1、1基础回扣(一) 集合常用逻辑用语、算法、复数、推理与证明、不等式要点回扣1集合元素的三个特征集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性对点专练 1 集合 A a， b， c中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是( )A等腰三角形 B锐角三角形C直角三角形 D钝角三角形答案 A2集合的表示方法描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义抓住集合的代表元素如：x|y f(x)函数的定义域； y|f(x)函数的值域；( x， y)|y f(x)函数图象上的点集对点专练 2 集合 A x|x y1， B( x， y)|x y1，则 A
2、 B_.答案 3空集问题遇到 A B时，你是否注意到“极端”情况： A或 B；同样在应用条件A B BA B AAB 时，不要忽略 A的情况对点专练 3 设集合 A x|x25 x60，集合 B x|mx10，若 A B B，则实数 m 组成的集合是_答案 0，12， 134子集个数的计算对于含有 n 个元素的有限集合 M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为 2n,2n1,2 n1,2 n2.对点专练 4 满足1,2 M1,2,3,4,5的集合 M 有_个答案 75集合中的数形结合注重数形结合在集合问题中的应用，列举法常借助 Venn 图解题，描述法常借助数轴来运算，求解时要特别
3、注意端点值对点专练 5 已知全集 IR，集合 A x|y ，集合 B x|0 x2，则1 x(IA) B 等于 ( )2A1，) B(1，)C0，) D(0，)答案 C6否命题和命题否定的区别“否命题”是对原命题“若 p，则 q”既否定其条件，又否定其结论；而“命题 p 的否定”即：非 p，只是否定命题 p 的结论对点专练 6 已知实数 a、 b，若| a| b|0，则 a b.该命题的否命题和命题的否定分别是_.答案 否命题：已知实数 a、 b.若| a| b|0，则 a b；命题的否定：已知实数a、 b，若| a| b|0，则 a b7充分、必要条件的判断“A 的充分不必要条件是 B”是指
4、 B 能推出 A，且 A 不能推出 B；而“ A 是 B 的充分不必要条件”则是指 A 能推出 B，且 B 不能推出 A.对点专练 7 设集合 M1,2， N a2，则“ a1”是“ NM”的_条件答案 充分不必要8含有量词的命题的否定要注意全称命题的否定是特称命题(存在性命题)，特称命题(存在性命题)的否定是全称命题如对“ a， b 都是偶数”的否定应该是“ a， b 不都是偶数” ，而不应该是“ a， b 都是奇数” 求参数范围时，常与补集思想联合应用，即体现了正难则反思想对点专练 8 若存在 a1,3，使得不等式 ax2( a2) x20 成立，则实数 x 的取值范围是_答案 (，1)
5、(23， )9集合、区间的规范应用在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示，不能直接用不等式表示对点专练 9 不等式3 x25 x20 的解集为_答案 (23， 1)10算法(1)首先要弄清楚这两个变量的变化规律，其次要看清楚循环结束的条件，这个条件由输出要求所决定，看清楚是满足条件时结束还是不满足条件时结束(2)条件结构的程序框图中对判断条件的分类是逐级进行的，其中没有遗漏也没有重复，在解题时对判断条件要仔细辨别，看清楚条件和函数的对应关系，对条件中的数值不要漏掉也不要重复了端点值3对点专练 10 执行如图所示的程序框图，则输出 a 的值为_答案 34111复数的概念在
6、复数中，对实数、纯虚数、模、共轭复数的考查是重点对点专练 11 若复数 zlg( m2 m2)ilg( m23 m3)为实数，则实数 m 的值为_答案 212复数的运算法则复数的运算法则与实数运算法则相同，主要是除法法则的运用对点专练 12 已知复数 z ， 是 z 的共轭复数，则| |_.1 3i3 i z z答案 113合情推理与演绎推理合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)，实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳和类比是合情推理常见的方法，在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养对点专
7、练 13 图 1 有面积关系： ，则图 2 有体积关系：S PA BS PAB PA PBPAPB_.4答案 VP A B CVP ABC PA PB PCPAPBPC14直接证明与间接证明直接证明综合法、分析法；间接证明反证法；数学归纳法对点专练 14 用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于 60”时，应假设_答案 三角形三个内角都大于 6015不等式的性质不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，必须讨论这个数的正负，两个不等式相乘时，必须注意同向同正时才能进行对点专练 15 已知 a， b， c， d 为正实数，且 cd，则“ ab”是“ acbd”的_条件答案 充分不必要16
8、基本不等式 (a， b0)a b2 ab(1)推广： (a， b0)，a2 b22 a b2 ab 21a 1b(2)用法：已知 x， y 都是正数，则若积 xy 是定值 p，则当 x y 时，和 x y 有最小值 2 ；p若和 x y 是定值 s，则当 x y 时，积 xy 有最大值 s2.14对点专练 16 已知 a0， b0， a b1，则 y 的最小值是_1a 4b答案 917线性规划解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中 y 的系数的正负；注意最优整5数解对点专练 17 设定点 A(0,1)，动点 P(x， y)的坐标满足条件Error!则| PA|的最小值是_答案 22易
9、错盘点易错点 1 忽视元素互异性致误【例 1】 已知集合 A1， x,2， B1， x2，若 A B A，则 x 的不同取值有_种情况( )A1 B2 C3 D4错解 由 x22，解得 x1 ， x2 .2 2由 x2 x，解得 x30， x41.选 D.错因分析 当 x1 时，集合 A、 B 中元素不满足互异性，错解中忽视了集合中元素的互异性，导致错误正解 A B A， BA. x22 或 x2 x.由 x22，解得 x ，由 x2 x，解2得 x0 或 x1.当 x1 时， x21，集合 A、 B 中元素不满足互异性，所以符合题意的 x为 或 或 0，共 3 种情况，选 C.2 2由集合的
10、关系求参数的值应注意元素性质的具体情况，对求出的参数值要进行验证对点专练 1 (1)已知 1 m， m2，则实数 m 的值( )A等于 1 B等于1C等于1 D m0 且 m1(2)已知 1 a2，( a1) 2， a23 a3，则实数 a 的值为_解析 (1)因为集合元素具有互异性，所以 m21，解得 m1 或 m1(舍)，故选B.(2)由题意得 a21 或( a1) 21 或 a23 a31.解得 a1 或 a2 或 a0.又当 a2 时，( a1) 2 a23 a31 不符合集合中元素互异性这一特点故a2，同理 a1，故只有 a0.答案 (1)B (2) a0易错点 2 遗忘空集致误【例
11、 2】 已知 A xR| x4， B xR|2 a x a3，若 A B A，则6实数 a 的取值范围是_错解 由 A B A 知， BA，Error!，解得 aa3，解得 a3.综上可知，实数 a 的取值范围是 a2.造成本题错误的根本原因是忽视了“空集是任何集合的子集”这一性质当题目中出现 AB， A B A， A B B 时，注意对 A 进行分类讨论，即分为 A 和 A两种情况讨论对点专练 2 (1)设 A x|x2 x60， B x|mx10，且 A B A，则 m 的取值范围是( )A. B.13， 12 0， 13， 12C. D.0，13， 12 13， 12(2)已知集合 A
12、x|x2( p2) x10， pR)，若 AR ，则实数 p 的取值范围为_解析 (1)因为 A2，3由 A B A 得 BA.当 m0 时， B ，满足；当m0 时， B ，所以 2 或 3，解得 m 或 ，故 m 的取值集合是1m 1m 1m 12 13，故选 C.0， 12， 13(2)由 0，得 p2；p 22由Error!，得40，解得 a5 或 a5，故 a 的取值范围是5a 105a 25(，2)5，)答案 (1)若 x0 且 y0，则 xy0 (2)(，2)5，)易错点 4 充分、必要条件判断不准致误【例 4】 设 U 为全集， A， B 是集合，则“存在集合 C，使得 AC，
13、 BUC”是“A B ”的 _条件错解 若 AC，则 UCUA，又 BUC， A B，故填“充要” 错因分析 没有理解充分条件的概念， pq 只能得到 p 是 q 的充分条件，必要性还要检验 qp 是否成立正解 若 AC，则 UCUA，当 BUC 时，可得 A B；若 A B ，不能推出8BUC，故填“充分不必要” 充分、必要条件判断时一定要分清条件和结论，只有充分性和必要性同时成立，才判断为充要条件对点专练 4 (1)设 A， B 为两个互不相同的集合，命题 p： x A B，命题 q： x A 或 x B，则綈 q是綈 p 的( )A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必
14、要条件(2)若“ x22 x80”是“ x0 得 x4；依题意得知，由 x4，于是有m2，即 m 的最大值是2.答案 (1)B (2)2易错点 5 循环次数把握不准致误【例 5】 执行下边的程序框图，若 p0.8，则输出的 n_.9错解 3 或 5.错因分析 陷入循环运算的“黑洞” ，出现运算次数的偏差而致错正解 n1， S0,00.8，78故输出 n4.解答循环结构的程序(算法)框图，最好的方法是执行完整每一次循环，防止执行程序不彻底，造成错误对点专练 5 (1)执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的结果是 4，则常数 a 的值为( )A4 B2 C. D112(1)题图 (2)题
15、图(2)执行如上图所示的程序框图，输出的 S 的值是_解析 (1) S 和 n 依次循环的结果如下： ，2；1 ，4.所以 1 2， a1，11 a 1a 1a故选 D.10(2)由程序框图可知，n1， S0； Scos ， n2； Scos cos ， n3； Scos cos cos 4 4 24 4 24cos 251 cos cos cos 34 20144 (cos 4 cos24 cos84) 4 24 642510 0 (1) 01 ， n2015，输出 S.22 ( 22) ( 22) 22答案 (1)D (2)122易错点 6 复数的概念不清致误【例 6】 若 zsin i
16、是纯虚数，则 tan 的值为( )35 (cos 45) ( 4)A7 B7C D7 或17 17错解 由 z 为纯虚数，知 sin 0，35则 sin ，从而 cos .35 45tan .由 tan ，34 ( 4) tan 1tan 1得 tan 或7.故选 D.( 4) 17错因分析 混淆复数的有关概念，忽视虚部不为 0 的限制条件正解 由 z 为纯虚数，知 sin 0，且 cos 0.则 sin ，从而35 45 35cos .所以 tan .45 sincos 34tan 7，故选 A.( 4)tan tan 41 tan tan 4 34 11 34纯虚数是指实部为零且虚部不为零
17、的虚数对点专练 6 (1)复数 2(i 是虚数单位 )的共轭复数为( )(12 32i)11A i B. i12 32 12 32C. i D i12 32 12 32(2)若复数 z1429i， z269i，其中 i 是虚数单位，则复数( z1 z2)i 的实部为_解析 (1)由题意知， 2 i(12 32i) 14 34 32 i，其共轭复数为 i.故选 D.12 32 12 32(2)(z1 z2)i(220i)i202i，故( z1 z2)i 的实部为20.答案 (1)D (2)20易错点 7 忽视基本不等式的应用条件致误【例 7】 函数 y x 的值域是_2x 1错解 y x x1 12 12 1，当且仅当2x 1 2x 1 x 12x 1 2x1 ，即 x1 时等号成立，故函数值域为2 1，)2x 1 2 2错因分析 错解中直接使用基本不等式，而忽视了 x11 时， y x x1 12x 1 2x 12 12 1，当且仅当 x1 ，x 12x 1 2 2x 1即 x1 时等号成立；2当 x0，所以 x 4x2 4，所以 y2 x 246，当且仅当 x2 时等号成立，故选 A.44x(2)y ，令 t ，则 t2， y t 在2，)x2 4 1x2 4 x2 4 1x2 4 x2 4 1t上为增函数， ymin2 .12 52答案 (1)A (2)52
