1、1.1.2 类比推理,鲁班给铁皮加上齿制成了锯，便于切割。 对我们的启发： 最早的餐刀和水果刀相似，怎样对餐刀进行改造？,加上齿,可能有生命存在,有生命存在,温度适合生物的生存,一年中有四季的变更,有大气层,行星、围绕太阳运行、绕轴自转,火星,地球,火星上是否存在生命,火星与地球类比的思维过程：,火星,地球,存在类似特征,由两类对象具有某些类似特征和其中 一类对象的某些已知特征,推出另一类对 象也具有这些特征的推理称为类比推理.,类比推理,即：类比推理是由特殊到特殊的推理,类比推理的一般步骤：,观察、比较,联想、类推,猜想新结论,“没有大胆的猜测就没有伟大的发明”牛顿,问题：有学生根据等式的性
2、质类比不等式的性质。,等式的性质： (1) a=ba+c=b+c; (2) a=b ac=bc; (3) a=ba2=b2;等等。,类比不等式的性质：,(1) aba+cb+c;,(2) ab acbc;,(3) aba2b2;等等。,问：这样猜想出的结论是否一定正确？,“类比是一个伟大的引路人,求解立体几何往往有赖于平面几何的类比问题.”数学家波利亚,探究,球心与截面圆(不经过球心的截面圆) 的圆心连线垂直于截面圆.,与球心距离相等的两截面圆面积相等;与球心距离不等的两截面圆面积不等,距球心较近的截面圆面积较大.,以点P(x0,y0,z0)为球心,r为半径的球的方程为 (x-x0)2+(y-
3、y0)2+(z-z0)2=r2.,例3.半径为r的圆的面积 ，周长 若将r看作 上的变量，则 ，式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R的球，若将R看 作 上的变量，请你写出 类似于的式子： _，式可用语言叙述为_ _,球的体,积函数的导数等于球的表面积函数。,例5：类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想,例6:已知三角形的面积为 其中a、b、c 为三角形边长，r 为内切圆的半径。利用类比推理写出四面 体的体积公式。,练习1：正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值。,正四面体内任意一点到四个面的距离之和是一个定值。,类比推理的特点：,1.由特
4、殊到特殊的推理；,2.以旧的知识为基础,推测新的结果，具有发现的功能。,3.类比推理的结论不一定成立。,“每当理智缺乏可靠论证的思路时， 类比这个方法往往指引我们前进。” 康德,类比推理,由特殊到特殊的推理;,以旧的知识为基础,推测新的结果；,结论不一定成立.,归纳推理,由部分到整体、特殊到一般的推理;,以观察分析为基础,推测新的结论;,具有发现的功能;,结论不一定成立.,具有发现的功能;,归纳推理和类比推理的过程：,通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.,小结：,对这两种推理在数学活动中的作用，著名的数学教育家 G 波利亚作了精辟的论述：“数学的创造过程与任何其他知识的创造过程一样，在证明一个数学定理之前，先得猜测这个定理的内容；在完成详细的证明之前，先得推测证明的思路创造过程是一个艰苦曲折的过程数学家创造性的工作是论证推理，即证明但这个证明是通过合情推理、通过猜想而发现的”,练习2：计算机中常用的十六进位制是逢进的计算制，采用数字-和字母-共个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表；,例如用进位制表示+，则（ ）,E ,
