1、本讲整合,答案：证明整除问题 证明几何问题 伯努利不等式,专题一,专题二,专题一:对数学归纳法原理及步骤的理解 1.数学归纳法的证明过程共有两步,缺一不可,其中,第一步是奠基,第二步是假设与递推. 2.第一步是证明n取第一个可取值时命题成立,但不一定就是n=1. 3.第二步证明过程中,必须用上归纳假设,否则就不是用数学归纳法证明.,专题一,专题二,例1用数学归纳法证明“对于任意x0的实数,以及正整数n,都有xn+xn-2+xn-4+ n+1”时,需验证的使命题成立的最小正整数值n0应为 ( ) A.n0=1 B.n0=2 C.n0=1,2 D.以上答案均不正确 分析：根据n的取值条件以及不等式
2、是否成立进行确定. 解析：由于nN+,则n的最小值为n0=1. 答案：A,专题一,专题二,变式训练1 某个命题与正整数有关,如果当n=k时,该命题不成立,那么可推得当n=k+1时命题也不成立,现在当n=5时,该命题成立,那么可推得( ) A.当n=6时该命题不成立 B.当n=6时该命题成立 C.当n=4时该命题不成立 D.当n=4时该命题成立 解析：依题意当n=4时该命题不成立,则当n=5时,该命题也不成立.而当n=5时,该命题成立却无法判断n=6时该命题是不是成立,故选D. 答案：D,专题一,专题二,专题二:数学归纳法的应用分析：注意到这是与正整数n有关的命题,可考虑用数学归纳法证明.,专题
3、一,专题二,专题一,专题二,变式训练2 求证:2n+2n2,nN+. 证明：(1)当n=1时,左边=21+2=4;右边=1,左边右边; 当n=2时,左边=22+2=6,右边=22=4,所以左边右边; 当n=3时,左边=23+2=10,右边=32=9,所以左边右边. 因此当n=1,2,3时,不等式成立. (2)假设当n=k(k3)时不等式成立,即2k+2k2. 当n=k+1时, 2k+1+2=22k+2=2(2k+2)-22k2-2=k2+2k+1+k2-2k-3=(k2+2k+1)+(k+1)(k-3)k2+2k+1=(k+1)2. 所以2k+1+2(k+1)2. 故当n=k+1时,不等式成立
4、. 由(1)(2)可知,不等式2n+2n2对于任何nN+都成立.,专题一,专题二,例3已知y=f(x)满足f(n-1)=f(n)-lg an-1(n2,nN),且f(1)=-lg a,是否存在实数,使f(n)=(n2+n-1)lg a,对任意nN+都成立?证明你的结论. 分析：可先根据f(1),f(2)的值,建立关于,的方程组,求得,的值,然后再利用数学归纳法证明结论. 解：由已知得f(n)=f(n-1)+lg an-1. 令n=2,f(2)=f(1)+lg a=-lg a+lg a=0. 又f(1)=(-1)lg a,专题一,专题二,专题一,专题二,变式训练3 设Pn=(1+x)n,Qn=1
5、+nx+ x2,nN+,x(-1,+),试比较Pn与Qn的大小,并加以证明.,解：(1)当n=1,2时,Pn=Qn. (2)当n3时, 若x(0,+),显然有PnQn; 若x=0,则Pn=Qn; 若x(-1,0),则P3-Q3=x30,所以P3Q3. P4-Q4=4x3+x4=x3(4+x)0,所以P4Q4. 猜想当k3时,PkQk.用数学归纳法证明如下. 当k=3时,P3Q3成立. 假设当k=m时不等式成立,即PmQm. 当k=m+1时,Pm+1=(1+x)Pm(1+x)Qm,专题一,专题二,即当k=m+1时,不等式成立. 所以当n3,且x(-1,0)时,PnQn.,1,2,3,4,考点:数
6、学归纳法的应用 1.(2017浙江高考)已知数列xn满足:x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(nN+).证明:当nN+时, (1)0xn+1xn;,解：(1)用数学归纳法证明:xn0. 当n=1时,x1=10, 假设n=k时,xk0, 那么n=k+1时,若xk+10, 则00. 因此xn0(nN+).所以xn=xn+1+ln(1+xn+1)xn+1. 因此0xn+1xn(nN+).,1,2,3,4,(2)由xn=xn+1+ln(1+xn+1)得,1,2,3,4,1,2,3,4,2.(2015安徽高考)设nN+,xn是曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标.
7、(1)求数列xn的通项公式;(1)解：y=(x2n+2+1)=(2n+2)x2n+1,曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线斜率为2n+2, 从而切线方程为y-2=(2n+2)(x-1). 令y=0,解得切线与x轴交点的横坐标xn=,1,2,3,4,1,2,3,4,解：(1)f(x)的定义域为(-,+),f(x)=1-ex. 当f(x)0,即x0时,f(x)单调递减. 故f(x)的单调递增区间为(-,0),单调递减区间为(0,+). 当x0时,f(x)f(0)=0,即1+xex.,1,2,3,4,下面用数学归纳法证明. ()当n=1时,左边=右边=2,成立.,1,2,3,4,所以当n=k+1时,也成立. 根据()(),可知对一切正整数n都成立.,1,2,3,4.(2014陕西高考节选)设函数f(x)=ln(1+x),g(x)=xf(x),x0,其中f(x)是f(x)的导函数.令g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x),nN+,求gn(x)的表达式.,4,
