1、1第四讲 排列、组合、二项式定理年份 卷别 考查角度及命题位置 命题分析卷 排列、组合T 152018 卷 二项式中特定项系数T5卷 计数原理、排列、组合的应用T 62017 卷 二项式定理、二项展开式中特定项的系数T 4卷 二项式定理、特定项的系数T 142016 卷 计数原理、组合的应用T51.排列、组合在高中数学中占有特殊的位置，是高考的必考内容，很少单独命题，主要考查利用排列、组合知识计算古典概型2.二项式定理仍以求二项展开式的特定项、特定项的系数及二项式系数为主，题目难度一般，多出现在第910或第1315题的位置上.排列、组合应用授课提示：对应学生用书第69页悟通方法结论两个计数原理
2、解题的方法在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又2可能用到分类计数原理求解排列、组合问题常用的解题方法(1)元素相邻的排列问题“捆绑法”；(2)元素不相邻的排列问题“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题间接法；(5)分组分配问题平均分组问题分组数计算时要注意除以组数的阶乘不平均分组问题实质上是组合问题全练快速解答1(2017高考全国卷)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )A12种 B18种C24种 D36种答案：D2第一届“一带一路
3、”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，为了保护各国国家元首的安全，某部门将5个安保小组全部安排到指定的三个区域内工作，且每个区域至少有一个安保小组，则这样的安排方法共有( )A96种 B100种C124种 D150种解析：因为每个区域至少有一个安保小组，所以可以把5个安保小组分成三组共有两种方法，一种是按照1,1,3来分，另一种是按照2,2,1来分当按照1,1,3来分时，不同的分法共有 N1 A 60(种)；C15C14C3A2 3当按照2,2,1来分时，不同的分法共有 N2 A 90(种)C25C23C1A2 3根据分类加法计数原理，可得这样的安排方法共有 N N1 N
4、2150(种)，故选D.答案：D33名男生、3名女生排成一排，男生必须相邻，女生也必须相邻的排法种数为( )A2 B9C72 D36解析：可分两步：第一步，把3名女生作为一个整体，看成一个元素，3名男生作为一个整体，看成一个元素，两个元素排成一排有A 种排法；第二步，对男生、女生“内部”2分别进行排列，女生“内部”的排法有A 种，男生“内部”的排法有A 种3 3故符合题意的排法种数为A A A 72，故选C.2 3 33答案：C4马路上有七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案共有( )A60 B20种C10种 D8种解析：根据题意，可分两步：第一步，先安排四盏不亮
5、的路灯，有1种情况；第二步，四盏不亮的路灯排好后，有5个空位，在5个空位中任意选3个，插入三盏亮的路灯，有C 10(种)情况35故不同的开灯方案共有10110(种)，故选C.答案：C5某大学的6名大二学生打算参加学校组织的“临界动漫协会”“大学生心理卫生协会”“学生跆拳道协会”“蓝天环保社团”“马头琴诗歌协会”5个社团，若每名学生必须参加且只能参加1个社团，并且每个社团至多2人参加，则这6人中至多有1人参加“学生跆拳道协会”的不同参加方法种数为 ( )A1 440 B3 600C5 040 D6 840解析：可分两类：第一类，若有1人参加“学生跆拳道协会”，则从6人中选1人参加该社团，其余5人
6、去剩下4个社团，人数安排有两种情况，即1,1,1,2和1,2,2，故1人参加“学生跆拳道协会”的不同参加方法种数为C ( A A )3 16C15C14C13A3 4 C25C23A2 34600；第二类，若无人参加“学生跆拳道协会”，则6人参加剩下4个社团，人数安排有两种情况，即1,1,2,2和2,2,2，故无人参加“学生跆拳道协会”的不同参加方法种数为 AC26C24C12A2A2 A 1 440.故满足条件的方法种数为3 6001 4405 040，故选C.4C26C24C2A3 34答案：C掌握分组、分配问题的求解策略(1)分组问题属于“组合”问题，按组合问题求解，常见的分组问题有三种
7、：完全均匀分组，每组的元素个数均相等；部分均匀分组，应注意不要重复，若有 n组均匀，最后必须除以 n！；完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象(2)分配问题属于“排列”问题，可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配(3)解决分组分配问题的基本指导思想是先分组，后分配4二项式定理授课提示：对应学生用书第70页悟通方法结论1通项与二项式系数Tk1 C an kbk(k0,1,2， n)，其中C 叫作二项式系数kn kn2各二项式系数之和(1)C C C C 2 n；0n 1n 2n n(2)C C C C 2 n1 .1n 3n 0n 2n3二项式系数的最大项由 n的奇偶性决定当 n为奇数时，中间两
8、项的二项式系数最大；当 n为偶数时，中间一项的二项式系数最大(1)(2017高考全国卷)在 (1 x)6的展开式中 x2的系数为( )(11x2)A15 B20C30 D35解析：(1 x)6展开式的通项T r1 C xr，所以 (1 x)6的展开式中 x2的系数为1r6 (11x2)C 1C 30，故选C.26 46答案：C(2)(2017高考全国卷)( x y)(2x y)5的展开式中 x3y3的系数为( )A80 B40C40 D80解析：当第一个括号内取 x时，第二个括号内要取含 x2y3的项，即C (2x)2( y)3，当第35一个括号内取 y时，第二个括号内要取含 x3y2的项，即
9、C (2x)3( y)2，所以 x3y3的系数为C25 2523C 2210(84)40.35答案：C(3)若(3 x1) 2 018 a0 a1x a2x2 a2 018x2 018(xR)，则 13 a232a1 a333a15_.a2 01832 018a1解析：令 x0，可得 a01.由通项公式可得 a1C 31(1) 2 0176 2 0178054.令 x ，得 1，则 13 a13 a232 a333 a2 01832 018 13 a232a1 a333a1 a2 01832 018a1 1a1 .(a13 a232 a333 a2 01832 018) 1a1 16 054答
10、案：16 0541.公式法求特定项的类型及思路通项公式T r1 C an rbr的主要作用是求展开式中的特定项，常见的类型有：rn(1)求第 k项，此时 r1 k，直接代入通项公式求解；(2)求含 xm的项，只需令 x的幂指数为 m建立方程求解；(3)求常数项，即项中不含 x，可令 x的幂指数为0建立方程求解；(4)求有理项，先令 x的幂指数为整数建立方程，再讨论 r的取值若通项中含有根式，一般先把根式化为分数指数幂，以减少计算错误2赋值法研究二项展开式的系数和问题的策略“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如( ax b)n，( ax2 bx c)m(a， bR)的式子求其展开式
11、的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x1即可；对形如( ax by)n(a， bR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令 x y1即可练通即学即用1(2018唐山模拟)( x2 )6的展开式中的常数项为( )1xA15 B15C20 D20解析：依题意，T r1 C (x2)6 r( )rC (1) rx123 r，令123 r0，则 r4，所r61x r6以( x2 )6的展开式中的常数项为C (1) 415，选择A.1x 46答案：A2(2018长郡中学模拟)若二项式( x2 )7的展开式的各项系数之和为1，则含 x2项ax的系数为( )A560 B5606C280 D280解析：取 x1
12、，得二项式( x2 )7的展开式的各项系数之和为(1 a)7，即(1 a)7ax1,1 a1， a2.二项式( x2 )7的展开式的通项T r1 C (x2)7 r( )rC (2x r7 2x r72) rx143 r.令143 r2，得 r4.因此，二项式( x2 )7的展开式中含 x2项的系数为C2x 47(2) 4560，选A.答案：A授课提示：对应学生用书第154页一、选择题1(2018宝鸡模拟)我市正在建设最具幸福感城市，原计划沿渭河修建7个河滩主题公园为提升城市品位、升级公园功能，打算减少2个河滩主题公园，两端河滩主题公园不在调整计划之列，相邻的两个河滩主题公园不能同时被调整，则
13、调整方案的种数为( )A12 B8C6 D4解析：由题意知除两端的2个河滩主题公园之外，从中间5个河滩主题公园中调整2个，保留3个，可以从这3个河滩主题公园的4个空中任选2个来调整，共有C 6种方法24答案：C2(2018凉山二检)( x23) 5的展开式的常数项是( )(1x2 1)A2 B2C3 D3解析：( x23) 5( x23)(C x10 C x8 C x6 C x4 C x2 C )，(1x2 1) 05 15 25 35 45 5展开式的常数项是 x2C x2 3C 2.45 5答案：B3(2018漳州模拟)已知(2 x1) 10 a0 a1x a2x2 a9x9 a10x10
14、，则 a2 a3 a9 a10的值为( )A20 B0C1 D207解析：令 x1，得 a0 a1 a2 a9 a101，再令 x0，得 a01，所以 a1 a2 a9 a100，又易知 a1C 21(1) 920，所以 a2 a3 a9 a1020.910答案：D4(2018内江模拟)某科室派出4名调研员到3个学校，调研该校高三复习备考近况，要求每个学校至少一名，则不同的分配方案种数为( )A144 B72C36 D48解析：分两步完成：第一步将4名调研员按2,1,1分成三组，其分法有 种；第二C24C12C1A2步将分好的三组分配到3个学校，其分法有A 种，所以满足条件的分配方案有 A33
15、3C24C12C1A236种答案：C5现有5本相同的数学家的眼光和3本相同的数学的神韵，要将它们排在同一层书架上，并且3本相同的数学的神韵不能放在一起，则不同的放法种数为( )A20 B120C2 400 D14 400解析：根据题意，可分两步：第一步，先放5本相同的数学家的眼光，有1种情况；第二步，5本相同的数学家的眼光排好后，有6个空位，在6个空位中任选3个，把3本相同的数学的神韵插入，有C 20(种)情况36故不同的放法有20种，故选A.答案：A6(2018西安模拟)已知( x2) 9 a0 a1x a2x2 a9x9，则( a13 a35 a57 a79 a9)2(2 a24 a46
16、a68 a8)2的值为( )A3 9 B3 10C3 11 D3 12解析：对( x2) 9 a0 a1x a2x2 a9x9两边同时求导，得9( x2) 8 a12 a2x3 a3x28 a8x79 a9x8，令 x1，得 a12 a23 a38 a89 a93 10，令 x1，得 a12a23 a38 a89 a93 2.所以( a13 a35 a57 a79 a9)2(2 a24 a46 a68 a8)2( a12 a23 a38 a89 a9)(a12 a23 a38 a89 a9)3 12，故选D.答案：D7现有5种不同颜色的染料，要对如图所示的四个不同区域进行着色，要求有公共边的两
17、个区域不能使用同一种颜色，则不同的着色方法的种数是( )8A120 B140C240 D260解析：由题意，先涂 A处，有5种涂法，再涂 B处有4种涂法，第三步涂 C，若 C与 A所涂颜色相同，则 C有1种涂法， D有4种涂法，若 C与 A所涂颜色不同，则 C有3种涂法， D有3种涂法，由此得不同的着色方法有54(1433)260(种)，故选D.答案：D8(2018昆明一模)旅游体验师小李受某旅游网站的邀约，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若甲景区不能最先旅游，乙景区和丁景区不能最后旅游，则小李旅游的方法数为( )A24 B18C16 D10解析：第一类，甲在最后一个体验，则有A
18、 种方法；第二类，甲不在最后一个体验，3则有A A 种方法，所以小李旅游的方法共有A A A 10种122 3 122答案：D9(2018西安二模)将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有( )A10种 B20种C36种 D52种解析：1号盒子可以放1个或2个球，2号盒子可以放2个或3个球，所以不同的放球方法有C C C C 10(种)143 242答案：A10从集合1,2,3，11中任选两个元素作为椭圆方程 1中的 a和 b，则能x2a2 y2b2组成落在矩形区域 B( x， y)|x|11，且| y|9内的椭
19、圆个数为( )A43 B72C863 D90解析：在1,2,3，8中任取两个数作为 a和 b，共有A2 856个椭圆；在9,10中取一个作为 a，在1,2,3，8中取一个作为 b，共有A A 16个椭圆，由分类加法计数原理，知1218满足条件的椭圆的个数为561672.答案：B911将 n的展开式按 x的降幂排列，若前三项的系数成等差数列，则 n为( )(x 124x)A6 B7C8 D9解析：二项式的展开式为T r1 C ( )n r rC rx r，由前三项系数成等差rn x (124x) rn(12) n2 34数列得C C 22C 1，即 n29 n80，解得 n8或 n1(舍去)，故
20、 n8.0n 2n(12) 1n(12)答案：C12(2018保定质量监测)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张不同取法的种数为( )A232 B252C472 D484解析：由题意，不考虑特殊情况，共有C 种取法，其中同一种颜色的卡片取3张，有4316C 种取法，3张卡片中红色卡片取2张有C C 种取法，故所求的取法共有C 4C C 34 24 12 316 34 24C 5601672472种，选C.12答案：C二、填空题13(2018成都模拟)( x2 y)5的展开式中含 x3y2项的系数为_解析：(
21、x2 y)5的展开式的通项T r1 C x5 r(2y)r，所以含 x3y2项的系数即 r2时的系r5数，即C 2240.25答案：4014若( x a)(12 x)5的展开式中 x3的系数为20，则 a_.解析：( x a)(12 x)5的展开式中 x3的系数为C 22 aC 2320，4080 a2025 35，解得 a .14答案：14154位男生和3位女生站成一排拍照，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有2位女生相邻，则不同的排法种数为_(用数字作答)解析：先排4位男生，有A 种不同的排法，有5个空位，再从3位女生中任取2人“捆绑4”在一起记作 M(M共有C A 种不同排法)，剩下1位
22、女生记作 N，让 M， N插入5个空位中的2个232空位，有A 种排法，此时共有A C A A 种不同的排法又男生甲不站25 423225两端，其中甲站两端时有A A C A A 种不同的排法，所以共有A C A A A A C A A12323224 423225 123232242 016(种)不同的排法10答案：2 01616把编号为1,2,3,4的四封电子邮件发送到编号为1,2,3,4的四个电子邮箱，且每个电子邮箱都会收到一封电子邮件，则至多有一封邮件的编号与邮箱的编号相同的发送方法种数为_(用数字作答)解析：由题意知，编号为1,2,3,4的四封电子邮件发送到编号为1,2,3,4的四个电子邮箱，发送方法有A 种，有两封邮件的编号与邮箱的编号相同或邮件的编号与邮箱的编号全4相同的发送方法有(C C )种所以至多有一封邮件的编号与邮箱的编号相同的发送方法24 4种数为A (C C )24717.4 24 4答案：17
