1、1课时训练(二十五) 矩形、菱形|夯实基础|1.如图 25-11,矩形 ABCD中对角线 AC,BD相交于点 O,E是 AD的中点,连接 OE.若 OE=3,AD=8,则对角线 AC的长为( )图 25-11A.5 B.6 C.8 D.102.2017兰州 如图 25-12,矩形 ABCD的对角线 AC与 BD相交于点 O, ADB=30,AB=4,则 OC的长是( )图 25-12A.5 B.4 C.3.5 D.33.2017包头样题三 如图 25-13,矩形 ABCD的对角线 AC,BD相交于点 O,CE BD,DE AC.若 AC=4,则四边形CODE的周长是( )图 25-13A.4
2、B.6 C.8 D.124.如图 25-14,已知某菱形花坛 ABCD的周长是 24 m, BAD=120,则花坛对角线 AC的长是 ( )2图 25-14A.6 m B.6 m3C.3 m D.3 m35.如图 25-15,菱形 ABCD的对角线 AC,BD相交于点 O,E,F分别是 AB,BC边的中点,连接 EF.若 EF= ,BD=4,则菱形3ABCD的周长为( )图 25-15A.4 B.4 C.4 D.286 76.2017临沂 如图 25-16,在 ABC中, D是边 BC上的点(与 B,C两点不重合),过点 D作 DE AC,DF AB,分别交AB,AC于 E,F两点,下列说法正
3、确的是 ( )图 25-16A.若 AD BC,则四边形 AEDF是矩形B.若 AD垂直平分 BC,则四边形 AEDF是矩形C.若 BD=CD,则四边形 AEDF是菱形D.若 AD平分 BAC,则四边形 AEDF是菱形7.2017绵阳 如图 25-17,矩形 ABCD的对角线 AC与 BD相交于点 O,过点 O作 BD的垂线分别交 AD,BC于 E,F两点 .若 AC=2 , AEO=120,则 FC的长度为 ( )33图 25-17A.1 B.2 C. D.2 38.2016包头样题 如图 25-18,在菱形 ABCD中, AB=5,对角线 AC=6.若过点 A作 AE BC,垂足为 E,则
4、 AE的长为( )图 25-18A.4 B. C. D.5125 2459.2018衢州 如图 25-19,将矩形 ABCD沿 GH折叠,点 C落在点 Q处,点 D落在 AB边上的点 E处 .若 AGE=32,则 GHC等于 ( )图 25-19A.112 B.110C.108 D.10610.2018包头一模 如图 25-20,在一张长为 6 cm,宽为 6 cm的矩形纸片中,有甲、乙两种折叠方案,均折叠3出菱形 ABCD,则这两种方案中,折叠出的菱形面积较大的是 ( )图 25-204A.方案甲 B.方案乙C.两个方案一样 D.无法比较11.2017淮安 如图 25-21,在矩形纸片 AB
5、CD中, AB=3,点 E在边 BC上,将 ABE沿直线 AE折叠,点 B恰好落在对角线 AC上的点 F处 .若 EAC= ECA,则 AC的长是 ( )图 25-21A.3 B.63C.4 D.512.2017乌鲁木齐 如图 25-22,在矩形 ABCD中,点 F在 AD上,点 E在 BC上,把这个矩形沿 EF折叠后,使点 D恰好落在 BC边上的点 G处 .若矩形 ABCD的面积为 4 且 AFG=60,GE=2BG,则折痕 EF的长为 ( )3图 25-22A.1 B. 3C.2 D.2 313.2017内江 如图 25-23,在矩形 AOBC中, O为坐标原点, OA,OB分别在 x轴、
6、 y轴上,点 B的坐标为(0,3 ),3 ABO=30,将 ABC沿 AB所在直线对折后,点 C落在点 D处,则点 D的坐标为 ( )图 25-23A.( , ) B.(2, )3232 3 32 35C.( , ) D.( ,3- ) 32 332 32 32 314.2018葫芦岛 如图 25-24,在菱形 ABCO中,点 B在 x轴上,点 A的坐标为(2,3),则点 C的坐标为 . 图 25-2415.如图 25-25,在菱形 ABCD中, E,F分别是 AD,BD的中点,若 EF=2,则菱形 ABCD的周长是 . 图 25-2516.如图 25-26,已知菱形 ABCD的两条对角线长分
7、别为 AC=8和 BD=6,那么菱形 ABCD的面积为 . 图 25-2617.2017昆区二模 如图 25-27,菱形 ABCD的边长为 8 cm, A=60,DE AB于点 E,DF BC于点 F,则四边形BEDF的面积为 cm2. 图 25-2718.2016包头 如图 25-28,在矩形 ABCD中,对角线 AC与 BD相交于点 O,过点 A作 AE BD,垂足为 E,若 EAC=2 CAD,则 BAE= . 6图 25-2819.2017包头样题三 如图 25-29,在菱形 ABCD中, AB=2, BAD=60,E是 AB的中点, P是对角线 AC上一动点,则 PBE周长的最小值为
8、 . 图 25-2920.2018连云港 如图 25-30,在矩形 ABCD中, E是 AD的中点,延长 CE,BA交于点 F,连接 AC,DF.(1)求证:四边形 ACDF是平行四边形;(2)当 CF平分 BCD时,写出 BC与 CD之间的数量关系,并说明理由 .图 25-30721.2018青岛 已知:如图 25-31,在 ABCD中,对角线 AC与 BD相交于点 E,G为 AD的中点,连接 CG,CG的延长线交 BA的延长线于点 F,连接 FD.(1)求证: AB=AF;(2)若 AG=AB, BCD=120,判断四边形 ACDF的形状,并证明你的结论 .图 25-31822.2018内
9、江 如图 25-32,已知四边形 ABCD是平行四边形, E,F分别是 AB,BC上的点, AE=CF,并且 AED= CFD.求证:(1) AED CFD;(2)四边形 ABCD是菱形 .图 25-32923.如图 25-33,在 ABC中, C=90, B=30,AD是 ABC的角平分线, DE BA交 AC于点 E,DF CA交 AB于点 F,已知 CD=3.(1)求 AD的长;(2)求四边形 AEDF的周长 .(计算过程和结果均保留根号)图 25-3324.如图 25-34,在 Rt ABC中, B=90,BC=5 , C=30.点 D从点 C出发沿 CA方向以每秒 2个单位长度的速3
10、度向点 A匀速运动,同时点 E从点 A出发沿 AB方向以每秒 1个单位长度的速度向点 B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动 .设点 D,E运动的时间是 t秒( t0).过点 D作 DF BC于点 F,连接 DE,EF.10(1)求证: AE=DF.(2)四边形 AEFD能够成为菱形吗?如果能,求出相应的 t值;如果不能,说明理由 .(3)当 t为何值时, DEF为直角三角形?请说明理由 .图 25-34|拓展提升|25.2018包头样题三 如图 25-35,在矩形 ABCD中, F是 DC上一点, AE平分 BAF交 BC于点 E, 且 DE AF,垂足为 M,BE=3,
11、AE=2 ,则 MF的长是 ( )6图 25-35A. B.1515 151011C.1 D. 1526.2018包头样题二 如图 25-36,在矩形 ABCD中, AB=4,BC=6,E为 BC的中点,将 ABE沿 AE折叠,使点 B落在矩形内的点 F处,连接 CF,则 CF的长为 . 图 25-3627.如图 25-37,在矩形 ABCD中, E是 AD边的中点, BE AC,垂足为 F,连接 DF.下列四个结论: AEFCAB; CF=2AF; DF=DC;tan CAD= .其中正确的有 ( )2图 25-37A.4个 B.3个 C.2个 D.1个28.如图 25-38, ABC和 C
12、DE均为等腰直角三角形,点 B,C,D在一条直线上, M是 AE的中点,下列结论:tan AEC= ; BM DM;BCCD BM=DM; S ABC+S CDE S ACE.正确结论的个数是 ( )图 25-38A.1 B.2 C.3 D.429.2015包头 如图 25-39,在边长为 +1的菱形 ABCD中, A=60,点 E,F分别在 AB,AD上,沿 EF折叠菱形,3使点 A落在 BC边上的点 G处,且 EG BD于点 M,则 EG的长为 . 12图 25-3930.2016青山区一模 如图 25-40,在菱形 ABCD中, AE BC于点 E,交 BD于点 F,下列结论: BF为
13、ABE的平分线; DF=2BF;2 AB2=DFDB;sin BAE= ,其中正确的结论为 .(填序号) EFAF图 25-4031.2017昆区一模 如图 25-41,在菱形 ABCD中, AB=BD,点 E,F分别在 BC,CD上,且 BE=CF,连接 BF,DE交于点 M,延长 ED到点 H,使 DH=BM,连接 AM,AH,则以下四个结论: BDF DCE; BMD=120; AMH是等边三角形; S 四边形 ABMD= AM2.34其中正确结论的是 .(填序号) 图 25-4113参考答案1.D2.B 解析 由四边形 ABCD为矩形,可知 AC=BD,OC= AC.已知 ADB=30
14、,故在 Rt ABD中, BD=2AB=8,所以 AC=BD=8,12所以 OC= AC=4,故选 B.123.C 4.B 5.C6.D 解析 根据 DE AC,DF AB,可证明四边形 AEDF是平行四边形,再根据矩形、菱形的判定方法依次分析即可做出判断 .若 AD BC,无法判定四边形 AEDF是矩形,所以 A错误;若 AD垂直平分 BC,可以判定四边形 AEDF是菱形,所以 B错误;若 BD=CD,无法判定四边形 AEDF是菱形,所以 C错误;若 AD平分 BAC,则 EAD= FAD= ADF,所以 AF=DF.又因为四边形 AEDF是平行四边形,所以四边形 AEDF是菱形,故 D正确
15、 .7.A 8.C 9.D 10.B11.B 解析 因为四边形 ABCD是矩形,所以 B=90,于是 BAC+ BCA=90,即 BAE+ EAC+ ECA=90.由折叠的性质得 BAE= EAC.又因为 EAC= ECA,所以 3 ECA=90, ECA=30.在 Rt ABC中, AC=2AB=23=6.12.C 解析 过点 G作 GM AD,垂足为 M. GE=2BG,设 BG=x,则 GE=2x. AFG=60,AD BC, FGE= AFG=60.四边形 FDCE折叠得到四边形 FGHE, GFE= DFG= =60,DF=FG,12 180- AFG2 FGE是等边三角形,14 E
16、F=EG=FG=2x,DF=FG=2x.在 Rt FMG中, GM=GFsin AFG= x,FM=GFcos AFG=x.3易证四边形 ABGM是矩形, AM=BG=x,AB=GM= x,3 AD=AM+FM+DF=4x.矩形 ABCD的面积为 4 ,3 ADAB=4x x=4 ,解得 x=1,3 3 EF=2x=2,故选 C.13.A 解析 四边形 AOBC是矩形, ABO=30,点 B的坐标为(0,3 ), AC=OB=3 , CAB=30,3 3 BC=ACtan30=3 =3.333将 ABC沿 AB所在直线对折后,点 C落在点 D处, BAD=30,AD=3 .3如图,过点 D作
17、DM x轴于点 M. CAB= BAD=30, CAO=90, DAM=30, DM= AD= 3 = ,12 12 3332AM=ADcos30=3 = ,332 92 OM=AM-AO= -3= ,92 32点 D的坐标为 , .3232 31514.(2,-3)15.16 16.24 17.16 318.22.5 19. +1320.解:(1)证明:四边形 ABCD是矩形, AB CD, FAE= CDE. E是 AD的中点, AE=DE.又 FEA= CED, FAE CDE, FA=CD.又 CD FA,四边形 ACDF是平行四边形 .(2)BC=2CD.理由: CF平分 BCD,
18、BCD=90, DCE=45. CDE=90, CDE是等腰直角三角形, CD=DE. E是 AD的中点, AD=2DE=2CD.又 AD=BC, BC=2CD.21.解:(1)证明:在 ABCD中, AB CD,AB=CD, FAD= CDG. G为 AD的中点, AG=DG.又 AGF= DGC, AGF DGC(ASA), AF=CD.16又 AB=CD, AB=AF.(2)四边形 ACDF为矩形 .证明: BCD=120, BAG=120, FAG=60.又 AG=AB,AB=AF, AG=AF, AGF为等边三角形, AG=FG. AF CD,AF=CD,四边形 ACDF为平行四边形
19、, AD=2AG,CF=2FG, AD=CF,四边形 ACDF为矩形 .22.证明:(1)四边形 ABCD是平行四边形, A= C.在 AED和 CFD中, A= C,AE=CF, AED= CFD, AED CFD(ASA).(2)由(1)得 AED CFD, AD=CD.四边形 ABCD是平行四边形,17四边形 ABCD是菱形 .23.解析 (1)利用角平分线的性质和直角三角形中 30角所对的直角边为斜边的一半求出 AD的长;(2)先判定四边形 AEDF为菱形,然后利用锐角三角函数求出 DE的长,最后求周长 .解:(1)在 ABC中, C=90, B=30, BAC=60. AD是 ABC
20、的角平分线, CAD= BAD= BAC=30.12在 Rt ACD中, CAD=30,CD=3, CD= AD, AD=6.12(2) DE BA,DF CA,四边形 AEDF为平行四边形, BAD= EDA. CAD= BAD, CAD= EDA, AE=DE,四边形 AEDF为菱形 . DE BA, CDE= B=30.在 Rt CDE中, C=90,cos CDE= ,CDDE DE= =2 .3cos30 3四边形 AEDF的周长为 4DE=42 =8 .3 324.解:(1)证明:在 DFC中, DFC=90, C=30,DC=2t, DF=t.18又 AE=t, AE=DF.(2
21、)能 . AB BC,DF BC, AE DF.又 AE=DF,四边形 AEFD是平行四边形 . AB=BCtan30=5 =5,333 AC=2AB=10, AD=AC-DC=10-2t.若使 AEFD为菱形,则需 AE=AD,即 t=10-2t,解得 t= ,103当 t= 时,四边形 AEFD为菱形 .103(3)当 t= 或 4时, DEF 为直角三角形 .理由:52当 EDF=90时,四边形 EBFD为矩形 .在 Rt AED中, ADE= C=30, AD=2AE,即 10-2t=2t,解得 t= ;52当 DEF=90时,由(2)知 EF AD, ADE= DEF=90. A=9
22、0- C=60, AD=AEcos60,即 10-2t= t,解得 t=4;12当 EFD=90时,此种情况不存在 .综上所述,当 t= 或 4时, DEF为直角三角形 .521925.A 26.18527.B28.D29. 330.31. 解析 在菱形 ABCD中, AB=BD, AB=BD=AD, ABD是等边三角形,根据菱形的性质可得 BDF= C=60. BE=CF,BC=CD, EC=DF.在 BDF和 DCE中, BD=DC, BDF= C,DF=CE, BDF DCE,故正确; DBF= CDE. DMF= DBF+ BDM= CDE+ BDM= BDC=60, BMD=180-
23、 DMF=180-60=120,故正确; DEB= CDE+ C= CDE+60, ABM= ABD+ DBF=60+ DBF, CDE= DBF, DEB= ABM.又 AD BC, ADH= DEB, ADH= ABM.在 ABM和 ADH中, ABM ADH,AB=AD, ABM= ADH,BM=DH, AM=AH, BAM= DAH, MAH= MAD+ DAH= MAD+ BAM= BAD=60,20 AMH是等边三角形,故正确; ABM ADH, S AMH=S 四边形 ABMD.又 S AMH= AM AM= AM2,12 32 34 S 四边形 ABMD= AM2,故正确 .34
