1、18.1 坐标系与参数方程【课时作业】A 级1已知圆 O1和圆 O2的极坐标方程分别为 2， 22 cos 2.2 ( 4)(1)把圆 O1和圆 O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程解析： (1) 2 24，所以 x2 y24；因为 22 cos 2，2 ( 4)所以 22 2，2 (cos cos 4 sin sin 4)所以 x2 y22 x2 y20.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为 x y1.化为极坐标方程为 cos sin 1，即 sin .( 4) 222(2018西安市八校联考)以平面直角坐标系的坐标原点 O 为极点，
2、以 x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系已知直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数)，曲线 C 的极坐标方程为 sin2 4cos .(1)求曲线 C 的直角坐标方程；(2)设直线 l 与曲线 C 相交于 A， B 两点，求| AB|.解析： (1)由 sin2 4cos ，可得 2sin2 4 cos ，曲线 C 的直角坐标方程为 y24 x.(2)将直线 l 的参数方程代入 y24 x，整理得 4t28 t70， t1 t22， t1t2 ，74| AB| |t1 t2| . 3 2 22 13 t1 t2 2 4t1t2 13 4 7 1433(2018合肥市第一次教学质量检测)
3、在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1：Error!( 为参数)，在以 O 为极点 x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2： 2cos 0.(1)求曲线 C2的直角坐标方程；(2)若曲线 C1上有一动点 M，曲线 C2上有一动点 N，求| MN|的最小值解析： (1)由 2cos 0 得 22 cos 0. 2 x2 y2， cos x， x2 y22 x0.即曲线 C2的直角坐标方程为( x1) 2 y21.2(2)由(1)可知，圆 C2的圆心为 C2(1,0)，半径为 1.设曲线 C1上的动点 M(3cos ，2sin )，由动点 N 在圆 C2上可得| MN|min| MC2|min
4、1.| MC2| ， 3cos 1 2 4sin2 5cos2 6cos 5当 cos 时，| MC2|min ，35 455| MN|min| MC2|min1 1.4554在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为Error!( 为参数)，直线 C2的方程为y x，以 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系3(1)求曲线 C1和直线 C2的极坐标方程；(2)若直线 C2与曲线 C1交于 A， B 两点，求 .1|OA| 1|OB|解析： (1)曲线 C1的参数方程为Error!( 为参数)，普通方程为( x2) 2( y2)21，即 x2 y24 x4 y70，极坐标方程为
5、24 cos 4 sin 70，直线 C2的方程为 y x，极坐标方程为 .3 3(2)直线 C2与曲线 C1联立，可得 2(22 ) 70，3设 A， B 两点对应的极径分别为 1， 2，则 1 222 ， 1 2 ，3 7所以 .1|OA| 1|OB| | 1 2| 1 2| 2 2375(2018全国卷)在平面直角坐标系 xOy 中， O 的参数方程为Error!( 为参数)，过点(0， )且倾斜角为 的直线 l 与 O 交于 A， B 两点2(1)求 的取值范围；(2)求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程解析： (1) O 的直角坐标方程为 x2 y21.当 时， l 与 O 交于两点
6、 2当 时，记 tan k，则 l 的方程为 y kx .l 与 O 交于两点当且仅当 2 21，即 或 .|21 k2| ( 2， 34) ( 4， 2)综上， 的取值范围是 .( 4， 34)(2)l 的参数方程为Error!(t 为参数， 0，2设 A， B 两点对应的参数分别为 t1， t2，则 t1 t2 0，所以 t10， t20，1825 275所以| PA| PB| t1| t2|( t1 t2) .1825B 级1(2018全国卷)选修 44：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的方程为 y k|x|2.以坐标原点为极点， x 轴正半轴4为极轴建立极坐标系，曲
7、线 C2的极坐标方程为 22 cos 30.(1)求 C2的直角坐标方程；(2)若 C1与 C2有且仅有三个公共点，求 C1的方程解析： (1)由 x cos ， y sin 得 C2的直角坐标方程为( x1) 2 y24.(2)由(1)知 C2是圆心为 A(1,0)，半径为 2 的圆由题设知， C1是过点 B(0,2)且关于 y 轴对称的两条射线记 y 轴右边的射线为 l1， y轴左边的射线为 l2.由于点 B 在圆 C2的外面，故 C1与 C2有且仅有三个公共点等价于 l1与 C2只有一个公共点且 l2与 C2有两个公共点，或 l2与 C2只有一个公共点且 l1与 C2有两个公共点当 l1
8、与 C2只有一个公共点时，点 A 到 l1所在直线的距离为 2，所以 2，故| k 2|k2 1k 或 k0.43经检验，当 k0 时， l1与 C2没有公共点；当 k 时， l1与 C2只有一个公共点， l2与 C2有两个公共点43当 l2与 C2只有一个公共点时，点 A 到 l2所在直线的距离为 2，所以 2，故|k 2|k2 1k0 或 k .43经检验，当 k0 时， l1与 C2没有公共点；当 k 时， l2与 C2没有公共点43综上，所求 C1的方程为 y |x|2.432以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系曲线 C1的极坐标方程是 2.矩形 ABCD 内接于曲线
9、 C1， A， B 两点的极坐标分别为 和 .将曲线 C1上(2， 6) (2， 56)所有点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的一半，得到曲线 C2.(1)写出 C， D 的直角坐标及曲线 C2的参数方程；(2)设 M 为 C2上任意一点，求| MA|2| MB|2| MC|2| MD|2的取值范围解析： (1)曲线 C1的极坐标方程是 2，矩形 ABCD 内接于曲线 C1， A， B 两点的极坐标分别为 和 ，利用对称性可得 C ， D .将 C， D 两点的极(2， 6) (2， 56) (2， 76) (2， 116 )坐标分别化为直角坐标为 C( ，1)， D( ，1)3 3曲线 C1的
10、极坐标方程是 2，将其化为直角坐标方程为 x2 y24.设曲线 C2上的任意一点 P(x， y)，曲线 C1上的任意一点 P( x， y)，则Error!可5得Error!将其代入曲线 C1的直角坐标方程，得 x2(2 y)24，曲线 C2的直角坐标方程为 x24 y24.故曲线 C2的参数方程为Error!(2)由题意，知 A( ，1)， B( ，1)3 3设 M(2cos ，sin )，则 |MA|2| MB|2| MC|2| MD|2(2cos )2(sin 3 1) 2(2cos )2(sin 1) 2(2cos )2(sin 1) 2(2cos 3 3)2(sin 1) 212cos 2 2020,323即取值范围为20,32
