- x+110.12(2)设合作社每天获得的利润为 W 元,8则由题意知: W=(x-20)y=(x-20) - x+110 =- (x-120)2+5000,12 12当 x=120 时, W 最大 =5000,即当房价为 120 元时,合作社每天获利最大,最大利润为 5000 元 .11.解析 (1)由于题目所给数据均与水池中心相关,故可选取水池中心为原点,原点与水柱落地点所在直线为 x 轴,喷水管所在直线为 y 轴,
13、建立平面直角坐标系,再利用顶点式求解函数关系式;(2)抛物线顶点的纵坐标即为水柱的最大高度 .解:(1)如图,以喷水管与地面交点为原点,原点与水柱落地点所在直线为 x 轴,喷水管所在直线为 y 轴,建立平面直角坐标系 .由题意可设抛物线的函数解析式为 y=a(x-1)2+h(0 x3) .抛物线过点(0,2)和(3,0),代入抛物线解析式可得解得4+=0,+=2. =-23,=83.所以抛物线的解析式为 y=- (x-1)2+ (0 x3) .23 83化为一般式为 y=- x2+ x+2(0 x3) .23 43(2)由(1)抛物线的解析式为 y=- (x-1)2+ (0 x3)可知当 x=1 时, y 最大值 = .23 83 83所以抛物线水柱的最大高度为 m.83912.解:(1) y=x =- (x-25)2+ ,50-2 12 6252 当 x=25 时,占地面积 y 最大 .(2)y=x =- (x-26)2+338,50-(-2)2 12 当 x=26 时,占地面积 y 最大 .即当饲养室长为 26 m 时,占地面积最大 . 26-25=12, 小敏的说法不正确 .
