1、1课时作业 12 点、直线、平面之间的位置关系1已知 E， F， G， H 是空间四点，命题甲： E， F， G， H 四点不共面，命题乙：直线 EF和 GH 不相交，则甲是乙成立的( )A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：若 E， F， G， H 四点不共面，则直线 EF 和 GH 肯定不相交，但直线 EF 和 GH 不相交， E， F， G， H 四点可以共面，例如 EF GH.故选 B.答案：B22018成都市高中毕业班第二次诊断性检测已知 m， n 是空间中两条不同的直线， ， 为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是( )A若 m ，则 m B
2、若 m ， n ，则 m nC若 m ， m ，则 m D若 m， n m，则 n 解析：选项 A 中，若 m ，则直线 m 和平面 可能垂直，也可能平行或相交，故选项 A 不正确；选项 B 中，直线 m 与直线 n 的关系不确定，可能平行，也可能相交或异面，故选项 B 不正确；选项 C 中，若 m ，则 m 或 m ，又 m ，故 m ，选项 C 正确；选项 D 中，缺少条件 n ，故选项 D 不正确，故选 C.答案：C3已知 ， 为两个平面， l 为直线，若 ， l，则( )A垂直于平面 的平面一定平行于平面 B垂直于直线 l 的直线一定垂直于平面 C垂直于平面 的平面一定平行于直线 lD
3、垂直于直线 l 的平面一定与平面 ， 都垂直解析：选 D，由 ， l，知：垂直于平面 的平面与平面 平行或相交，故 A 不正确；垂直于直线 l 的直线若在平面 内，则一定垂直于平面 ，否则不一定，故 B 不正确；垂直于平面 的平面与 l 的关系有 l ， l ， l 与 相交，故 C 不正确；由平面垂直的判定定理知：垂直于直线 l 的平面一定与平面 ， 都垂直，故 D 正确2答案：D42017全国卷如图，在下列四个正方体中， A， B 为正方体的两个顶点，M， N， Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是( )A B C D解析：A 项，作如图所示的辅助
4、线，其中 D 为 BC 的中心，则 QD AB. QD平面 MNQ Q， QD 与平面 MNQ 相交，直线 AB 与平面 MNQ 相交B 项，作如图所示的辅助线，则 AB CD， CD MQ， AB MQ.又 AB平面 MNQ， MQ平面 MNQ， AB平面 MNQ. C 项，作如图所示的辅助线，则 AB CD， CD MQ， AB MQ，又 AB平面MNQ， MQ平面 MNQ， AB 平面 MNQ.D 项，作如图所示的辅助线，则 AB CD， CD NQ， AB NQ.又 AB平面 MNQ， NQ平面 MNQ， AB平面 MNQ.故选 A.答案：A52017全国卷在正方体 ABCD A1B1
5、C1D1 中， E 为棱 CD 的中点，则( )A A1E DC1 B A1E BDC A1E BC1 D A1E AC解析：如图， A1E 在平面 ABCD 上的投影为 AE，而 AE 不与 AC， BD 垂直， B，D方 法 1：错；3 A1E 在平面 BCC1B1 上的投影为 B1C，且 B1C BC1， A1E BC1，故 C 正确；(证明：由条件易知， BC1 B1C， BC1 CE，又 CE B1C C， BC1平面 CEA1B1.又A1E平面 CEA1B1， A1E BC1) A1E 在平面 DCC1D1 上的投影为 D1E，而 D1E 不与 DC1 垂直，故 A 错故选 C.(
6、空间向量法)建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则方 法 2：A(1,0,0)， B(1,1,0)， C(0,1,0)， D(0,0,0)， A1(1,0,1)， C1(0,1,1)， E ， (0，12， 0) ， (0,1,1)， (1，1,0)， (1,0,1)，A1E ( 1， 12， 1) DC1 BD BC1 (1,1,0)， 0， 0， 0， 0， A1E BC1.AC A1E DC1 A1E BD A1E BC1 A1E AC 故选 C.答案：C62018全国卷在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E 为棱 CC1 的中点，则异面直线AE 与 CD 所成角
7、的正切值为( )A. B.22 32C. D.52 72解析：如图，因为 AB CD，所以 AE 与 CD 所成的角为 EAB.在 Rt ABE 中，设 AB2，则 BE ，则 tan EAB ，5BEAB 52所以异面直线 AE 与 CD 所成角的正切值为 .52故选 C.答案：C72018全国卷在长方体 ABCDA1B1C 1D1 中， AB BC2， AC1 与平面 BB1C1C所成的角为 30，则该长方体的体积为( )A8 B6 24C8 D82 3解析：如图，连接 AC1， BC1， AC. AB平面 BB1C1C， AC1B 为直线 AC1 与平面 BB1C1C 所成的角， AC1
8、B30.又 AB BC2，在 Rt ABC1 中， AC1 4，2sin 30在 Rt ACC1 中， CC1 2 ，AC2 1 AC2 42 22 22 2 V 长方体 ABBCCC1222 8 .2 2故选 C.答案：C8.如图，四边形 ABCD 中， AD BC， AD AB， BCD45， BAD90，将 ADB 沿 BD折起，使平面 ABD平面 BCD，构成三棱锥 A BCD.则在三棱锥 A BCD 中，下列命题正确的是( )A平面 ABD平面 ABCB平面 ADC平面 BDCC平面 ABC平面 BDCD平面 ADC平面 ABC解析：在四边形 ABCD 中， AD BC， AD AB
9、， BCD45， BAD90， BD CD.又平面 ABD平面 BCD，且平面 ABD平面 BCD BD， CD平面 ABD，则 CD AB.又AD AB， AD CD D， AB平面 ADC，又 AB平面 ABC，平面 ABC平面 ADC，故选 D.答案：D9.5如图所示，直线 PA 垂直于 O 所在的平面， ABC 内接于 O，且 AB 为 O 的直径，点 M 为线段 PB 的中点现有结论： BC PC； OM平面 APC；点 B 到平面 PAC 的距离等于线段 BC 的长其中正确的是( )A BC D解析：对于， PA平面 ABC， PA BC. AB 为 O 的直径， BC AC，又
10、PA AC A， BC平面 PAC，又 PC平面 PAC， BC PC.对于，点 M 为线段 PB 的中点， OM PA， PA平面 PAC， OM平面 PAC， OM平面 PAC.对于，由知 BC平面 PAC，线段 BC 的长即是点 B 到平面 PAC 的距离，故都正确答案：B10如图，四棱锥 P ABCD 的底面是直角梯形， AB CD， BA AD， CD2 AB， PA底面ABCD， E 为 PC 的中点，则 BE 与平面 PAD 的位置关系为_解析：取 PD 的中点 F，连接 EF， AF，在 PCD 中， EF 綊 CD.又因为 AB CD 且12CD2 AB，所以 EF 綊 AB
11、，所以四边形 ABEF 是平行四边形，所以 EB AF.又因为 EB平面PAD， AF平面 PAD，所以 BE平面 PAD.6答案：平行11已知 P 为 ABC 所在平面外一点，且 PA， PB， PC 两两垂直，则下列命题： PA BC； PB AC； PC AB； AB BC.其中正确命题的个数是_解析：如图所示， PA PC，PA PB， PC PB P， PA平面 PBC.又 BC平面 PBC， PA BC.同理 PB AC， PC AB，但 AB 不一定垂直于 BC.答案：3122018湖北武汉武昌调研在矩形 ABCD 中， ABBC，这与已知矛盾，所以不正确答案：132018陕西省
12、高三教学质量检测试题(二)如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中，AA1 AB， ABC90，侧面 A1ABB1底面 ABC.(1)求证： AB1平面 A1BC；7(2)若 AC5， BC3， A1AB60，求三棱柱 ABC A1B1C1的体积解析：(1)证明：在侧面 A1ABB1中， A1A AB，四边形 A1ABB1为菱形， AB1 A1B.侧面 A1ABB1底面 ABC， ABC90， CB平面 A1ABB1 AB1平面 A1ABB1， CB AB1.又 A1B BC B， AB1平面 A1BC.(2)解法一 如图，过 A1作 A1D AB，垂足为 D.平面 ABC平面 A1ABB1，平
13、面 ABC平面 A1ABB1 AB， A1D平面 ABC， A1D 为三棱柱 ABC A1B1C1的高 BC3， AC5， ABC90， AB4，又 AA1 AB， A1AB60， A1AB 为等边三角形， A1D AB2 .32 3 VABC A1B1C1 S ABCA1D 432 12 .12 3 3解法二 在 ABC 中，由 AC5， BC3， ABC90，可得 AB4.又A1A AB， A1AB60， ABA1是边长为 4 的等边三角形， S ABA1 424 .34 3由(1)知 BC平面 ABA1， VC ABA1 S ABA1BC 4 34 .设三棱柱13 13 3 3ABC A
14、1B1C1的高为 h，则 VABC A1B1C1 S ABCh3 3 VA1 ABC3 VC ABA134 12(13S ABCh) 3.3142018昆明市高三复习教学质量检测如图，直三棱柱 ABC A1B1C1中， M 是 AB的中点8(1)证明： BC1平面 MCA1；(2)若 AB A1M2 MC2， BC ，求点 C1到平面 MCA1的距离2解：(1)如图，连接 AC1，设 AC1与 A1C 的交点为 N，则 N 为 AC1的中点，连接 MN，因为M 是 AB 的中点，所以 MN BC1，又 MN平面 MCA1， BC1平面 MCA1，所以 BC1平面 MCA1.(2)因为 AB2
15、MC2， M 是 AB 的中点，所以 ACB90，在直三棱柱中，A1M2， AM1，所以 AA1 ，又 BC ，所以 AC ， A1C ，所以 A1MC90.设3 2 2 5点 C1到平面 MCA1的距离为 h，因为 AC1的中点 N 在平面 MCA1上，所以点 A 到平面 MCA1的距离也为 h，三棱锥 A1 AMC 的体积 V S AMCAA1 ， MCA1的面积 S A1MMC1，则13 36 12V Sh h ，得 h ，故点 C1到平面 MCA1的距离为 .13 13 36 32 32152018全国卷如图，矩形 ABCD 所在平面与半圆弧 所在平面垂直， M 是上异于 C， D 的
16、点(1)证明：平面 AMD平面 BMC；(2)在线段 AM 上是否存在点 P，使得 MC平面 PBD？说明理由解析：(1)证明：由题设知，平面 CMD平面 ABCD，交线为 CD.因为 BC CD， BC平面 ABCD，所以 BC平面 CMD，故 BC DM.因为 M 为 上异于 C， D 的点，且 DC 为直径，所以 DM CM.又 BC CM C，所以 DM平面 BMC.而 DM平面 AMD，故平面 AMD平面 BMC.(2)解：当 P 为 AM 的中点时， MC平面 PBD.9证明如下：如图，连接 AC 交 BD 于 O.因为 ABCD 为矩形，所以 O 为 AC 中点连接 OP，因为
17、P 为 AM 中点，所以 MC OP.又 MC平面 PBD， OP平面 PBD，所以 MC平面 PBD.162018云南玉溪模拟如图 1，已知梯形 ABCD 中，AD BC， ABC BAD ， AB BC2 AD4， E、 F 分别是 AB、 CD 上的点， 2EF BC， AE x，沿 EF 将梯形 ABCD 翻折，使平面 AEFD平面 EBCF(如图 2) G 是 BC 的中点，以 F、 B、 C、 D 为顶点的三棱锥的体积记为 f(x)(1)当 x2 时，求证： BD EG；(2)求 f(x)的最大值；(3)当 f(x)取得最大值时，求异面直线 AE 与 BD 所成角的余弦值解析：(1
18、)证明：作 DH EF，垂足为 H，连接 BH、 GH、 EG.平面 AEFD平面 EBCF，平面 AEFD平面 EBCF EF， DH平面 EBCF，又 EG平面 EBCF， EG DH. AE2， BG BC2， BE BG.12 EH AD BC BG， EF BC， EBC90，12四边形 BGHE 为正方形， EG BH.又 BH、 DH平面 DBH，且 BH DH H， EG平面 DBH. BD平面 DBH， EG BD.(2) AE EF，平面 AEFD平面 EBCF，平面 AEFD平面 EBCF EF， AE平面 EBCF.结合 DH平面 EBCF，得 AE DH，四边形 AE
19、HD 是矩形，得 DH AE，故以10F、 B、 C、 D 为顶点的三棱锥 D BCF 的高 DH AE x，又 S BCF BCBE 4(4 x)12 1282 x，三棱锥 D BCF 的体积 V f(x) S BFCDH S BFCAE (82 x)13 13 13x x2 x (x2) 2 .当 x2 时， f(x)取最大值 .23 83 23 83 83(3)由(2)知当 f(x)取最大值时， AE2，故 BE2，结合 DH AE，可得 BDH 或其补角是异面直线 AE 与 BD 所成的角在 Rt BEH 中， BH 2 . DH平面BE2 EH2 4 4 2EBCF， BH平面 EBCF， DH BH.在 Rt BDH 中，BD 2 ，cos BDH .异面直线 AE 与 BD 所成角的BH2 DH2 8 4 3DHBD 223 33余弦值为 .33
