1、1课时训练(二十一) 矩形、菱形、正方形(限时:45 分钟)|夯实基础 |1.如果菱形的两条对角线的长分别为 1 和 4,那么菱形的面积等于 . 2.如图 K21-1,在矩形 ABCD 中, ABC 的平分线交 AD 于点 E,连接 CE.若 BC=7,AE=4,则 CE= . 图 K21-13.2018广州 如图 K21-2,若菱形 ABCD 的顶点 A,B 的坐标分别为(3,0),( -2,0),点 D 在 y 轴上,则点 C 的坐标是 .图 K21-24.将一张矩形纸片折叠成如图 K21-3 所示的图形,若 AB=6 cm,则 AC= cm. 2图 K21-35.2018天水 如图 K2
2、1-4 所示,菱形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O.若 AC=6,BD=8,AE BC,垂足为 E,则 AE 的长为 .图 K21-46.2018武汉 以正方形 ABCD 的边 AD 为边作等边三角形 ADE,则 BEC 的度数是 . 7.2017兰州 如图 K21-5,矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O, ADB=30,AB=4,则 OC= ( )图 K21-5A.5 B.4 C.3.5 D.38.2018内江 如图 K21-6,将矩形 ABCD 沿对角线 BD 折叠,点 C 落在点 E 处, BE 交 AD 于点 F,已知 BDC=62,则 DFE 的度数
3、为 ( )图 K21-6A.31 B.28 C.62 D.5639.2017广安 下列说法:四边相等的四边形一定是菱形;顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形;对角线相等的四边形一定是矩形;经过平行四边形对角线交点的直线,一定能把平行四边形分成面积相等的两部分 .其中正确的个数是 ( )A.4 B.3 C.2 D.110.2018白银 如图 K21-7,点 E 是正方形 ABCD 的边 DC 上一点,把 ADE 绕点 A 顺时针旋转 90到 ABF 的位置 .若四边形 AECF 的面积为 25,DE=2,则 AE 的长为 ( )图 K21-7A.5 B. C.7 D.23 2911.20
4、15昆明 如图 K21-8,在菱形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,有下列结论: AC BD; OA=OB; ADB= CDB; ABC 是等边三角形 .其中一定成立的是( )图 K21-8A. B.C. D.12.2018天津 如图 K21-9,在正方形 ABCD 中, E,F 分别为 AD,BC 的中点, P 为对角线 BD 上的一个动点,则下列线段的长等于 AP+EP 最小值的是 ( )4图 K21-9A.AB B.DEC.BD D.AF13.2018内江 如图 K21-10,已知四边形 ABCD 是平行四边形,点 E,F 分别是 AB,BC 上的点, AE=CF,并且
5、AED= CFD.求证:(1) AED CFD;(2)四边形 ABCD 是菱形 .图 K21-10514.2017徐州 如图 K21-11,在平行四边形 ABCD 中,点 O 是边 BC 的中点,连接 DO 并延长,交 AB 的延长线于点 E.连接 BD,EC.(1)求证:四边形 BECD 是平行四边形;(2)若 A=50,则当 BOD= 时,四边形 BECD 是矩形 . 图 K21-116|拓展提升 |15.2018温州 我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形,得到一个恒等式 .后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理,如图 K
6、21-12 所示的矩形由两个这样的图形拼成,若 a=3,b=4,则该矩形的面积为 ( )图 K21-12A.20 B.24 C. D.994 53216.已知:如图 K21-13,E 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上的点,连接 AE,CE.(1)求证: AE=CE;(2)若将 ABE 沿 AB 翻折后得到 ABF,当点 E 在 BD 的何处时,四边形 AFBE 是正方形?请证明你的结论 .图 K21-1378参考答案1.2 2.53.(-5,4)4.6 解析 如图,延长原矩形的边,矩形的对边平行,1 = ACB,由折叠的性质得,1 = ABC, ABC= ACB, AC=AB, AB=6
7、 cm, AC=6 cm.故答案为 6.5. 解析 四边形 ABCD 是菱形, AB=BC,AC BD,AO=OC=3,BO=OD=4.在 Rt ABO 中, AB=5, BC=5.S245ABC= ACBO= BCAE,即 AE= .12 12 2456.30或 150 解析 如图, ADE 是等边三角形, DE=DA, DEA=1 =60.四边形 ABCD 是正方形, DC=DA,2 =90. CDE=150,DE=DC,3 = (180-150)=15.同理可求得4 =15.12 BEC=30.9如图, ADE 是等边三角形, DE=DA,1 =2 =60.四边形 ABCD 是正方形,
8、DC=DA, CDA=90. DE=DC,3 =30,4 = (180-30)=75.同理可求得5 =75. BEC=360245 =150.12故答案为 30或 150.7.B8.D 解析 四边形 ABCD 为矩形, ADC=90, BDC=62, ADB=90-62=28. AD BC, ADB= CBD,根据题意可知 EBD= CBD, EBD= ADB=28, DFE= ADB+ EBD=56.9.C10.D 解析 ADE 绕点 A 顺时针旋转 90到 ABF 的位置, ADE ABF, S 正方形 ABCD=S 四边形 AECF=25,正方形的边长 AD=CD=5.在 Rt ADE
9、中, AE= = = .2+2 52+22 2911.D 解析 根据菱形的对角线互相垂直平分可得正确,错误;根据菱形的对角线平分一组对角可得正确,错误 .12.D 解析 取 CD 中点 E,连接 AE,PE,10由正方形的轴对称的性质可知 EP=EP,AF=AE, AP+EP=AP+EP, AP+EP 的最小值是 AE,即 AP+EP 的最小值是 AF.故选 D.13.证明:(1)四边形 ABCD 是平行四边形, A= C,在 AED 和 CFD 中, =,=,=, AED CFD(ASA).(2)由(1)得 AED CFD, AD=DC,四边形 ABCD 是平行四边形,四边形 ABCD 是菱
10、形 .14.解:(1)证明:平行四边形 ABCD, AE DC, EBO= DCO, BEO= CDO,点 O 是边 BC 的中点, BO=CO, EBO DCO(AAS), EO=DO,四边形 BECD 是平行四边形 .(2)若四边形 BECD 为矩形,则 BC=DE,BD AE,又 AD=BC, AD=DE.11根据等腰三角形的性质,可知 ADB= EDB=40,故 BOD=180- ADE=100.15.B 解析 设矩形的两条边长为 x,y(xy),对角线是 a+b=7,所以 x2+y2=49,再利用“勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形”得 x-y=1.用完全平方公式得( x-
11、y)2=1,x2-2xy+y2=1,49-2xy=1,-2xy=-48,所以 xy=24,即矩形的面积为 24.所以选 B.16.解:(1)证明:四边形 ABCD 是正方形, AB=CB, ABE= CBE=45,在 ABE 和 CBE 中, =,=,=, ABE CBE(SAS), AE=CE.(2)当点 E 在 BD 的中点时,四边形 AFBE 是正方形,证明如下:由折叠的性质得: F= AEB,AF=AE,BF=BE, BAD=90,E 是 BD 的中点, AE= BD=BE=DE,12 AE=BE=AF=BF,四边形 AFBE 是菱形, E 是 BD 中点, E 是正方形 ABCD 对角线的交点, AE BD, AEB=90,四边形 AFBE 是正方形 .12
