1、- 1 -棠湖中学高 2019 届高三上第二学月考试理科数学第 I 卷（选择题，满分 60 分）一.选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知 ， ，复数 ，则 abR12iababA3 B1 C0 D 2.设集合 ， ，则 3,2,2|30BxABA B C D0,1,1,3,21,03.已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，则 取最大值时的 为 nanS19a54SnSnA4 B5 C6 D4 或 54.某四棱锥的三视图如图所示，正视图和侧视图为全等的直角边为 1 的等腰直角三角形，则该四棱锥的表面积为A B C
2、 D322235 “ ”是“ ”的1()ablgabA. 充分不必要条件 B. 充要条件C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件6已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，),(2N15.0)()1(P则 等于)31(PA. B. C. D.5.0.05.07.7已知 满足 ，则32cos)4cos()s(A. B. C. D. 1818518718258设奇函数 f (x )的定义域为 R , 且 , 当 x 时 f (x) , )(fxf ,6412x则 f (x )在区间 上的表达式为 ,02- 2 -A B C D12xf)( 124xf)( 124xf)(9ABC 所在平面上一点
3、P 满足 + + = ，则PAB 的面积与ABC 的面积之比为A23 B14 C13 D1610.已知两点 ，若曲线 上存在点 ，使得,0,0aa2320xyxyP，则正实数 的取值范围为 9PBA B C. D 0,31,2, 1,311.已知 是椭圆 的左焦点，经过原点的直线 与椭圆 交于 ，F2:(0)xyEablEP两点，若 ，且 ，则椭圆 的离心率为 Q|PQ12PFEA B C. D1312312.已知偶函数 ，且 ，则函数4log,0()8)8xff()(fxf在区间 的零点个数为 1()2xFxf1,2A 2020 B2016 C. 1010 D1008第卷（非选择题，满分 9
4、0 分）注意事项：1请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。2试卷中横线及框内注有“”的地方，是需要你在第卷答题卡上作答。本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题至第 21 题为必考题，每个试题考生都作答；第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。二.填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。13设 ， 满足约束条件 ，则目标函数 的最小值是 .xy230xy2zxy- 3 -14二项式 的展开式中常数项为 . （用数字表达）61(3)x15若直线 与曲线 有公共点，则 的取值范围是 yb234yxb16.已知 分别为 的三个内角 的对边， ，且 ，,a
5、cABC,ABC627cos4aBbc为 内一点，且满足 ，则 .OAB0,3OOA三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(本大题满分 12 分)已知在 中，角 、 、 的对边分别是 、CBCa、 ， ， ，且 .bc(2os,cos)mabA (,1)ncmn（）求角 ；（）若 ，求 周长的最大值.318 （本小题满分 12 分）1993 年，国际数学教育委员会（ICMI）专门召开过“性别与数学教育”国际研讨会，会议讨论内容之一是视觉和空间能力是否与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取 50 名
6、同学（男 30 女 20） ，给所有同学几何和代数各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选择情况如下表：（单位：人）几何题 代数题 总计男同学 22 8 30女同学 8 12 20总计 30 20 50（）能否据此判断有 97. 5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（）经过多次测试后，女生甲每次解答一道几何题所用的时间在 57 分钟，女生乙每次解答一道几何题所用的时间在 68 分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率；（III）现从选择几何题的 8 名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、- 4 -乙两女生中被抽到的人数为 ，求 的分布列及数学期望 .XE
7、X附表及公式 2()Pk0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0012.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82822nadbckd19.（本小题满分 12 分）如图，已知四棱锥 的底面为菱形，且 ， 是 中点.PABCD60ABCEDP（）证明： 平面 ；/E（）若 ， ，求平面 与平面 所成二面角的正弦值.2P20.（本小题满分 12 分） 设抛物线 的焦点为 ，准线为 .已知以 为圆心，半径为 4 的圆与2:(0)CypxFlF交于 、 两点， 是该圆与抛物线 的一个交点， .lABEC90EAB（）求 的值；（）已知
8、点 的纵坐标为 且在 上， 、 是 上异于点 的另两点，且满足直线P1QRP和直线 的斜率之和为 ，试问直线 是否经过一定点，若是，求出定点的坐标，QR否则，请说明理由.21 （本小题满分 12 分）已知函数 .sinxfe- 5 -（）求函数 的单调区间；fx（）如果对于任意的 ， 恒成立，求实数 的取值范围；0,2fxkk（III）设函数 ， ，过点 作函cosxFxfe20157,1,02M数 的图象的所有切线，令各切点的横坐标按从小到大构成数列 ，求数列 的所x nxnx有项之和的值.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22 （本小题满分 10 分）
9、选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，圆 的参数方程为 （ 为参数） ，以 为极点， 轴xoyC2cosinxyOx的非负半轴为极轴建极坐标系，直线 的极坐标方程为l(3cos).（）求 的极坐标方程；C（）射线 与圆 C 的交点为 ，与直线 的交点为 ，求11:()63OM ,OPlQ的范围|PQ23选修 4-5：不等式选讲 （10 分）已知 ， ， 证明：0ab2ab（） ；2()()（） 14- 6 -棠湖中学高 2019 届高三上第二学月考试理科数学答案1选择题题号 1 2 3 4 5 6选项 A D B B C A题号 7 8 9 10 11 12选项 A B C D C
10、A二填空题13. 14. 15. 16.954021,33三、解答题17. 解：（） mn2cos(cos)0CaBbA由正弦定理得 2si(iinA即 ，在 中， sinco)0CBscsBC00 ， ,1cs2(,)3C（）由余弦定理可得： 222cos()(1cos)9cababC即 ，2()39ab21()932366ab当且仅当 时取等号， 周长的最大值为 6+3=9ABC18 （1）由表中数据得 的观测值2K2250(18)50.6.02439所以根据统计有 97.5%和空间能力与性别有关. - 7 -（2）设甲，乙解答一道几何题的事件分别为 分钟，则基本事件满足的区域为,xy，如
11、图所示 5768xy设事件 为“乙比甲先做完此道题” ，则满足的区域为Axy由几何概型，得 ，即乙比甲先解答完的概率为128P18（3）由题可知在选择做几何题的 8 名女生中任意抽取两人，抽取方法有 种，其中甲、2C乙两人没有一个人被抽取到有 种；恰有一人被抽到有 ；两人都被抽到有2615C126种.21C可能取值为 0,1,2， ， ，X028PX31287PX128PX的分布列为0 1 215283718所以 1530287Ex19 （）证明：如图 3，连接 BD， ACF，连接 E，四棱锥 PABC的底面为菱形， F为 D中点，又 E是 P中点，在 中， F是中位线， /F ，又 E平面
12、 A，而 B平面 ACE， /PB 平面 ACE （）解：如图，取 AB的中点 Q，连接 P， C，- 8 - ABCD为菱形，且 60ABC， ABC 为正三角形， CQAB 设 2P， 2P ， 3Q ，且 P 为等腰直角三角形，即90，QAB，平面 PC，且 1，22， Q ，如图，建立空间直角坐标系，以 为原点， BA所在的直线为 x轴， QC所在的直线为 y轴，QP所在的直线为 z轴，则 (0)， ， ， (10)A， ， ， (30)C， ， ， (1)P， ， ， (0)， ， ， (230)D， ， ，312E， ， 0A， ， (130)AC， ， (10)PB， ， (03
13、1)PC， ，设 11()nxyz， ， 为平面 E的一个法向量，则10AEnC，即1302yzx，可取 1(3)n， ，设 22()xyz， ，为平面 PBC的一个法向量，则 20nPBA，即230yzx，可取 2(31)n， ，于是1212|5|cos7nA，所以平面 EAC与平面 PB所成二面角的正弦值为267 20.解：（1）由题意及抛物线定义， ， 为边长为 4 的正三角形，|4FAEF设准线 与 轴交于点 ， .lxD1|22p（2）设直线 的方程为 ，点 ， .QRxmyt1(,)Qxy(,)R- 9 -由 ，得 ，则 ， ，24xmyt240yt2160mt124ym.12t又
14、点 在抛物线 上，则 ，同理可得PC1124pPQPykx14Py.241PRky因为 ，所以 ，解得PQR124y124()8y16814mt.734tm由 ，解得 .2160734()4ttm 71(,)(,)2m所以直线 的方程为 ，则直线 过定点 .QR7(3)4xyQR7(,3)421. sincofe2sinxe的增区间为 ；减区间为fx32,4kkZ. 372,4kZ令 gxfkxsinekx要使 恒成立，只需当 时，f0,2min0gxsincoxgek令 ，则 对 恒成立ixh2cos0xhe,2x- 10 -在 上是增函数，则hx0,221,hxe当 时， 恒成立， 在 上
15、为增函数1kgxg0,， 满足题意；min0x1k当 时， 在 上有实根 , 在 上是增函数21kegx0,20xh0,2x则当 时， ， 不符合题意；0,x0gx当 时， 恒成立， 在 上为减函数，2kegx,2不符合题意0gx，即 . 1k,1 cosxFxfeincosx2设切点坐标为 ，则切线斜率为00,sicxex02cosxFe从而切线方程为 0nosy002csxe00sincoxex0012e0tan2x令 ， ，这两个函数的图象均关于点 对称，则它们交点的横1tay2y ,坐标也关于 对称，从而所作的所有切线的切点的横坐标构成数列 的项也关于x nx成对出现，又在 共有 1008 对，每对和为 .220157,.108S22.解：（）圆 C 的普通方程是 又 所以圆 C 的极坐标方2()4,xycos,in.xy- 11 -程是 4cos.（）设 则由 设 且直线 的方程是 则有1(,)P114cos,2(,)Ql(sin3cos),所以2113,sincos 112143cos4| 2,intaOP23证明：（1）因为 222()()abab2()0b所以 （2）方法 1：由（1）及 得 2ab2ab因为 ， (1)()22(1)(4bab于是 4方法 2：由（1）及 得 2ab2ab因为 ，所以 ()1故 (1)4abab
