1、1第 1 讲 函数的图像与性质1.2017全国卷 函数 y= 的部分图像大致为 ( )图 M1-1-1试做_命题角度 函数图像的识别解题策略: 步骤一,判断已知函数的奇偶性、周期性和图像的对称性等,初步排除选项;步骤二,利用单调性(导数判断法或判断已知函数中各子函数的单调性后整体判断)或特殊点描绘函数的大致图像得出答案 .注:(1)此类试题,一般可多次利用特殊点排除法得到答案;(2)有时需要将已知函数图像上下或者左右平移得到图像的对称性等,如2017 全国卷 7函数 y=1+x+ 的部分图像 .2.【引全国卷】2018全国卷 已知 f(x)是定义域为( - ,+ )的奇函数,满足 f(1-x)
2、=f(1+x).若 f(1)=2,则 f(1)+f(2)+f(3)+f(50)= ( )A.-50 B.0 C.2 D.50【荐地方卷】(1)2017山东卷 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f(x+4)=f(x-2).若当 x -3,0 时, f(x)=6-x,则 f(919)= . (2)2018江苏卷 函数 f(x)满足 f(x+4)=f(x)(xR),且在区间( -2,2上, f(x)=则 f(f(15)的值为 . 2试做_命题角度 函数周期性为背景的问题(1)利用函数的奇偶性和周期性把所求的函数值转化为已知函数解析式的区间上的函数值,计算一个周期内的函数值,利用周期性求值
3、.(2)求函数周期性的方法:若函数满足 f(x+T)=f(x),则由函数周期性的定义可知 T 是函数的一个周期;若函数满足 f(x+a)=-f(x),则 2a 是函数的一个周期;若函数满足 f(x+a)= ,则 2a 是函数的一个周期;若函数满足 f(x+a)=- ,同理可得 2a 是函数的一个周期 .(3)对称性与周期性:如果一个函数 y=f(x)的图像具备两种对称性,则这个函数是周期函数,具体如下:关于两个点对称,若 y=f(x)的图像关于点( a,0),(b,0)对称,则 y=f(x)是周期函数,且周期为 2|b-a|;关于两条线对称,若 y=f(x)的图像关于直线 x=a,x=b 对称
4、,则 y=f(x)是周期函数,且周期为 2|b-a|;关于一条线,一个点对称,若 y=f(x)的图像关于直线 x=a 和点( b,0)对称,则 y=f(x)是周期函数,且周期为 4|b-a|.3.【引全国卷】2016全国卷 已知函数 f(x)(xR)满足 f(x)=f(2-x),若函数 y=|x2-2x-3|与 y=f(x)图像的交点为( x1,y1),(x2,y2),(xm,ym),则 xi= ( )A.0 B.mC.2m D.4m【荐地方卷】2015福建卷 若函数 f(x)=2|x-a|(aR)满足 f(1+x)=f(1-x),且 f(x)在 m,+ )上单调递增,则实数 m 的最小值等于
5、 . 试做_3_命题角度 函数图像的对称性为背景的问题(1)解决两个函数图像所有交点的横坐标、纵坐标的问题:关键一,利用已知条件确定函数图像的对称中心或对称轴;关键二,熟记关于函数图像的对称中心或对称轴的常用结论: f(a+x)=2b-f(a-x)函数 y=f(x)的图像关于点( a,b)对称 ; f(a+x)+f(b-x)=c函数 y=f(x)的图像关于点 , 对称; f(a+x)=f(a-x)函数 y=f(x)的图像关于直线 x=a 对称 ; f(a+x)=f(b-x)函数 y=f(x)的图像关于直线 x= 对称 .(2)(特殊值法)将抽象函数 f(x)具体化,找一个满足所有条件的具体函数
6、 .注:此类试题,可以用特殊值法将抽象函数 f(x)具体化,找一个满足所有条件的具体函数;知道一个函数图像的自身对称和两个不同的函数图像对称的区别 .4.(1)2017全国卷 已知函数 f(x)=ln x+ln(2-x),则 ( )A.f(x)在(0,2)单调递增B.f(x)在(0,2)单调递减C.y=f(x)的图像关于直线 x=1 对称D.y=f(x)的图像关于点(1,0)对称(2)2017全国卷 函数 f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是 ( )A.(- ,-2) B.(- ,1)C.(1,+ ) D.(4,+ )(3)2014全国卷 设函数 f(x),g(x)的定义域都为 R
7、,且 f(x)是奇函数, g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是 ( )A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数试做_4_命题角度 复合函数单调性与奇偶性的判断(1)求复合函数单调性的解题策略:关键一,确定定义域,将原函数分解为基本函数、内函数与外函数;关键二,分别研究内函数、外函数在各自定义域内的单调性;关键三,根据“同性则增,异性则减”来判断原函数在定义域内的单调性 .注:外函数的定义域是内函数的值域 .(2)解决两函数的积的奇偶性策略:关键一,两个奇函数的积是偶函数,两个偶函数的积是偶函数,一个奇函数
8、与一个偶函数的积是奇函数;关键二,一个奇函数或偶函数的绝对值是偶函数 .将抽象函数 f(x)具体化,分别找一个满足所有条件的具体函数,例如 f(x)=x,g(x)=x2.注:两个函数的定义域都要关于原点对称 .5.(1)2017全国卷 函数 f(x)在( - ,+ )单调递减,且为奇函数 .若 f(1)=-1,则满足 -1 f(x-2)1 的 x 的取值范围是 ( )A.-2,2 B.-1,1C.0,4 D.1,3(2)2014全国卷 已知偶函数 f(x)在0, + )上单调递减, f(2)=0,若 f(x-1)0,则 x 的取值范围是 . 试做_命题角度 解抽象函数不等式(1)解抽象函数不等
9、式的依据是单调性定义;(2)应将抽象函数不等式变形为类似 f(x1)f(x2)这种形式,结合函数的单调性转化为常规不等式, 如 x1x2(或 x10 的解集为 ( )A.(- ,2) B.(2,+ )C.(- ,1) D.(1,+ )(2)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f(x)在区间(0, + )上单调递增,记 a=f -log2 ,b=f(-2-0.5),c=f(log49),则 a,b,c 的大小关系为 ( )A.b0,则下列不等式恒成立的是 ( )A.b-a2C.b-a2 D.a+2b0,所以可以排除 A.而 f() = =0,所以可以排除 D.故选 C.2.【引全国卷
10、】C 解析 因为 f(x)是奇函数,所以 f(0)=0,且 f-(1-x)=-f(1-x),即 f(1-x)=-f(x-1),又由 f(1-x)=f(1+x)得 f(x+1)=-f(x-1),所以 f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=-f(x)=f(x),所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数 .因为 f(1)=2,f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(0)=0,所以 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,故 f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=f(1)+f(2)=2,故选 C.【荐地方卷】(
11、1)6 (2) 解析 (1)由 f(x+4)=f(x-2)可知周期 T=6,所以 f(919)=f(1536+1)=f(1),又因为 f(x)为偶函数,所以 f(1)=f(-1)=6-(-1)=6.(2)由 f(x+4)=f(x)(xR),得 f(15)=f(-1+44)=f(-1),又 -1( -2,0,所以 f(15)=f(-1)=-1+ = .而 (0,2,所以 f(f(15)=f =cos =cos = .3.【引全国卷】B 解析 因为 y=f(x),y=|x2-2x-3|的图像都关于直线 x=1 对称,所以两函数图像的交点也关于 x=1 对称 .当 m 为偶数时, xi=2 =m;当
12、 m 为奇数时, xi=2 +1=m.【荐地方卷】1 解析 由 f(1+x)=f(1-x)知 f(x)的图像关于直线 x=1 对称,所以 a=1,即 f(x)=2|x-1|,所以 f(x)在( - ,1 上为减函数,在1, + )上为增函数,故 m1,即 m 的最小值为 1.4.(1)C (2)D (3)C 解析 (1)因为函数 f(x)的定义域为(0,2), f(x)=ln x+ln(2-x)=ln(-x2+2x)=ln-(x-1)2+1,所以函数 f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,故选项 A,B 错 .由于函数 y=-(x-1)2+1,x(0,2)的图像关于直线 x=
13、1 对称,所以函数 f(x)=ln x+ln(2-x)的图像关于直线 x=1 对称 .故选 C.11(2)函数 y=x2-2x-8=(x-1)2-9 图像的对称轴为直线 x=1,由 x2-2x-80 解得 x4 或 x0 的解集为( -2,2),若 f(x-1)0,则 -20 且 x-10,即 00,即 x1 时, f(x)+f(x-1)=4x+4x-1,此时 4x+4x-12 恒成立, x 1. 综上, x 的取值范围是 ,+ .【自我检测】1.B 解析 f(x)的定义域满足 即 14 时,由 -log2(a+1)= ,得a= -14 矛盾,故此种情况下无解 .综上可知 a=1,故选 A.1
14、23.1008 解析 函数 f(x)= 则 f(2018)=f(2016)+1=f(2014)+2=f(0)+1009=1-2+1009=1008.4. 解析 f (-1)=2-(-1)=2 ,f f(-1)=f(2)=4a=1,解得 a= .小题 2例 2 (1)C (2) ,1 解析 (1)由题意知,当 a=0 时, f(x)=-2x+1,在 R 上是减函数,符合题意;当 a0 时,要使 f(x)在区间 - , 上为减函数,则 ,解得 a1, 00f(1-2x)-f(3)=f(-3),所以 1-2x-3,解得 x0,f (2a+b)-f(4-3b)=f(3b-4), 2a+b 2.故选 C
15、.小题 3例 6 (1)C (2)D 解析 (1)因为函数 f(x)的定义域为 R,f(-x)=-f(x),所以函数 f(x)为奇函数,排除 A,B;当 x(0, + )时, f(x)=xe-x,因为 e-x0,所以 f(x)0,故当 x(0, + )时, f(x)的图像恒在x 轴上方,排除 D.故选 C.(2)f(x)的图像如图所示 .当 即 x -1 时,若满足 f(x+1)2x,即 x0,排除 A.故选 D.2.A 解析 在同一直角坐标系内作出函数 y=log2(-x)与 y=x+1 的图像,由图可知满足条件的 x 的取值范围是( -1,0).3.C 解析 在矩形 MNPO 中,动点 R
16、 沿 N P 方向运动时, MNR 的底为 MN 保持不变,而高NR 随着 x 的增加而增加,因此这一阶段 MNR 的面积 y 也随 x 的增加而增加,其图像为图 中 04 这一段;动点 R 沿 P O 方向运动时, MNR 的底为 MN 保持不变,高等于 PN 也保持不变,因此这一阶段 MNR 的面积 y 不随 x 的改变而改变,其图像为图 中 49 这一段;动点 R沿 O M 方向运动时, MNR 的底为 MN 保持不变,而高 MR 随着 x 的增加而减小,因此这一阶段 MNR 的面积 y 随 x 的增加而减小,其图像为图 中 913 这一段 .根据以上分析,当 x=9时,点 R 应运动到
17、点 O 处 .故选 C.4.B 解析 因为 f(x+1)=-f(x),所以 f(x)的周期为 2.函数 g(x)= |x-1|的图像关于直线 x=1 对称,作图可得两函数图像的两对交点关于直线 x=1 对称,故其横坐标之和为 22=4,故选 B.备选理由 若一个函数是奇函数且其图像关于某直线对称,则该函数是周期函数 .例 1 和例2 考查函数的对称性和周期性 .例 1 配例 4、5 使用 已知函数 f(x)是定义在( - ,+ )上的偶函数,若对任意的实数 x,15都有 f(1-x)=f(1+x)成立,且当 x0,1时, f(x)=2x-1,则 f(2016)-f(-2017)+f(2018)
18、的值为 ( ) A.-1 B.-2 C.2 D.1解析 A 因为 f(x)是定义在( - ,+ )上的偶函数,且对任意的实数 x,都有 f(1-x)=f(1+x)成立,所以 f(x)是周期为 2 的周期函数,所以 f(2016)=f(2018)=f(0)=0,f(-2017)=f(1)=1,故选 A.例 2 配例 4 使用 已知奇函数 f(x)满足 f(x+2)=-f(x),且当 x(0,1)时, f(x)=3x+ ,则f(log354)= ( )A.-2 B.- C. D.2解析 A f (x+2)=-f(x),f (x+4)=-f(x+2)=f(x), 函数 f(x)的周期为 4.又log354=log3(272)=3+log32(3,4), f (log354)=f(3+log32)=f(-1+log32)=f log3 =-f-log3 =-f log3 =- + =- + =-2.故选 A.
