1、12.1.2 指数函数及其性质（第二课时）本节课是高中数学必修一 （人教 A 版）第二章第二节指数函数及其性质的内容。函数是高中数学学习的重点和难点，函数的思想贯穿于整个高中数学之中。本节课是学生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上，进一步研究指数函数及其图象与性质，它一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，同时也为今后进一步熟悉函数的性质和作用，研究对数函数、幂函数以及等比数列的性质打下坚实的基础，起到承上启下的作用。1.教学重点：指数函数的概念、图象、性质及其运用。2.教学难点：指数函数图象和性质的发现过程及图象与底的关系。1
2、知识梳理21.指数函数定义：一般地，函数 （ 且 ）叫做指数函数。2.指数函数有哪些特征？答案： 底数：大于零且不等于 1 的常数；指数：自变量 ，且为单个 ；系数：1；项数：只有一项3.指数函数的图像与性质：函数图象定义域值域定点单调性 在 上是减函数 在 上是增函数取值情况若 ，则若 ，则若 ，则若 ，则性质对称性 函数 与 的图象关于 轴对称32典题探究类型一 指数函数的概念例 3.(1)下列一定是指数函数的是( )A y axB y xa(a0 且 a1)C yError! xD y( a2) ax(2)函数 y( a2) 2ax是指数函数，则( )A a1 或 a3 B a1C a3
3、 D a0 且 a1【精彩点拨】 根据指数函数的定义判断、求解【答案】 (1)C (2)C方法规律：1指数函数具有形式上的严格性，在指数函数定义的表达式中，要牢牢抓住四点：(1)底数是大于 0 且不等于 1 的常数；(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上；(3)ax的系数必须为 1；(4)指数函数不会是多项式，如 y ax1 ( a0 且 a1)不是指数函数2求指数函数的解析式常用待定系数法类型二 指数函数的定义域和值域例 2.求下列函数的定义域和值域：(1)y；(2)yError! ；(3)y4 x2 x1 2.4【精彩点拨】 指数函数【自主解答】 (1)要使函数式有意义，则 13 x0
4、，即 3x13 0，因为函数 y3 x在R 上是增函数，所以 x0，故函数 y的定义域为(，0因为 x0，所以 00，所以 4x2 x1 2(2 x)222 x2(2 x1) 21112，即函数 y4 x2 x1 2 的值域为(2，)方法规律：1求与指数函数有关的函数的定义域时，首先观察函数是 y ax型还是 y af(x)型，前者的定义域是 R，后者的定义域与 f(x)的定义域一致，而求 y型函数的定义域时，往往转化为解指数不等式(组)2函数 y af(x)的值域的求解方法如下：(1)换元，令 t f(x)；(2)求 t f(x)的定义域 x D；(3)求 t f(x)的值域 t M；(4)
5、利用 y at的单调性求 y at， t M 的值域3求与指数函数有关的函数的值域时，要注意与求其它函数(如一次函数、二次函数)值域的方法相结合，要注意指数函数的值域为(0，)，切记准确运用指数函数的单调性类型三 与指数函数有关的最值或值域问题例 3.已知函数 f(x)Error!( aR)，且 xR 时，总有 f( x) f(x)成立5(1)求 a 的值；(2)判断并证明函数 f(x)的单调性；(3)求 f(x)在0,2上的值域【精彩点拨】 (1)根据条件建立方程关系即可求 a 的值；(2)根据函数单调性的定义判断并证明函数 f(x)的单调性；(3)结合函数奇偶性和单调性的定义即可求 f(x
6、)在0,2上的值域【自主解答】 (1) f( x) f(x)，Error!Error!，即Error! Error!， a1， f(x)Error! .方法规律：1指数函数本身不具有奇偶性，但是与指数函数有关的函数可以具有奇偶性，其解决方法一般是利用函数奇偶性的定义和性质2证明指数函数与其它函数复合而成的函数的单调性，一般用函数单调性的定义进行三达标检测1设 f(x)Error! |x|， xR，那么 f(x)是( )A奇函数，且在(0，)上是增函数B偶函数，且在(0，)上是增函数C奇函数，且在(0，)上是减函数6D偶函数，且在(0，)上是减函数【解析】 f(x)Error! |x|， xR，
7、 f( x)Error! | x|Error! |x| f(x)，故 f(x)为偶函数，当 x0 时， f(x)Error! x，是减函数，故选 D. 【答案】 D2下列判断正确的是( )A1.7 2.51.7 3 B0.8 20.8 3C 2 D0.9 0.30.9 0.5【解析】 y0.9 x在定义域上是减函数，0.30.5，0.9 0.30.9 0.5.【答案】 D3已知函数 f(x)Error! a 为奇函数，则常数 a_.【解析】 函数 f(x)Error! a 为奇函数， f( x) f(x)， f(0)0，Error! a0， aError!.【答案】 Error!4函数 y2
8、|x|的单调减区间是_【答案】 (，05设函数 f(x) aError!，(1)判断并说明函数的单调性；(2)确定 a 的值，使 f(x)为奇函数及此时 f(x)的值域【解】 (1)任取 x1 x2，则 f(x1) f(x2)Error!， x1 x2，2 x12 x2，即 2 x12 x20，又2 x110,2 x210， f(x1) f(x2)0，即 f(x1) f(x2)不论 a 为何值， f(x)总为增函数(2) f(x)为奇函数，7 f( x) f(x)， aError! aError!，解得 a1，故 f(x)1Error!在其定义域内是增函数，当 x 趋向时，2 x1 趋向 1， f(x)趋向1，当 x 趋向时，2 x1 趋向， f(x)趋向 1， f(x)的值域(1,1)
