1、第六章 数列 6.1 数列的概念及其表示法,高考理数,考点 数列的概念及其表示 1.数列的概念 按照一定顺序排列的一列数称为数列,其中的每一个数叫做这个数列的项. 2.数列的分类,知识清单,3.数列的表示法 (1)列举法:a1,a2,a3,an,; (2)图象法:数列可用一群孤立的点表示; (3)解析法(公式法):通项公式或递推公式. 4.数列与函数的关系 从函数观点看,数列可以看成以N*(或它的有限子集)为定义域的函数an= f(n),当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值.反 之,对于函数y=f(x),如果f(i)(i=1,2,3,)有意义,那么我们可以得到一个数 列f(
2、1),f(2),f(3),f(n),5.数列的确定 (1)递推公式的定义 如果已知数列an的 第一项 (或 前几项 ),且从第二项(或第 k+1项,kN*)起的任何一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以 用一个式子来表示,那么这个式子叫做数列an的递推公式. (2)通项公式 如果数列an的第n项an与 序号n 之间的关系可以用一个式子来 表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式. (3)前n项和公式 Sn=a1+a2+an称为数列an的前n项和,由Sn可求出通项公式an.已知Sn, 则an=,1.数列的通项an与前n项和Sn的关系是: an= 2.由Sn求an时,要分n=1和n2
3、两种情况讨论,然后验证两种情况能否用 统一的式子表示,若不能,则分段表示为an= 例1 (2017广东湛江一中等四校第一次联考,14)已知数列an的前n项 和为Sn,且a1=1,an+1=2Sn,则数列an的通项公式为 .,利用Sn与an的关系求通项公式,方法技巧,解析 当n2时,an=2Sn-1, an+1-an=2Sn-2Sn-1=2an, 即an+1=3an, 数列an的第2项及以后各项构成等比数列,a2=2a1=2,公比为3,an=2 3n-2,n2, 当n=1时,a1=1, 数列an的通项公式为an=,答案 an=,易错警示 利用an=Sn-Sn-1求通项时,应注意n2这一前提条件.
4、,若p=r,则 是等差数列,且公差为 ,可用等差数列的通项公式求 , 进而求an; 若pr,则采用(3)的方法来求 ,进而求an. (5)形如an+2=pan+1+qan(p+q=1),常用构造等比数列法. 将an+2=pan+1+qan变形为an+2-an+1=(-q)(an+1-an),则an-an-1(n2,nN*)是等 比数列,且公比为-q,可以求得an-an-1=f(n)(n2,nN*),然后用累加法求an.,例2 (2017湖北武汉四月调研,7)已知数列an满足a1=1,a2= ,若an(an-1+ 2an+1)=3an-1an+1(n2,nN*),则数列an的通项an= ( B
5、) A. B. C. D.,解题导引,解析 由an(an-1+2an+1)=3an-1an+1(n2,nN*), 可得 - =2 ,- =3-1=2, 数列 是首项为2,公比为2的等比数列, - =2n. = + + + =2n-1+2n-2+2+1= = 2n-1. an= .故选B.,1.作差比较法:an+1-an0数列an是单调递增数列;an+1-an0时, 1数列an是单调递增数列; 1数列an是单调递减数列; 1数列an是单调递 增数列; =1数列an是常数列. 3.结合相应函数的图象直观判断数列的单调性. 例3 (2017湖南湘潭高考数学三模,16)数列an满足a1+a2+a3+a
6、n=2n-,数列的单调性和最大(小)项,an(nN*),数列bn满足bn= (an-2),则bn中的最大项的值是 .,解析 由a1+a2+a3+an=2n-an,得Sn=2n-an,取n=1,求得a1=1, 由Sn=2n-an,得Sn-1=2(n-1)-an-1(n2), 两式作差得an=2-an+an-1,2an=an-1+2, 即an-2= (an-1-2)(n2). 又a1-2=-10,数列an-2是以 为公比的等比数列, 则an-2=-1 , 则bn= (an-2)= = , 当n=1时,b1=- ,当n=2时,b2=0,当n=3时,b3= , 当n=4时,b4= ,而当n4时,bn0, = = bn+1, b1b5, bn中的最大项的值是 . 故答案为 .,答案,
