1、1专题复习(一) 数学思想方法类型 1 整体思想整体思想是一种解题思想，它主要渗透在解题步骤当中常见的有：1求代数式的值时，不是求出代数式中每个字母的值，而是求代数式中整体某一个部分的值2求零散图形的面积时，利用它们的结构特点或全等变换进行整体求出这种思想可以应用到各种类型的题之中(2017北京)如果 a22a10，那么代数式(a ) 的值是( C)4a a2a 2A3 B1 C1 D3【思路点拨】 先化简所求代数式，然后把方程变形成 a22a1，利用整体代入的方法求代数式的值1(2018孝感)已知 xy4 ，xy ，则式子(xy )(xy )的值是( D)3 34xyx y 4xyx yA4
2、8 B12 C16 D1232(2018南充)已知 3，则代数式 的值是( D)1x 1y 2x 3xy 2yx xy yA B C. D.72 112 92 343(2018云南)已知 x 6，则 x2 ( C)1x 1x2A38 B36 C34 D324(2018玉林)已知 abab1，则(a1)(b1)25(2018菏泽)若 ab2，ab3，则代数式 a3b2a 2b2ab 3的值为126(2018滨州)若关于 x，y 的二元一次方程组 的解是 则关于 a，b 的二元一次方程组3x my 5，2x ny 6) x 1，y 2， )的解是 3（ a b） m（ a b） 5，2（ a b）
3、 n（ a b） 6) a 32b 12)7(2018内江)已知关于 x 的方程 ax2bx10 的两根为 x11，x 22，则方程 a(x1) 2b(x1)10 的两根之和为 1类型 2 分类思想分类讨论思想常见的六种类型：1方程：若含有字母系数的方程有实数根，要考虑二次项系数是否等于 0，进行分类讨论2等腰三角形：如果等腰三角形给出两条边求第三条边或给出一角求另外两角时，要考虑所给的边是腰还是底边，所给出的角是顶角还是底角进行分类解决3直角三角形：在直角三角形中给出两边的长度，确定第三边时，若没有指明直角边和斜边，要注意分情况进行讨论(分类讨论)，然后利用勾股定理即可求解4相似三角形：若题
4、目中出现两个三角形相似，则需要讨论各边的对应关系；若出现位似，则考虑两个图形在位似中心的同旁或两旁两种情况讨论5一次函数：已知一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，求 k 的值，常分直线交坐标轴于正半轴和负半轴两种情况讨论；确定反比例函数与一次函数交点个数，常分第一、三象限或第二、四象限两种情况讨论6圆：圆的一条弦(直径除外)对两条弧，常分优弧和劣弧两种情况讨论；求圆中两条平行弦的距离，常分两2弦在圆心的同旁和两旁两种情况讨论(2017孝感)已知半径为 2 的O 中，弦 AC2，弦 AD2 ，则COD 的度数为 30或 1502【思路点拨】 先根据等边三角形的性质与判定、勾股定理的逆定理分别求出
5、AOC 和AOD 的度数，再根据点 D 位置的不确定性进行分类讨论，求出COD 的度数1(2018乐山)已知实数 a，b 满足 ab2，ab ，则 ab( C)34A1 B C1 D52 522(2018安顺)一个等腰三角形的两条边长分别是方程 x27x100 的两根，则该等腰三角形的周长是( A)A12 B9 C13 D12 或 93(2018潍坊)如图，菱形 ABCD 的边长是 4 厘米，B60，动点 P 以 1 厘米/秒的速度自 A 点出发沿 AB 方向运动至 B 点停止，动点 Q 以 2 厘米/秒的速度自 B 点出发沿折线 BCD 运动至 D 点停止若点 P，Q 同时出发运动了t 秒，
6、记BPQ 的面积为 S 平方厘米，下面图象中能表示 S 与 t 之间的函数关系的是( D)A B C D4(2018安顺)若 x22(m3)x16 是关于 x 的完全平方式，则 m1 或 75(2018齐齐哈尔)若关于 x 的方程 无解，则 m 的值为1 或 5 或 1x 4 mx 4 m 3x2 16 136(2017随州)在ABC 中，AB6，AC5，点 D 在边 AB 上，且 AD2，点 E 在边 AC 上，当 AE 或 时，以53 125A，D，E 为顶点的三角形与ABC 相似7(2017兰州)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，ABCO 的顶点 A，B 的坐标分别是 A(3，0)，B
7、(0，2)，动点 P 在直线 y x 上运动，以点 P 为圆心，PB 长为半径的P 随点 P 运动，当P 与ABCO 的边相切时，P 点的坐32标为(0，0)或( ，1)或(3 ， )23 5 9 352类型 3 化归思想化归的思想是指在解 决问题的过程中，对问题进行转化，将“未知”转化为“已知” ，将“陌生”转化为“熟悉” ，将“复杂”转化为“简单”的解题方法化归思想常见的六种类型：1在解方程和方程组中的应用：通过消元将二元一次方程组转化为一元一次方程；通过降次把一元二次方程3转化为一元一次方程；通过去分母把分式方程转化为整式方程2多边形化为三角形：解决平行四边形、正多边形的问题通过添加辅助
8、线转化为全等三角形、等腰三角形、直角三角形去解决3立体图形转化为平面图形：立体图形的展开与折叠、立体图形的三视图体现了立体图形与平面图形之间的相互转化4一 般三角形转化为直角三角形：通过作已知三角形的高，将问题转化为直角三角形问题5化不规则图形为规则图形：根据图形的特点进行平移、旋转、割补等方法将不规则图形的面积转化为规则图形(如三角形、矩形、扇形等)面积的和或差进行求解6转化和化归在圆中的应用：圆中圆心角与圆周角、等弧与等弦、等弧与等弧所对的圆周角都是可以相互转化的如图，在扇形 OAB 中，C 是 OA 的中点，CDOA，CD 与 交于点 D，以 O 为圆心，OC 的长为半径作 交 OBAB
9、 CE 于点 E.若 OA4，AOB120，则图中阴影部分的面积为 2 (结果保留 )43 3【思路点拨】 连接 OD，根据点 C 为 OA 的中点可得CDO30，继而可得DOC60，求出扇形 AOD 的面积，最后用 S 阴影 S 扇形 AOBS 扇形 COE(S 扇形 AODS COD )即可求出阴影部分的面积1(2017山西)如图是某商品标志的图案，AC 与 BD 是O 的两条直径，首尾顺次连接点 A，B，C，D，得到四边形 ABCD.若 AC10 cm，BAC36，则图中阴影部分的面积为( B)A5 cm2 B10 cm2 C15 cm2 D20 cm22(2018东营)如图所示，圆柱的
10、高 AB3，底面直径 BC3，现在有一只蚂蚁想要从 A 处沿圆柱表面爬到对角C 处捕食，则它爬行的最短距离是( C)A3 B3 C. D31 234 22 1 23(2018宁波)在矩形 ABCD 内，将两张边长分别为 a 和 b(ab)的正方形纸片按图 1，图 2 两种方式放置(图 1，图 2 中两张正方形纸片均有部分重叠)，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图 1 中阴影部分的面积为 S1，图 2 中阴影部分的面积为 S2.当 ADAB2 时，S 2S 1的值为( B)图 1 图 24A2a B2b C2a2b D2b4(2017福建)两个完全相同的正五边形都有一边在直线
11、l 上，且有一个公共顶点 O，其摆放方式如图所示，则AOB 等于 108 度类型 4 数形结合思想数形结合思想常见的四种类型：1实数与数轴：实数与数轴上的点具有一一对应关系，因此借助数轴观察数的特点，直观明了2在解方程(组)或不等式(组)中的应用：利用函数图象解决方程问题时，常把方程根的问题看作两个函数图象的交点问题来解决；利用数轴或函数图象解有关不等式(组)的问题更直观、形象，易于找出不等式(组)解的公共部分或判断不等式组有无公共解3在函数中的应用：借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法，函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法4在几何中的应用：对于几何问题，我们常
12、通过图形找出边、角的数 量关系，通过边、角的数量关系，得出图形的性质等 (2017十堰)如图，直线 y x6 分别交 x 轴，y 轴于 A，B，M 是反比例 函数 y (x0)的图象上位于3kx直线上方的一点，MCx 轴交 AB 于点 C，MD MC 交 AB 于点 D，ACBD4 ，则 k 的值为( A)3A3 B4 C5 D6【思路点拨】 分别过点 C，D 作 CEx 轴于点 E，DFy 轴于点 F.由已知条件可求出点 A，点 B 的坐标，再由 tanOBA 即可求出OBA 的度数设 M(x，y)，在 RtBDF 和 RtCEA 中，分别用含 x，y 的代数式表示出OAOBBD，CA 的长
13、，再由 ACBD4 ，可求出 xy 的值 ，则 k 值即可求出31(2018枣庄)实数 a，b，c，d 在数轴上的位置如图所示，下列关系式不正确的是( B)A|a|b| B|ac|ac Cbd Dcd02(2018贵阳)已知二次函数 yx 2x6 及一次函数 yxm，将该二次函数在 x 轴上方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数(如图所示)，请你在图中画出这个新图象，当直线yxm 与新图象有 4 个交点时，m 的取值范围是( D)5A m3 B m2 254 254C2m3 D6m23(2018河南)如图 1，点 F 从菱形 ABCD 的顶点 A 出发，沿 A
14、DB 以 1 cm/s 的速度匀速运动到点 B，图 2 是点 F 运动时，FBC 的面积 y(cm2)随时间 x(s)变化的关系图象，则 a 的值为( C)图 1 图 2A. B2 C. D2552 54(2018白银)如图，一次函数 yx2 与 y2xm 的图象相交于点 P(n，4)，则关于 x 的不等式组的解集为2x22x m x 2， x 2 0 )类型 5 方程、函 数思想方程与函数思想是一种重要的数学思想：(1)在某些图形的折叠问题中，求线段长时，通常利用勾股定理建立方程模型来解决问题；(2)在运动中求最大值或最小值时，通常可以考虑将问题转化为函数的最值讨论问题，利用二次函数的顶点坐
15、标或函数取值范围解决 如图，在 RtABC 中，C90，AC6 cm，BC2 cm.点 P 在边 AC 上，从点 A 向点 C 移动，点 Q 在边CB 上，从点 C 向点 B 移动若点 P，Q 均以 1 cm/s 的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接 PQ，则线段 PQ 的最小值是( C)6A20 cm B18 cm C2 cm D3 cm5 2【思路点拨】 根据 P，Q 两点的运动方向和运动速度用含 t 的式子表示出 PC，CQ 的长度，进而用勾股定理表示出 PQ2，根据二次函数的性质在 0t2 的范围内求出 PQ2的最小值，则 PQ 的最小值即可求出1(2017衢州)如图，矩形纸片 ABCD 中，AB4，BC6，将ABC 沿 AC折叠，使点 B 落在点 E 处，CE 交 AD 于点 F，则 DF 的长等于( B)A. B. C. D.35 53 73 542(2017泰安)如图，在ABC 中，C90，AB10 cm，BC8 cm，点 P 从点 A 沿 AC 向点 C 以 1 cm/s 的速度运动，同时点 Q 从点 C 沿 CB 向点 B 以 2 cm/s 的速度运动(点 Q 运动到点 B 停止)，在运动过程中，四边形 PABQ的面积最小值为( C)A19 cm2 B16 cm2 C15 cm2 D12 cm2
