1、第二章 函数 2.4 指数与指数函数,高考理数,考点一 指数幂的运算1.指数幂的概念 (1)根式 如果一个数的n次方等于a(n1且nN*),那么这个数叫做a的n次方根.也 就是说,若xn=a,则x叫做a的n次方根,其中n1且nN*.式子 叫做根式, 这里n叫做根指数,a叫做被开方数. (2)根式的性质 (i)当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数, 这时,a的n次方根用符号 表示.,2.4 指数与指数函数,知识清单,根可以合写为 (a0). (iii)( )n=a(注意a必须使 有意义). (iv)当n为奇数时, =a; 当n为偶数时, =|a|= (v)负数没有偶次
2、方根. (vi)零的任何次方根都是零. 2.有理指数幂 (1)分数指数幂的表示 (i)正数的正分数指数幂:= (a0,m,nN*,n1).,(ii)当n为偶数时,正数的n次方根有两个,它们互为相反数,这时,正数的正 的n次方根用符号 表示,负的n次方根用符号- 表示.正负两个n次方,(ii)正数的负分数指数幂:= = (a0,m,nN*,n1). (iii) 0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义. (2)有理指数幂的运算性质 (i)aras=ar+s(a0,r,sQ). (ii)(ar)s=ars(a0,r,sQ). (iii)(ab)r=arbr(a0,b0,rQ).,考点二 指数函
3、数的图象及性质,拓展延伸 1.单调性是指数函数的重要性质,特别是函数图象的无限伸展性,x轴是函数图象的渐近线.当01时,x-,y0; 当a1时,a的值越大,图象越靠近y轴,递增的速度越快;当00且a1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a)、(0,1)、 . 3.熟记指数函数y=10x,y=2x,y= ,y= 在同一坐标系中图象的相对 位置,由此掌握指数函数图象的位置与底数大小的关系. 4.指数函数y=ax,y=bx,y=cx,y=dx在同一直角坐标系中的图象如图所示,则0cd1ab.,在y轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小; 在y轴左侧,图象从下到上相应的底数由大变小. (无论是在y轴的左
4、侧还是右侧,底数按逆时针方向变大) 5.指数函数y=ax与y= (a0且a1)的图象关于y轴对称.,指数函数的图象及其应用 1.对于指数型复合函数的图象问题,一般从最基本的指数函数的图象入 手,通过平移、伸缩、对称变换而得到. 2.对于图象问题的选择题,可以考虑特值法. 3.需特别注意底数a1与0b)的图象如 图所示,则函数g(x)=ax+b的图象是 ( C ),方法技巧,解题导引 由f(x)图象知a1,-1b0 得g(x)为增函数 比较g(0) 与0的大小 结合指数函数图象 找正确选项,解析 由函数f(x)的图象可知,-11,则g(x)=ax+b为增函数,当x=0 时,g(0)=1+b0,故
5、选C.,方法点拨 (1)与指数函数有关的函数图象的研究,往往利用特殊点 法、图象变换等方法. (2)一些指数方程、指数型不等式问题的求解,往往利用相应的指数型 函数图象数形结合求解.,指数函数的性质及其应用 1.与指数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法 (1)函数y=af(x)(a0,且a1)的定义域与y=f(x)的定义域相同; (2)先确定f(x)的值域,再根据指数函数的单调性可确定y=af(x)(a0,且a1)的值域. 2.与指数函数有关的复合函数的单调性 利用复合函数的单调性判断形如y=af(x)(a0,且a1)的函数的单调性.若a1,则函数y=f(x)的单调增(减)区间即为y=af
6、(x)的单调增(减)区间;若0a1,则函数y=f(x)的单调增(减)区间即为函数y=af(x)的单调减(增)区间. 3.与指数函数有关的复合函数的最值问题,往往转化为二次函数的最值 问题.,例2 (2017广东深圳三校联考,18)已知函数f(x)= ,a为常数,且函数 的图象过点(-1,2). (1)求a的值; (2)若g(x)=4-x-2,且g(x)=f(x),求满足条件的x的值.,解题导引 (1)f(x)的图象过 定点(-1,2) 解指数方程 得a的值 (2)由g(x)=f(x)及(1)得 - -2=0 令 =t(t0),换元解关于t的方 程 求x的值,解析 (1)由已知得 =2,解得a=1. (2)由(1)知f(x)= , 又g(x)=f(x),则4-x-2= ,即 - -2=0, 即 - -2=0,令 =t,则t0, 原方程化为t2-t-2=0,即(t-2)(t+1)=0, 又t0,故t=2,即 =2,解得x=-1, 故满足条件的x的值为-1.,
