1、1内蒙古大板三中 2018-2019 学年高二数学上学期第一次（10 月）月考试题 理时间 120 分钟，满分 150 分一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1命题“ xR,2 x4 x21b，则 ， 给出下1a1b列四个复合命题： p 且 q； p 或 q； p； q.其中真命题的个数是 ( )A1 B2 C3 D44. 若平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，则平面 与1(,)n2(,01)n夹角的余弦是A.- B. C. D. 701707014745、 “46k”是“214xyk为椭圆方程”是( )A. 充分不
2、必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件6. 如图：在平行六面体 中， 为 与 的交点。若 ，1DCBAM1ADBaAB， 则下列向量中与 相等的向量是（ ）bADc1（A） （B）cba21 cba21（C） （D） 7. 正四棱柱 1BDAC中，底面边长为 2 ，侧棱长为 4 ，则 1B 点到平面 1ADC 的距离为 （ ）2A. 23 B. 423 C. 43 D. 838. 已知ABC 的周长为 20，且顶点 B (0，4)，C (0，4)，则顶点 A 的轨迹方程是 （ ）（A） （ x0） （B） （ x0） 12036yx 13620yx（C） （
3、x0） （D） （ x0）9三棱锥 ABCD 中， AB AC AD2， BAD90， BAC60，则 等于 AB CD ( )A2 B2 C2 D23 310、已知椭圆 :16xyC的右焦点为 F，点 ,Pxy在椭圆 上.若点 Q满足1QF且 0P，则 Q的最小值为( )A. 3 B. 25 C. 3 D. 111、如图所示，在直三棱柱 中， ， ，点 分别是棱的中点，当二面角 为 时，直线 和 所成的角为（ ）A. B. C. D. 12、已知双曲线2:1(0,)xyCab的左焦点为 F，右顶点为 E，过点 F且垂直3于 x轴的直线与双曲线 C相交于不同的两点 A， B，若 EA为锐角三角
4、形，则双曲线C的离心率的取值范围为( )A. 1,2 B. 1,2 C. 2,3 D. 2,3二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上)13、命题“ x0R,2 x 3 ax090”为假命题，则实数 a 的取值范围是_2014在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： 1 的左、右焦点分别是 F1、 F2， P 为椭圆x225 y29C 上的一点，且 PF1 PF2，则 PF1F2的面积为_15.过双曲线 20,xyab的右焦点 ,0作 x轴的垂线与双曲线交于,AB两点， O为坐标原点，若 AOB的面积为 83，则双曲线的渐近线方程为 16给出下列命
5、题：直线 l 的方向向量为 a=（1，1，2） ，直线 m 的方向向量 b=（2，1， ） ，则 l 与m 垂直；直线 l 的方向向量 =（0，1，1） ，平面 的法向量 n=（1，1，1） ，则 l；平面 、 的法向量分别为 n=（0，1，3） ， 2=（1，0，2） ，则 ；平面 经过三点 A（1，0，1） ，B（0，1，0） ，C（1，2，0） ，向量 n=（1，u，t）是平面 的法向量，则 u+t=1.其中真命题的是_ （把你认为正确命题的序号都填上）三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.（10 分） （）求焦点在 x 轴上,虚轴长
6、为 12，离心率为 54的双曲线的标准方程；（2）求经过点 24P的抛物线的标准方程；18.（12 分）在四棱锥 ABCD中，底面 AB为菱形， 60DAB，PC平 面，且 2， 6P， F是 PC的中点.（）求证： F平 面 ；（）求直线 A和平面 BC所成的角的正弦值419.(12 分)命题 p: 21fxmxR的 定 义 域 为 ；命题 q:方程21xym表示焦点在 y轴上的椭圆.若“ 且 q”是假命题， “ p或 ”是真命题，求实数 的取值范围.20. （本题满分 12 分）已知平面内一动点 P 在 x 轴的上方，点 P 到 F（0.1）的距离与它到 y 轴的距离的差等于 1（1）求动
7、点 P 轨迹 C 的方程；（2）设 A，B 为曲线 C 上两点，A 与 B 的横坐标之和为 4求直线 AB 的斜率；设 M 为曲线 C 上一点，C 在 M 处的切线与直线 AB 平行，且 AMBM，求直线 AB 的方程21、如图，四棱锥 中，平面 底面 ， ， .（1）证明: ；（2）若 ， 与 所成角的余弦值为 ，求二面角 的余弦值.522、已知椭圆 的右焦点为 F（1，0） ，左顶点为 A（2，0） （1）求椭圆 E 的方程；（2）过点 A 作两条相互垂直的直线分别与椭圆 E 交于（不同于点 A 的）M，N 两点试判断直线 MN 与 x 轴的交点是否为定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说
8、明理由62018-2019 学年度高二上学期第一次月考卷答案选择题 C BBDB ADBAC BA13. 14.9 15. 16.2，xy217.（）解：焦点在 x 轴上，设所求双曲线的方程为 =1.由题意，得解得 ， 所以焦点在 x 轴上的双曲线的方程为 （2）解：由于点 P 在第三象限，所以抛物线方程可设为： 2ypx或 2y在第一种情形下，求得抛物线方程为： 28yx；在第二种情形下，求得抛物线方程为：2xy18.（）连 AC，交 BD于点 O，连接 F底面 为菱形 为 中点，又 是 PC的中点 OF是 P的中位线， A又 ,平 面 平 面 DB平 面（）（2）以 O 为原点，建立空间直
9、角坐标系 O-xyz3,0,13,03,06ABCP（略写）求得平面 PBC 的法向量 1n， 23,06A 26sin3直线 PA和平面 BC所成的角的正弦值为 6719.命题 p: 2,10xRmx为真，240命题 q为真，即方程21xy是焦点在 y轴上的椭圆， 02m又 “ p且 ”是假命题， “ p或 q”是真命题是真命题且 是假命题，或 是假命题且 是真命题02-m或或 -20m或的取值范围是 ,.20.【答案】解：（I）设动点 P 的坐标为（x，y） ，由题意为 |y|=1因为 y0，化简得：x 2=4y，所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 x 2=4y，y0，（2）设 A（x 1
10、，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 x1x 2，x 12=4y1，x 22=4y2，又 x1+x2=4，直线 AB 的斜率 k= = =1，依题意设 C 在 M 处的切线方程可设为 y=x+t，联立 ，可得 x24x4t=0，=16+16t=0 得 t=1，此时 x=2，点 M 的坐标为（2，1） ，设 AB 的方程为 y=x+m，故线段 AB 的中点 N 坐标为（2，2+m） ，|MN|=|1+m|，联立 消去整理得：x 24x4m=0， 1=16+16m0，m1，x 1+x2=4，x 1？x 2=4m，|AB|= |x2x 1|= ？ =4 ，由题设知：|AB|=2|MN|，即 4
11、=2|1+m|，解得：m=7直线 AB 的方程为：y=x+721.（1）如图，连接 交 于点 . ,即 为等腰三角形，又 平分 ，故,平面 底面 ，平面 底面 ， 平面 , 平8面 , .（2）作 于点 ，则 底面 , ,以 为坐标原点， 的方向分别为轴， 轴， 轴的正方向，建立空间直角坐标系 . ，而 ,得,又 ，故 .设 ，则由 ，得 ，而 ，由 ，得 ，则 ,所以 .设平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，由 得 可取 ，由 得 可取 ，从而法向量 的夹角的余弦值为 .由图可知二面角 是钝角，故二面角 的余弦值为 .22.【答案】解：（1）根据题意，椭圆 的右焦点为 F（1，0） ，左
12、顶点为 A（2，0） ，则 c=1，a=2，则 b2=a2c 2=3所以椭圆 E 的方程为 （2）根据题意，当直线 MN 与 x 轴垂直时，直线 AM 的方程为 y=x+2，9联立 得 7x2+16x+4=0，解得 此时直线 MN 的方程为 直线 MN 与 x 轴的交点为 当直线 MN 不垂直于 x 轴时，设直线 MN 的方程为 y=kx+m联立 得（4k 2+3）x 2+8kmx+4m212=0设 M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，则 ，且=（8km） 24（4k 2+3） （4m 212）0，即 m24k 2+3而 ，由题意知， ，即 ，解得 或 m=2k（舍去） 当 时，满足 m24k 2+3直线 MN 的方程为 ，此时与 x 轴的交点为 故直线 MN 与 x 轴的交点是定点，坐标为
