1、1有理数中的“三大家族”大揭密在有理数的“王国”里，有三个相互依赖、相互联系的家族-“数轴” 、 “相反数”和“绝对值” ，它们号称有理数中的“三个重锤” ，它们也是学好七年级数学的起点，下面把它们的各自特征介绍给同学们一、一线串珠的数轴数轴是一条红线，是“形”通向“数”的桥梁，是数形结合的基础，抽象的数与具体的形结合在一起，更显示出数学的神奇魅力，数轴把数与直线的点生动、形象地联系在一起，为人们提供了一种直观的数学思想方法，它的主要内容如下：数轴：原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可有理数可以用数轴上的点表示，但数轴上的点并不都表示有理数在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的
2、数大二、形影不离的相反数只有符号不同的两个数是互为相反数，除零以外，相反数总是一正一负，成对出现的在数轴上看，表示互为相反数的两个点分别在原点的两侧，而且到原点的距离相等（1）通常用 a 与 表示一对相反数（2）若 a 与 b 互为相反数，则 ab0（3）互为相反数的两个数的绝对值相等，即 a-=（4）若 =，则 ，或 （a 与 b 互为相反数） 三、永不言负的绝对值由绝对值的几何意义可知：一个数的绝对值是指在数轴上表示该数的点与原点的距离因为距离总是正数或零，所以有理数的绝对值不可能是负数，即 a0从绝对值的定义可知：一个正数的绝对值是它的本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是
3、0，综合到一起我们可以得到任何一个有理数的绝对值都是非负数（1）若 a=，则 ；（2）若 -，则 a；（3） 0，绝对值的非负性；（4）互为相反数的绝对值相等，即 a=-；2（5）若两个数绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数；即： |abab， 则 ， 或（6）绝对值最小的数是 0注意几个问题：（1） a不一定表示负数，当 a0时， 表示 a的相反数，此时 a是一个正数（2）由定义可知一个数的绝对值是点到点的距离，这说明了有理数的绝对值是非负数，即对任意有理数 总有 0（3）绝对值等于 0 的数一定是 0，绝对值为正数 m 的数一共有两个，它们是m， ，是互为相反数的两个数，绝对值相等的两个
4、数，它们相等或互为相反数，即若 n=，则 或 mn两个负数，绝对值大的反而小这说明比较两个负数的大小，分两步进行：（1）分别求出这两个负数的绝对值并比较其大小；（2）根据“两个负数绝对值大的反而小”得出结论四、典型例题例 1. 如图所示，在数轴上有三个点 A、B、C，请回答：（1）将 B 点向左移动 3 个单位后，三个点所表示的数谁最小？是多少？（2）将 A 点向右移动 4 个单位后，三个点所表示的数谁最小？是多少？（3）将 C 点向左移动 6 个单位后，这时 B 点表示的数比 C 点表示的数大多少？（4）怎样移动 A、B、C 中的两个点，才能使三个点表示的数相同？有几种移动的方法？解：（1）
5、因为将 B 点向左移动 3 个单位后，点 B 表示5，而点 A 表示4，点 C 表示3，因此点 B 表示的数最小，是5；（2）将 A 点向右移动 4 个单位后，点 A 表示 0，点 B 表示2，点 C 表示 3，因此点 B表示的数最小，是2；（3）将 C 点向左移动 6 个单位后，C 点表示数3，A 点表示数4，B 点表示数2，所以 B 点表示的数比 C 点表示的数大 1（4）使三个点表示的数相同共有三种移动的方法第一种：把点 A 向右移动 2 个单位，点 C 向左移动 5 个单位；A B -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 3第二种：把 B 点向左移动 2 个单位，C 点向左移动 7
6、 个单位；第三种：把 A 点向右移动 7 个单位，B 点向右移动 5 个单位例 2. 判断下列语句是否正确？正确的打“” ，错误的打“” ，并说明理由（1）符号相反的两个数叫做互为相反数 （ ）（2）互为相反数的两个数不一定一个是正数，一个是负数（ ）（3）相反数和我们以前学过的倒数是一样的 （ ）分析：本例要求准确理解相反数的定义，只有符号不同的两个数称互为相反数其中“只有”指的是除了符号不同以外完全相同解：（1） （） 符号相反的两个数不一定互为相反数，如“3”和“+5”虽然符号相反，但它们不是互为相反数（2） （）因为 0 的相反数是 0，但 0 既不是正数，也不是负数（3） （）相反数和我们以前学过的倒数是两种绝然不同的意义，互为相反数对符号提出了要求，但倒数并没有此限定说明：对类似于本例的说理判断题，应注意特殊的数 0，注意 0 的相反数是本身例 3.求绝对值小于 5 的非负整数？分析：从数轴上看，绝对值等于 5 的数有5，绝对值小于 5 就是到原点的距离小于5，这样的整数有-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，而非负整数有 0，1，2，3，4解：绝对值小于 5 的非负整数是 0，1，2，3，4说明：理解绝对值的几何意义要注意，求绝对值符合某些条件的数时，不要漏掉 0 或负数
