1、2.3.2 抛物线的简单几何性质,新知探求,课堂探究,新知探求 素养养成,知识点一,问题1:类比椭圆、双曲线的几何性质,你认为可以讨论抛物线哪些几何性质? 答案:可以讨论抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质. 问题2:与椭圆、双曲线相比较,抛物线的几何性质有哪些不同? 答案:抛物线只有一条对称轴、一个顶点,它没有对称中心,抛物线的离心率是常数1.,抛物线的几何性质,梳理,(0,0),y=0,x=0,1,知识点二,梳理 已知AB是抛物线y2=2px(p0)的焦点弦,且A(x1,y1),B(x2,y2),点F是抛物线的焦点(如图),则有:,抛物线的焦点弦,梳理 设直线方程为y=kx+b
2、,抛物线方程为y2=2px(p0),两方程联立并消去y得k2x2+2(kb-p)x+b2=0. (1)当k=0时,直线与抛物线的对称轴平行(b=0时重合),直线与抛物线有一个交点; (2)当k0时,若0,直线与抛物线有两个不同的交点;若=0,直线与抛物线相切,有一个公共点; 若0,直线与抛物线相离,没有公共点.,知识点三,直线与抛物线的位置关系,名师点津:抛物线的几何性质,只要与椭圆、双曲线加以对照,很容易把握,但由于抛物线的离心率等于1.,题型一,抛物线的几何性质,课堂探究 素养提升,【例1】 已知正三角形AOB的一个顶点O位于坐标原点,另外两个顶点A,B在抛物线y2=2px(p0)上,求这
3、个三角形的边长.,方法技巧 若等腰三角形的顶点是抛物线的顶点,另外两个顶点在抛物线上,则这两个顶点关于抛物线的对称轴对称.,即时训练1:等腰RtABO内接于抛物线y2=2px(p0),O为抛物线的顶点,OAOB,则ABO的面积是( ) (A)8p2 (B)4p2 (C)2p2 (D)p2,题型二,直线与抛物线的位置关系,【例2】 已知直线l:y=k(x+1)与抛物线C:y2=4x.问:k为何值时,直线l与抛物线C有两个交点、一个交点、无交点?,方法技巧 探究直线和抛物线的位置关系时,由于消元后所得的方程中含参数,因此要注意分二次项系数为0和不为0两种情况讨论,然后再对判别式进行讨论.,题型三,
4、抛物线的焦点弦,【例3】 (2018包头高二检测)已知抛物线C:y2=4x,F是抛物线C的焦点,过点F的直线l与C相交于A,B两点,O为坐标原点. (1)如果l的斜率为1,求以AB为直径的圆的方程;,(2)设|FA|=2|BF|,求直线l的方程.,方法技巧 有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p(焦点在x轴正半轴),若不过焦点,则必须用弦长公式.,即时训练2:(2018河北高二质检)如图所示,O为坐标原点,过点P(2,0),且斜率为k的直线l交抛物线y2=2x于M(x1,y1),N(x2,y2)两点. (1)求x1x2
5、与y1y2的值;,(2)求证:OMON.,题型四,抛物线中的定点、定值问题,【例4】(2018长春高二检测)已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得弦MN的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C的方程;,(2)已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是PBQ的角平分线,证明直线l过定点.,方法技巧 (1)圆锥曲线中定点问题的两种解法 引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点. 特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关. (2)圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
6、求代数式为定值.依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值. 求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得. 求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.,【备用例2】 设抛物线C:y2=4x,F为C的焦点,过F的直线l与C相交于A,B两点. (1)设l的斜率为1,求|AB|的大小;,题型五,易错辨析对直线与抛物线的公共点认识不清致误,错解:选A 纠错:只考虑斜率存在的情况,忽视斜率不存在及直线平行于抛物线对称轴时的两种情形. 正解:易知过点(0,1),斜率不存在的直线为x=0
7、,满足与抛物线y2=4x只有一个公共点.当斜率存在时,设直线方程为y=kx+1,再与y2=4x联立整理得k2x2+(2k-4)x+1=0,当k=0时,方程是一次方程,有一个解,满足一个交点;当k0时,由=0可得k值有一个,即有一个公共点,所以满足题意的直线有3条.故选C.,【例5】 过点(0,1)且与抛物线y2=4x只有一个公共点的直线有( ) (A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)0条,学霸经验分享区 直线与抛物线的位置关系的常见类型及解题策略 (1)求线段长度和线段之积(和)的最值.可依据直线与抛物线相交,依据弦长公式,求出弦长或弦长关于某个量的函数,然后利用基本不等式或利用函数的知识,求函数的最值;也可利用抛物线的定义转化为两点间的距离或点到直线的距离. (2)求直线方程.先寻找确定直线的两个条件,若缺少一个可设出此量,利用题设条件寻找关于该量的方程,解方程即可. (3)求定值.可借助于已知条件,将直线与抛物线联立,寻找待定式子的表达式,化简即可得到.,谢谢观赏！,
