1、1限时集训（五）导数的热点问题基础过关1.已知函数 f(x)=(x+b)(ex-a)(b0)的图像在点( -1,f(-1)处的切线方程为(e -1)x+ey+e-1=0.(1)求 a,b的值;(2)若 m0,证明: f(x) mx2+x.2.已知函数 f(x)=x2-(2-m)x+m(1-m)ln x(mR) .(1)若 m=2,求 f(x)的极值 .(2)是否存在实数 m,使得函数 f(x)在区间(1, + )上是单调函数?若存在,请求出 m的取值范围;若不存在,请说明理由 .3.已知函数 f(x)=ln x,g(x)=x+m(mR) .(1)若 f(x) g(x)恒成立,求实数 m的取值范
2、围;(2)若 x1,x2是函数 F(x)=f(x)-g(x)的两个零点,且 x10恒成立,求实数 m的最大整数值 .限时集训(五)基础过关1.解:(1)由题意知 f(-1)=(-1+b) =0,3又 f(x)=(x+b+1)ex-a,所以 f(-1)= -a=-1+ .若 a= ,则 b=2-e0矛盾,故 a=1,b=1.(2)证明:由(1)可知 f(x)=(x+1)(ex-1),所以 f(0)=0,f(-1)=0.由 m0,可得 x mx2+x.令 g(x)=(x+1)(ex-1)-x,则 g(x)=(x+2)ex-2,令 t(x)=g(x),则 t(x)=(x+3)ex.当 x-3时, t
3、(x)0,g(x)单调递增,且 g(0)=0.所以 g(x)在( - ,0)上单调递减,在(0, + )上单调递增,且 g(0)=0,故 g(x) g(0)=0,即( x+1)(ex-1) x mx2+x,又等号可同时成立,所以 f(x) mx2+x.2.解:(1)当 m=2时, f(x)=x2-2ln x(x0),则 f(x)=2x- = = (x0).令 f(x)=0,得 x=1.列表如下:x (0,1) 1 (1,+ )f(x) - 0 +f(x) 极小值 由上表可得, f(x)的极小值为 f(1)=1,无极大值 .(2)f(x)=2x-(2-m)+ = = (x0).当 m= 时, f
4、(x)0,f(x)在区间(1, + )上是增函数,满足题意;当 1-m,即 m 时,若 f(x)在区间(1, + )上是单调函数,则有 1,故 0),则有 F(x)= -1= ,当 x1时, F(x)0,所以 F(x)在(1, + )上单调递减,在(0,1)上单调递增,故 F(x)在 x=1处取得最大值,最大值为 -1-m.若 f(x) g(x)恒成立,则 -1-m0,即 m -1.(2)证明:由(1)可知,若函数 F(x)=f(x)-g(x)有两个零点,则 mF .由 F(x1)=F(x2)=0,得 m=ln x1-x1,即证 ln - -m=ln - +x1-ln x10,故 h(x)在(
5、0,1)上单调递增,则 h(x)0),f (x)在 x=1处取得极值,f (1)=0,即 a-1=0,a= 1.经检验,当 a=1时, f(x)在 x=1处取得极小值 .(2)f(x)= ,令 g(x)=2ax2-ax-1(x1) . 当 a=0时, f(x)= 0时,二次函数 g(x)的图像开口向上,对称轴为直线 x= ,过点(0, -1).(i)当 g(1)0,即 a1 时, g(x)0 在1, + )上恒成立,f (x)0,从而 f(x)在1, + )上单调递增 .又 f (1)=0, 当 x1 时, f(x)0,满足 f(x)0 在1, + )上恒成立 .(ii)当 g(1)1,使得当
6、 x(1, x0)时, g(x)0,f(x)单调递增, f (x0)0,解得 01,则函数 g(x)在(0,1)上单调递增,在(1, + )上单调递减,故 g(x)max=g(1)=-1.要使函数 f(x)有两个零点,则函数 g(x)的图像与直线 y=m有两个不同的交点,则 m (x-2)ex+ln x-x.设 h(x)=(x-2)ex+ln x-x,x ,则 h(x)=(x-1) .设 u(x)=ex- ,则 u(x)=ex+ 0,则 u(x)在 上单调递增,又 u = -20, 存在 x0 ,使得 u(x0)=0,即 = , ln x0=-x0.当 x 时, u(x)0;当 x( x0,1
7、时, u(x)0,h(x)0 . 函数 h(x)在 上单调递增,在( x0,1上单调递减,h (x)max=h(x0)=(x0-2) +ln x0-x0=(x0-2) -2x0=1- -2x0.设 (x)=1- -2x,则 (x)= -2= ,当 x 时, (x)0恒成立,则 (x)在 上单调递增, (x)0,得 x1,f (x)在(1, + )上为增函数;令 f(x)0对于任意 x(0, + )恒成立,f (x)-m-1对于任意 x(0, + )恒成立 .f(x)=exx-(m-1),分类讨论: 当 m1 时, f(x)在(0, + )上为增函数,6f (x)-m,又 -m-m-1恒成立, m 1 . 当 m1时, f(x)在(0, m-1)上为减函数,在( m-1,+ )上为增函数,f (x)min=f(m-1)=-em-1,- em-1-m-1, em-1-m-11),则 g(m)=em-1-10(m1),g (m)在(1, + )上单调递增,又 g(2)=e-30, 在(1, + )上存在唯一的 m0使得 g(m0)=0,且 2m03,故实数 m的最大整数值为 2.
