1、第二十二章 二次函数,本章知识梳理,考纲要求,1. 通过对实际问题情境的分析，体会二次函数的意义. 2. 会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象了解二次函数的性质. 3. 会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a（x-h）2+k（a0）的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标、开口方向，画出图象的对称轴，并能解决简单实际问题. 4. 会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.,知识梳理,知识梳理,知识梳理,知识梳理,知识梳理,考点1 二次函数的定义、图像和性质,一、二次函数的定义 1. 下列函数中，y是关于x的二次函数的是（ ） A. y=x3+2x2+3 B. y= C. y=
2、x2+x D. y=mx2+x+1 2. 若函数y=（m-1）x2+3x+1是二次函数，则有 （ ） A. m0 B. m1 C. x0 D. x1,B,C,二、二次函数的图象 3. 二次函数y=-x2-2x+3的图象大致是（ ）,考点1 二次函数的定义、图像和性质,A,4. 函数y=ax2（a0）和y=-ax+b（a0）在同一坐标系中的图象可能为（ ）,考点1 二次函数的定义、图像和性质,D,三、二次函数的性质 5. 抛物线y=x2-4x-3的顶点坐标为（ ） A. （2，-7） B. （2，7） C. （-2，-7） D. （-2，7） 6. 下列关于抛物线y=-x2+2的说法正确的是（
3、） A. 抛物线开口向上 B. 顶点坐标为（-1，2） C. 在对称轴的右侧，y随x的增大而增大 D. 抛物线与x轴有两个交点,考点1 二次函数的定义、图像和性质,D,A,7. 当-4x2时，函数y=-（x+3）2+2的取值范围为（ ）A. -23y1 B. -23y2 C. -7y1 D. -34y2,考点1 二次函数的定义、图像和性质,B,8. 二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图M22-2所示，对于下列结论：a0；b0；c0；2a+b=0；a-b+c0，其中正确的有（ ）A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个,考点1 二次函数的定义、图像和性质,A,9. 对于抛物线y=
4、（x+1）2+3有以下结论：抛物线开口向下；对称轴为直线x=1；顶点坐标为（-1，3）；x1时，y随x的增大而减小. 其中正确结论有（ ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个,考点1 二次函数的定义、图像和性质,A,10. 如图M22-3，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+c（a0）的图象过正方形ABOC的三个顶点A，B，C，则ac的值是_.,考点1 二次函数的定义、图像和性质,-2,考点2 用待定系数法求二次函数的解析式,一、一般式 1. 抛物线y=ax2+bx+c经过（0，5），（2，2），（-8，-3）三点，求它的开口方向、对称轴和顶点坐标.,解：抛物线y=ax2+bx+
5、c经过（0，5），（2，2），（-8，-3）三点， c=5, 4a+2b+c=2, 64a8b+c=3. 解得a= ,b=1,c=5. y= x2-x+5= （x+2）2+6. 该抛物线的开口向下，对称轴是直线x=-2，顶点坐标为（-2，6）.,二、顶点式 2. 抛物线的顶点坐标为（1，3），且过点（2，1），求抛物线对应的二次函数表达式.,考点2 用待定系数法求二次函数的解析式,解：设抛物线的解析式为y=a（x-1）2+3，把（2，1）代入,得a（2-1）2+3=1. 解得a=-2. 所以抛物线的解析式为y=-2（x-1）2+3.,三、交点式 3. 已知二次函数图象经过点A（-3，0），B（
6、1，0），C（0，-3），求此二次函数的解析式.,考点2 用待定系数法求二次函数的解析式,解：设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x-1），把C（0，-3）代入,得a3 （-1）=-3. 解得a=1. 所以抛物线解析式为y=（x+3）（x-1），即y=x2+2x-3.,四、综合 4. 若抛物线y=-x2+bx+c经过点A（2，0）,B（0，2）. （1）求这条抛物线的解析式； （2）如图M22-4，点P是抛物线上一动点，连接BP，OP，若BOP是以BO为底边的 等腰三角形，求点P的坐标.,考点2 用待定系数法求二次函数的解析式,考点2 用待定系数法求二次函数的解析式,解：（1）将点A（2，0）
7、，B（0，2）代入y=-x2+bx+c，得4+2b+c=0,c=2.解得b=1,c=2. 这条抛物线的解析式为y=-x2+x+2. （2）BOP是以BO为底边的等腰三角形，且OB=2， 点P的纵坐标为1. 当y=1时，-x2+x+2=1. 解得x1= ，x2= 点P的坐标为 或,5. 如图M22-5，顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A，B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连接AM，BM. （1）求抛物线的函数关系式； （2）判断ABM的形状，并说明理由.,考点2 用待定系数法求二次函数的解析式,解：（1）点A为直线y=x+1与x轴的交点， A（-1，0）. 又点B的横坐标为2
8、，代入y=x+1，得y=3， B（2，3）. 抛物线顶点在y轴上， 可设抛物线的解析式为y=ax2+c. 把A,B两点坐标代入,得a+c=0,4a+c=3. 解得a=1,c=1. 抛物线的解析式为y=x2-1.,考点2 用待定系数法求二次函数的解析式,（2）ABM为直角三角形. 理由如下：由（1）知抛物线的解析式为y=x2-1，可得点M的坐标为（0，-1）， AM2=12+12=2，AB2=（2+1）2+32=18，BM2=22+（3+1）2=20. AM2+AB2=2+18=20=BM2. ABM为直角三角形.,考点2 用待定系数法求二次函数的解析式,考点3 二次函数与一元二次方程,一、抛物
9、线与坐标轴的交点 1. 若二次函数的解析式为y=2x2-4x+3，则函数图象与x轴交点的情况是（ ）A. 没有交点 B. 有一个交点 C. 有两个交点 D. 以上都不对,A,考点3 二次函数与一元二次方程,2. 已知二次函数y=x23x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x23x+m=0的两实数根是（ ）A. x1=1，x2=1 B. x1=1，x2=2 C. x1=1，x2=0 D. x1=1，x2=3,B,考点3 二次函数与一元二次方程,3. 如图M22-6，抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴的一个交点为（-2，0），对称轴为直线x=1，则y0时
10、x的取值范围是（ ）A. x4或x-2 B. -2x4 C. -2x3 D. 0x3,B,考点3 二次函数与一元二次方程,4. 已知抛物线y=a（x-1）（x-2）经过点（-1，3），利用其函数图象判断函数y的值大于0时，x的取值范围为（ ）A. x2或x1 B. 1x2 C. x-1或x-2 D. -2x-1,A,考点3 二次函数与一元二次方程,5. （2017镇江）若二次函数y=x2-4x+n的图象与x轴只有一个公共点，则实数n=_. 6. 抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图M22-7所示，则关于x的不等式ax2+bx+c+20的解集为_.,4,-4x2,考点3 二次函数与一元二次方
11、程,7. 已知，如图M22-8，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（-3，0），与y轴交于点C，点D（-2，-3）在抛物线上. （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴上有一动点P， 求出PA+PD的最小值； （3）若抛物线上有一动点M， 使ABM的面积为6，求点M的坐标.,考点3 二次函数与一元二次方程,解：（1）二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（-3，0），D（-2，-3）， 93b+c=0, 42b+c=3.解得b=2,c=3. 二次函数的解析式为y=x2+2x-3. （2）抛物线的对称轴是直线 x=-1，D（-2，-3），C（0，-3），
12、 C,D关于抛物线的对称轴直线x=-1对称，如答图M22-1所示，连接AC，与对称轴的交点就是点P,此时PA+PD=PA+PC=AC=,考点3 二次函数与一元二次方程,（3）设点M的坐标为（m，m2+2m-3）. 令y=0，即x2+2x-3=0.解得x=-3或x=1. 点B的坐标为（1，0）. AB=4. SMAB=6， =6. m2+2m=0或m2+2m=6. m=0或-2或-1+ 或-1- . 点P的坐标为（0，-3）或（-2，-3）或（-1+ ，3）或（-1- ，3）.,考点3 二次函数与一元二次方程,二、图象法求一元二次方程的近似根 8. （2017兰州）下表是一组二次函数y=x2+3
13、x-5的自变量x与函数值y的对应值：那么方程x2+3x-5=0的一个近似根是（ ） A. 1 B. 1.1 C. 1.2 D. 1.3,C,考点4 实际问题与二次函数,一、图形面积问题 1. 如图M22-9，在矩形ABCD中，AB=6 cm，BC=12 cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，如果P，Q两点同时出发，分别到达B，C两点后就停止移动. 设PQD的面积为S，点移动的时间为x（x0）s.,考点4 实际问题与二次函数,（1）求S关于x的函数表达式及自变量x的取值范围； （2）经过多少时间，PQD的面积最小？
14、,解：（1）根据题意,得AP=x，BQ=2x，则 BP=6-x，CQ=12-2x， SPQD=S矩形ABCD-SAPD-SPBQ-SCDQ=126- 12x- 2x（6-x）- 6（12-2x）=x2-6x+36. S=x2-6x+36（0x6）. （2）S=x2-6x+36=（x-3）2+27， 当x=3时，S最小,即经过3 s时，PQD的面积最小.,二、商品利润问题 2. 为满足市场需求，某超市在五月初五端午节来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，超市规定每盒售价不得少于45元. 根据以往销售经验发现：当售价定为每盒45元时，每天可卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20
15、盒. （1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；,考点4 实际问题与二次函数,（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？,考点4 实际问题与二次函数,解：（1）由题意,得y=700-20（x-45）=-20x+1 600. （2）P=（x-40）（-20x+1 600）=-20x2+2 400x-64 000=-20（x-60）2+8 000， x45，a=-200， 当x=60时，P最大值=8 000（元）， 即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P最大，最大利润是8 000元.,三、实物抛物线问题 3. 如图M22-10，铅球运动
16、员掷铅球的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式是y= ，则该运动员此次掷铅球的成绩是（ ）A. 6 m B. 12 m C. 8 m D. 10 m,考点4 实际问题与二次函数,D,4. （2017德州）随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池，如图M22-11，在水池中心竖直安装了一根高为2 m的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，水柱落地处离池中心3 m. （1）请你建立适当的平面直角坐标系， 并求出水柱抛物线的函数解析式； （2）求出水柱的最大高度.,考点4 实际问题与二次函数,考点4 实际问题与二次函数,解：（1）如答图M22-2所示,以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系. 设抛物线的解析式为y=a（x-1）2+h，代入（3，0）和（0，2），得4a+h=0,a+h=2. 解得a= ,h= . 抛物线的解析式为y= （x-1）2+ , 即y= x2+ x+2（0x3）. （2）由y= （x-1）2+ （0x3），得当x=1时，y= ，即水柱的最大高度为 m.,
