1、1第三讲 正态分布、统计与统计案例考点一 正态分布1正态曲线的性质(1)曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交；曲线关于直线 x 对称，且在 x 处达到峰值(2)曲线与 x 轴之间的面积为 1.(3)当 一定时，曲线的形状由 确定， 越小，曲线越“瘦高” ，表示总体的分布越集中； 越大，曲线越“矮胖” ，表示总体的分布越分散2正态分布 X N( ， 2)的三个常用数据(1)P( P(X 1)，故 B 错；当 t 为任意正数时，由题图可知 P(X t) P(Y t)，而 P(X t)1 P(X t)，P(Y t)1 P(Y t)， P(X t) P(Y t)，故 C 正确，D 错答案 C2某校组
2、织了“2017 年第 15 届希望杯数学竞赛(第一试)” ，已知此次选拔赛的数学成绩 X 服从正态分布 N(72,121)(单位：分)，此次考生共有 500 人，估计数学成绩在 72 分到 83 分之间的人数约为(参数数据： P( 6.635，所以有 99%的把握认为两种生产401515 55220202020方式的效率有差异(1)求回归直线方程的关键正确理解计算 ， 的公式和准确的计算，其中线性回归方程必过样本中心点b a ( ， )x y在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是11否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值(2
3、)独立性检验的关键根据 22 列联表准确计算 K2，若 22 列联表没有列出来，要先列出此表 K2的观测值 k 越大，对应假设事件 H0成立的概率越小， H0不成立的概率越大对点训练1角度 1某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额)如下表：年份 x 2011 2012 2013 2014 2015储蓄存款 y/千亿元 5 6 7 8 10为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，令 t x2010， z y5得到下表：时间代号 t 1 2 3 4 5z 0 1 2 3 5(1)求 z 关于 t 的线性回归方程；(2)通过(1)中的方程，求出
4、y 关于 x 的回归方程；(3)用所求回归方程预测到 2020 年年底，该地储蓄存款额可达多少？(附：对于线性回归方程 x ，其中 ， )y b a b ni 1xiyi nx y ni 1x2i nx 2 ay b x 解 (1)令 z 关于 t 的线性回归方程为 t ，z b a 3， 2.2， izi45， 55，t z 5i 1t 5i 1t2i 1.2， 2.231.21.4，b 45 532.255 59 a z b t 1.2 t1.4.z (2)将 t x2010， z y5，代入 1.2 t1.4，z 得 51.2( x2010)1.4，即 1.2 x2408.4.y y (
5、3) 1.220202408.415.6(千亿元)，y 12预测到 2020 年年底，该地储蓄存款额可达 15.6 千亿元2角度 2某市调研考试后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于 120 分为优秀，120 分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部 110 人中随机抽取 1 人成绩为优秀的概率为 .311优秀 非优秀 合计甲班 10乙班 30合计 110(1)请完成上面的列联表；(2)根据列联表中的数据，若按 99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩是否优秀与班级有关系” 参考公式与临界值表： K2 .nad bc2a bc da c
6、b dP(K2 k) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828解 (1)优秀 非优秀 合计甲班 10 50 60乙班 20 30 50合计 30 80 110(2)根据列联表中的数据，得到K2 7.4866.635，故有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于 50 kg 的直方图面积为(0.0040.0200.044)50.340.5，故新养殖法箱产量的中位数的估计值为50 52.35(kg)0.5 0.340.0681.统计与统计案例在选择或填空题中的命题热
7、点主要集中在随机抽样、用样本估计总体以及变量间的相关性判断等，难度较低，常出现在 34 题的位置2统计的解答题多在第 18 或 19 题的位置，多以交汇性的形式考查，交汇点主要有两种：频率分布直方图、茎叶图择一与随机变量的分布列、数学期望、方差、正态分布相交16汇考查；频率分布直方图、茎叶图择一与线性回归或独立性检验相交汇来考查，难度中等17热点课题 19 概率与统计的交汇问题18感悟体验(2018河北衡水中学调研)某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前 5 个月甲胶囊生产产量(单位：万盒)的数据如下表所示：x(月份) 1 2 3 4 5y(万盒) 4 4 5 6 6(1)该同学为了求出
8、y 关于 x 的线性回归方程 x ，根据表中数据已经正确计算出y b a 190.6，试求出 的值，并估计该厂 6 月份生产的甲胶囊产量数；b a (2)若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊 4 盒和三月份生产的甲胶囊 5 盒，小红同学从中随机购买了 3 盒甲胶囊，后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题记小红同学所购买的 3 盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为 X，求 X 的分布列和数学期望解 (1)由题可得， (12345)3， (44566)5.线性x 15 y 15回归方程 x 过点( ， )， 50.633.2.该厂 6 月份生产的甲y b a x y a y
9、b x 胶囊的产量数为 0.663.26.8(万盒)y (2)由题意知， X0,1,2,3，P(X0) ， P(X1) ， P(X2) ， P(X3)C35C39 1084 542 C14C25C39 4084 1021 C24C15C39 3084 514 ，C34C39 484 121所以 X 的分布列为X 0 1 2 3P 542 1021 514 121则 E(X) 0 1 2 3 .542 1021 514 121 43专题跟踪训练(三十)一、选择题1(2018长春市第一次质量监测)已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图所示，则其中位数和众数分别为( )20A.95,94 B92,
10、86C99,86 D95,91解析 由题中茎叶图可知，此组数据由小到大排列依次为76,79,81,83,86,86,87,91,92,94,95,96,98,99,101,103,114，共 17 个，故中位数为 92，出现次数最多的为众数，故众数为 86，故选 B.答案 B2(2018黔东南州第一次联考)近年呼吁高校招生改革的呼声越来越高，在赞成高校招生改革的市民中按年龄分组，得到样本频率分布直方图如图所示，其中年龄在区间30,40)内的有 2500 人，在区间20,30)内的有 1200 人，则 m 的值为( )A0.013 B0.13 C0.012 D0.12解析 由题意，得年龄在区间3
11、0,40)内的频率为 0.025100.25，则赞成高校招生改革的市民有 10000(人)，因为年龄在区间20,30)内的有 1200 人，所以 m25000.250.012.1200100001021答案 C3已知变量 x 与 y 正相关，且由观测数据算得样本平均数 3， 3.5，则由该观x y 测数据算得的线性回归方程可能是( )A. 0.4 x2.3 B. 2 x2.4y y C. 2 x9.5 D. 0.3 x4.4y y 解析 变量 x 与 y 正相关，且样本中心点为(3,3.5)，应用排除法可知选项 A 符合要求故选 A.答案 A4(2018太原模拟)某小区有 1000 户，各户每
12、月的用电量近似服从正态分布N(300,102)，则用电量在 320 度以上的户数约为(参考数据：若随机变量 服从正态分布N( ， 2)，则 P( 320) 1 P(280 320)12 (195.44%)0.0228，1200228100022.823，用电量在 320 度以上的户数约为 23.故选 B.答案 B5(2018广东省百校联盟第二次联考)下表是我国某城市在 2017 年 1 月份至 10 月份期间各月最低温度与最高温度(单位：)的数据一览表.月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10最高温度/ 5 9 9 11 17 24 27 30 31 21最低温度/12 3 1 2 7
13、17 19 23 25 10已知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据该一览表，则下列结论错误的是( )A最低温度与最高温度为正相关B每月最高温度与最低温度的平均值在前 8 个月逐月增加C月温差(最高温度减最低温度)的最大值出现在 1 月22D1 月至 4 月的月温差(最高温度减最低温度)相对于 7 月至 10 月，波动性更大解析 将最高温度、最低温度、温差列表如下，月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10最高温度/ 5 9 9 11 17 24 27 30 31 21最低温度/12 3 1 2 7 17 19 23 25 10温差度/ 17 12 8 13 10 7 8 7 6
14、11由表格可知，最低温度大致随最高温度的增大而增大，A 正确；每月最高温度与最低温度的平均值在前 8 个月不是逐月增加，B 错；月温差的最大值出现在 1 月，C 正确；1 月至 4 月的月温差相对于 7 月至 10 月，波动性更大，D 正确故选 B.答案 B6(2018赣州一模)以下四个命题中是真命题的为( )从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每 20 分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于 1；在回归直线方程 0.2 x12 中，当解释变量 x 每增加一个单位时，预报变量 y 平y 均增加 0.2 个单位；对分类变量
15、X 与 Y，它们的随机变量 K2的观测值 k 来说， k 越小，“X 与 Y 有关系”的把握程度越大A B C D解析 为系统抽样，故不正确；两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于 1，故正确；由 0.2(x1)120.2 x120.2 知正确；对分类变量 X 与 Y，它们的随机变量 K2的观测值 k 来说， k 越大， “X 与 Y 有关系”的把握程度越大，故不正确故选 D.答案 D二、填空题7(2018怀化二模)某校高三(1)班共有 48 人，学号依次为 1,2,3，48，现用系统抽样的方法抽取一个容量为 6 的样本，已知学号为 3,11,19,35,43 的同学在样本中，则还
16、有一个同学的学号应为_解析 根据系统抽样的规则“等距离”抽取，则抽取的号码差相等，易知相邻两个学号之间的差为 1138，所以在 19 与 35 之间还有 27.23答案 278(2018安徽淮北模拟)某单位员工按年龄分为 A， B， C 三组，其人数之比为541，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为 20 的样本，已知 C 组中甲、乙二人均被抽到的概率是 ，则该单位员工总数为_145解析 员工按年龄分为 A， B， C 三组，其人数之比为 541，从中抽取一个容量为 20 的样本，则抽取的 C 组人数为 20 202，设 C 组员工总数为 m，11 4 5 110则甲、乙二人均被抽到的概率
17、为 ，即 m(m1)90，解得 m10.设员工总C2C2m 2mm 1 145数为 x，则由 ，可得 x100.10x 15 4 1 110答案 1009某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近 5 年的年广告支出 m 与年销售额t(单位：百万元)进行了初步统计，得到下列表格中的数据：年广告支出 m 2 4 5 6 8年销售额 t 30 40 p 50 70经测算，年广告支出 m 与年销售额 t 满足线性回归方程 6.5 m17.5，则t p_.解析 由于回归直线过样本点的中心， 5， ，代入 6.5 m17.5，m t 190 p5 t 解得 p60.答案 60三、解答题10(2018河南
18、新乡一模)为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，从两厂各随机选取了 10 个轮胎，将每个轮胎的宽度(单位：mm)记录下来并绘制出如下的折线图：24(1)分别计算甲、乙两厂提供的 10 个轮胎宽度的平均值；(2)若轮胎的宽度在194,196内，则称这个轮胎是标准轮胎试比较甲、乙两厂分别提供的 10 个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个的轮胎相对更好解 (1)甲厂 10 个轮胎宽度的平均值：甲 (195194196193194197196195193197)195(mm)，x 110乙厂 10 个轮胎宽度的平均值： 乙x
19、(195196193192195194195192195193)194(mm)110(2)甲厂 10 个轮胎中宽度在194,196内的数据为 195,194,196,194,196,195，平均数： 1 (195194196194196195)195，x 16方差； s (195195) 2(194195) 2(196195) 2(194195) 2(196195)21162(195195) 2 ，23乙厂 10 个轮胎中宽度在194,196内的数据为 195,196,195,194,195,195，25平均数： 2 (195196195194195195)195，x 16方差： s (195
20、195) 2(196195) 2(195195) 2(194195) 2(195195)2162(195195) 2 ，13两厂标准轮胎宽度的平均数相等，但乙厂的方差更小，乙厂的轮胎相对更好11(2018河北石家庄二模)随着网络的发展，网上购物越来越受到人们的喜爱，各大购物网站为增加收入，促销策略越来越多样化，促销费用也不断增加，下表是某购物网站 2017 年 18 月促销费用 x(万元)和产品销量 y(万件)的具体数据：月份 1 2 3 4 5 6 7 8促销费用 x 2 3 6 10 13 21 15 18产品销量 y 1 1 2 3 3.5 5 4 4.5(1)根据数据可知 y 与 x
21、具有线性相关关系，请建立 y 关于 x 的回归方程 x (系y b a 数精确到 0.01)；(2)已知 6 月份该购物网站为庆祝成立 1 周年，特制订奖励制度：用 z(单位：件)表示日销量，若 z1800,2000)，则每位员工每日奖励 100 元；若 z2000,2100)，则每位员工每日奖励 150 元；若 z2100，)，则每位员工每日奖励 200 元现已知该网站 6月份日销量 z 服从正态分布 N(2000,10000)，请你计算某位员工当月奖励金额总数大约为多少元(当月奖励金额总数精确到百分位)参考数据： xiyi338.5， x 1308，其中 xi， yi分别为第 i 个月的促
22、销费用和8i 18i 12i产品销量， i1,2,3，8.参考公式：对于一组数据( x1， y1)，( x2， y2)，( xn， yn)，其回归方程 xy b 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ， .a b ni 1xiyi nx y ni 1x2i nx 2 ay b x 若随机变量 Z 服从正态分布 N( ， 2)，则 P( Z )0.6827， P( 2 Z 2 )0.9545.解 (1)由题意可知 (2361013211518)x 182611， (11233.5544.5)3，y 18 0.22，b 8i 1xiyi 8x y 8i 1x2i 8x 2 338.5 81131308
23、 8112 74.5340 30.22110.58，a y b x y 关于 x 的回归方程为 0.22 x0.58.y (2)该网站 6 月份日销量 z 服从正态分布 N(2000,10000)， P(1800 z2000) 0.47725，0.95452P(2000 z2100) 0.34135，0.68272P(z2100)0.50.341350.15865，每位员工当月的奖励金额总数为0.477251000.341351500.15865200130.66(元)12(2018西安模拟)每年的 4 月 23 日为世界读书日，为调查某高校学生(学生很多)的读书情况，随机抽取了男生、女生各
24、20 人组成的一个样本，对他们的年阅读量(单位：本)进行了统计，分析得到了男生年阅读量的频数分布表和女生年阅读量的频率分布直方图男生年阅读量的频数分布表(年阅读量均在区间0,60)内)本/年 0,10) 10,20) 20,30) 30,40) 40,50) 50,60)频数 3 1 8 4 2 227女生年阅读量的频率分布直方图(年阅读量均在区间0,60)内)(1)根据女生年阅读量的频率分布直方图估计该校女生年阅读量的中位数(2)若年阅读量不小于 40 本为阅读丰富，否则为阅读不丰富，依据上述样本研究年阅读量与性别的关系，完成下列 22 列联表，并判断是否有 99%的把握认为阅读丰富与性别有
25、关.阅读量性别丰富 不丰富 合计男女合计(3)在样本中，从年阅读量在50,60)的学生中，随机抽取 2 人参加全市的征文比赛，记这 2 人中男生人数为 ，求 的分布列和期望附： K2 ，其中 n a b c d.nad bc2a bc da cb dP(K2 k0) 0.025 0.010 0.005k0 5.024 6.635 7.879解 (1)前两组频率之和为 0.10.20.3，前三组频率之和为0.10.20.250.55，中位数位于第三组设中位数为 a，由题可知， ，解得a 3040 a 0.5 0.30.55 0.5 0.20.05a38.该校女生年阅读量的中位数约为 38.(2)阅读量性别丰富 不丰富 合计男 4 16 20女 9 11 20合计 13 27 40K2 2.8496.635，40411 916220201327没有 99%的把握认为阅读丰富与性别有关(3)年阅读量在50,60)的学生中，男生 2 人，女生 4 人由题意得， 的可能取值为 0,1,2，P( 0) ， P( 1) ， P( 2) .C24C26 25 C12C14C26 815 C2C26 11528所以 的分布列为 0 1 2P 25 815 115E( )0 1 2 .25 815 115 23
