1、1专题能力训练 22 坐标系与参数方程(选修 44)一、能力突破训练1.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 (t 为参数) .在极坐标系(与平面=1+3,=-2+3直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴非负半轴为极轴)中,直线 l 的方程为 sin =m(mR) .2 (-4)(1)求圆 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程;(2)设圆心 C 到直线 l 的距离等于 2,求 m 的值 .2.在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数),曲线 C 的参数方=-8+,=2 程为 (s 为参数) .设 P 为曲线 C 上
2、的动点,求点 P 到直线 l 的距离的最小值 .=22,=223.(2018 全国 ,理 22)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ( 为参数),直线 l=2,=4的参数方程为 (t 为参数) .=1+,=2+(1)求 C 和 l 的普通方程;(2)若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为(1,2),求 l 的斜率 .4.已知曲线 C: =1,直线 l: (t 为参数) .24+29 =2+,=2-2(1)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程;(2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30的直线,交 l 于点 A,求 |PA|的最大值与最小值 .25.(2
3、018 全国 ,理 22)在平面直角坐标系 xOy 中, O 的参数方程为 ( 为参数),过点(0, -=,=)且倾斜角为 的直线 l 与 O 交于 A,B 两点 .2(1)求 的取值范围;(2)求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程 .6.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为 (t 为参数, a0).在以坐标原点为极点,=,=1+x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2:= 4cos .(1)说明 C1是哪一种曲线,并将 C1的方程化为极坐标方程;(2)直线 C3的极坐标方程为 = 0,其中 0满足 tan 0=2,若曲线 C1与 C2的公共点都在 C3上,求a.7.在极坐标系中
4、,曲线 C 的极坐标方程为 sin2- cos= 0,点 M .以极点 O 为原点,以极轴为(1,2)x 轴正半轴建立直角坐标系 .斜率为 -1 的直线 l 过点 M,且与曲线 C 交于 A,B 两点 .(1)求出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的参数方程;(2)求点 M 到 A,B 两点的距离之积 .3二、思维提升训练8.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 (t 为参数),以原点为极点, x 轴正半=3+12,=32 轴为极轴建立极坐标系, C 的极坐标方程为 = 2 sin .3(1)写出 C 的直角坐标方程;(2)P 为直线 l 上一动点,当点 P 到圆心 C 的距
5、离最小时,求 P 的直角坐标 .9.已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数),以坐标原点为极点 ,x 轴正半轴为极轴建立极=1+2,=2 坐标系,曲线 C 的极坐标方程是 = .1-2(1)写出直线 l 的极坐标方程与曲线 C 的直角坐标方程;(2)若点 P 是曲线 C 上的动点,求点 P 到直线 l 的距离的最小值,并求出点 P 的坐标 .410.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为 ( 为参数),以原点 O 为极点, x=3,=轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程为 sin =4 .(+4) 2(1)求曲线 C1的普通方程与曲线 C2的直角坐标方程;(2)设
6、 P 为曲线 C1上的动点,求点 P 到 C2上点的距离的最小值,并求此时点 P 的坐标 .5专题能力训练 22 坐标系与参数方程(选修 44)一、能力突破训练1.解 (1)消去参数 t,得到圆 C 的普通方程为( x-1)2+(y+2)2=9.由 sin =m,2 (-4)得 sin - cos -m= 0.所以直线 l 的直角坐标方程为 x-y+m=0.(2)依题意,圆心 C 到直线 l 的距离等于 2,即 =2,解得 m=-32|1-(-2)+|2 2.2.解 直线 l 的普通方程为 x-2y+8=0.因为点 P 在曲线 C 上,设 P(2s2,2 s),2从而点 P 到直线 l 的距离
7、 d=|22-42+8|12+(-2)2 =2(- 2)2+45 .当 s= 时, dmin=2455.因此当点 P 的坐标为(4,4)时,曲线 C 上点 P 到直线 l 的距离取到最小值 455.来源:学#科#网Z#X#X#K3.解 (1)曲线 C 的普通方程为 =1.24+216当 cos 0 时, l 的普通方程为 y=tan x+ 2-tan ,当 cos = 0 时, l 的普通方程为 x=1.(2)将 l 的参数方程代入 C 的普通方程,整理得关于 t 的方程(1+3cos2 )t2+4(2cos + sin )t-8=0, 因为曲线 C 截直线 l 所得线段的中点(1,2)在 C
8、 内,所以 有两个解,设为 t1,t2,则 t1+t2=0.又由 得 t1+t2=- ,4(2+)1+32故 2cos + sin = 0,于是直线 l 的斜率 k=tan =- 2.4.解 (1)曲线 C 的参数方程为 ( 为参数) .=2,=3直线 l 的普通方程为 2x+y-6=0.(2)曲线 C 上任意一点 P(2cos ,3sin )到 l 的距离为 d= |4cos + 3sin - 6|,55则 |PA|= |5sin(+ )-6|,其中 为锐角,且 tan =30=255 43.当 sin(+ )=-1 时, |PA|取得最大值,最大值为2255 .当 sin(+ )=1 时,
9、 |PA|取得最小值,最小值为255.5.解 (1) O 的普通方程为 x2+y2=1.当 = 时, l 与 O 交于两点 .2当 时,记 tan =k ,则 l 的方程为 y=kx- ,l 与 O 交于两点当且仅当 1,即 或(4,2) (2,34).6综上, 的取值范围是 (4,34).(2)l 的参数方程为 t 为参数, 0.2设 A,B 对应的参数分别为 t1,t2,则 1+2=-32,12=2. 又直线 l 经过点 M,故由 t 的几何意义得点 M 到 A,B 两点的距离之积|MA|MB|=|t1|t2|=|t1t2|=2.二、思维提升训练78.解 (1)由 = 2 sin ,得 2
10、=2 sin ,3 3从而有 x2+y2=2 y,所以 x2+(y- )2=3.3 3(2)设 P ,又 C(0, ),(3+12,32) 3则 |PC|= ,(3+12)2+(32- 3)2=2+12故当 t=0 时, |PC|取得最小值,此时,点 P 的直角坐标为(3,0) .9.解 (1)由 得 x-y=1,=1+2,=2, 故直线的极坐标方程为 cos - sin = 1,即 =1,2 (4-4)即 cos =1.2 (+4)= ,= ,1-2 2 cos2= sin , ( cos )2= sin ,即曲线 C 的直角坐标方程为 y=x2.(2)设 P(x0,y0),y0= ,则 P
11、 到直线 l 的距离 d=20|0-0-1|2 =|0-20-1|2 =| -(0-12)2-34|2 =(0-12)2+342 . 当 x0= 时, dmin= ,此时 P12 328 (12,14). 当点 P 的坐标为 时, P 到直线 l 的距离最小,最小值为(12,14) 328.10.解 (1)由曲线 C1: ( 为参数),得=3,=( 为参数),3=,=两式两边平方相加,得 +y2=1,(3)2即曲线 C1的普通方程为 +y2=1.23由曲线 C2: sin =4 ,得(+4) 2(sin + cos )=4 ,22 2即 sin + cos = 8,所以 x+y-8=0,即曲线 C2的直角坐标方程为 x+y-8=0.8(2)由(1)知,椭圆 C1与直线 C2无公共点,椭圆上的点 P( cos ,sin )到直线 x+y-8=0 的距3离 d= ,|3+-8|2 =|2(+3) -8|2所以当 sin =1 时, d 的最小值为 3 ,此时点 P 的坐标为(+3) 2 (32,12).
