1、- 1 -合肥一六八中学 20182019 学年第一学期期中考试高二数学试题（宏志班）一、选择题（共 60 题，每题 5 分。每题仅有一个正确选项。 ）1.下列说法正确的是 ( )A.有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B.四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C.有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D.棱台的各侧棱延长后不一定交于一点2.如图，矩形 OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中 OA6 cm，OC2 cm，则原图形是 ( )A.正方形 B.矩形C.菱形 D.一般的平行四边形3.已知直线 ab、 是异面直线，直线 cd、 分别与 ab、 都相交，
2、则直线 cd、 的位置关系A.可能是平行直线 B.一定是异面直线 C.可能是相交直线 D.平行、相交、异面直线都有可能4在正四面体的 6 条棱中随机抽取 2 条，则其 2 条棱互相垂直的概率为 （ ）A B C D3315135.已知互相垂直的平面 ， 交于直线 l.若直线 m， n 满足 m ， n ，则（ ）A.m l B.m n C.n l D.m n6直线 与 的位置关系是（ ）cosi0xyasicos0xybA平行 B垂直 C斜交 D与 的值有关,a7设ABC 的一个顶点是 A(3，1)，B，C 的平分线方程分别为 x0，yx，则直线BC 的方程为( )Ay2x5 By2x3 Cy
3、3x5 Dy x12 528. ,是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面 ,平行的是 ( )A. nm是平面 内两条直线，且 /,nm B. 内不共线的三点到 的距离相等 C. ,都垂直于平面 D. 是两条异面直线， nm,，且 /,n9.某工作的三视图如图 3 所示，现将该工作通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率- 2 -=新工件的体积/原工件的体积） （ ）A、 B、 827 C、24(1)D、28(1)10如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体1的表面积为（
4、）A. B. 284312 36412C. D. 611.在单位正方体 ABCD-A1B1C1D1的面对角线 A1B 上存在一点 P 使得 AP+D1P 取得最小值,则此最小值是（ ）A.2 B. C. D. 2+62+2+12如图，正方体 ABCDA 1B1C1D1中，E、F 分别是 AB、BC 的中点，过点 D1、E、F 的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为 V1、V 2（V 1V 2） ，则 V1：V 2=（ ）A B C D二、填空题（共 20 分，每题 5 分）- 3 -13.直线 l：ax(a1)y20 的倾斜角大于 45，则 a 的取值范围是_.14. 四棱锥
5、的底面边长和各侧棱长都为 ，点 都在同一个球面上，SABCD2,SABCD则该球的体积为_15. 我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸若盆中积水深九寸，则平地降雨量是_寸(注： 平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积； 一尺等于十寸)16如果三棱锥 的底面 是正三角形，顶点 在底面 上的射影是 的ABCDABCDBCD中心，则这样的三棱锥称为正三棱锥给出下列结论： 正三棱锥所有棱长都相等； 正三棱锥至少有一组对棱（如棱 与 ）不垂直；ABCD 当正三棱锥所有棱长都相等时，该棱锥内任意一点到它
6、的四个面的距离之和为定值； 若正三棱锥所有棱长均为 ，则该棱锥外接球的表面积等于 2 12 若正三棱锥 的侧棱长均为 2，一个侧面的顶角为 ，过点 的平面分别交ABCD 40B侧棱 ， 于 则 周长的最小值等于 ,MN3以上结论正确的是 （写出所有正确命题的序号） 三、解答题（共 70 分，每题必需要有必要的解答过程）17（10 分）.如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，PPADC， 分别是 的中点求证：0,6AB,EF,（1）直线 平面 ；FCD（2）平面 平面 .A18（12 分）.如图，在三棱锥 PABC中， PABC平 面 平 面 ，60PACB， 4， 3， 2.（1）求三棱锥 的体积
7、；- 4 -（2）求点 C 到平面 PAB距离. 19(12 分).已知点 P 到两个定点 M(1，0)， N(1，0)距离的比为 ，点 N 到直线 PM 的距离2为 1.求直线 PN 的方程20（12 分） 如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，且DAB=60，PA=PD，M 为 CD 的中点，BDPM（1）求证：平面 PAD平面 ABCD；（2）若APD=90，四棱锥 PABCD 的体积为 ，求三棱锥 APBM 的高21（12 分）.如图在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，E，H 分别是棱 A1B1，D 1C1上的点（点 E 与 B1不重合） ，且 EHA 1D1
8、过 EH 的平面与棱 BB1,CC1相交，交点分别为 F，G.（）证明：AD平面 EFGH；（）设 AB=2AA1=2a，在长方体 ABCD-A1B1C1D1内随机选取一点，记该点取自于几何体A1ABFE-D1DCGH 内的概率为 p.当点 E，F 分别在棱 A1B1，B 1B 上运动且满足 EF=a 时，求 p 的最小值.22（12 分）.如图，已知正三棱锥 PABC 的侧面是直角三角形，PA=6，顶点 P 在平面 ABC 内的正投影为点 D，D 在平面 PAB 内的正投影为点 E，连接 PE 并延长交 AB 于点 G（）证明：G 是 AB 的中点；（ ）在图中作出点 E 在平面 PAC 内
9、的正投影 F- 5 -（说明作法及理由） ，并求四面体 PDEF 的体积- 6 -合肥一六八中学 20182019 学年第一学期期中考试高二数学试题（宏志班）命题人：汪克亮 审题人：贾秋雨（考试时间：120 分钟 满分：150 分）注意事项：1、 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。2、 选择题答案请用 2B 铅笔准确地填涂在答题卡上相应位置，非选择题答案必须填写在答题卷上相应位置，否则不得分。3、 考试结束后，请将答题卡和答题卷一并交回。第卷一、选择题（共 60 题，每题 5 分。每题仅有一个正确选项。 ）1.下列说法正确的是 (B )A.有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边
10、形的多面体是棱柱B.四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C.有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D.棱台的各侧棱延长后不一定交于一点2.如图，矩形 OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中 OA6 cm，OC2 cm，则原图形是 (C )A.正方形 B.矩形C.菱形 D.一般的平行四边形3.已知直线 ab、 是异面直线，直线 cd、 分别与 ab、 都相交，则直线 cd、 的位置关系A.可能是平行直线 B.一定是异面直线 C.可能是相交直线 D.平行、相交、异面直线都有可能答案 C4在正四面体的 6 条棱中随机抽取 2 条，则其 2 条棱互相垂直的概率为 （ ）A 3 B 2
11、 C 15 D 3C5.已知互相垂直的平面 ， 交于直线 l.若直线 m， n 满足 m ， n ，则（ ）A.m l B.m n C.n l D.m n【答案】C6直线 cosi0xya与 sicos0xyb的位置关系是（ ）A平行 B垂直 C斜交 D与 ,a的值有关- 7 -B7设ABC 的一个顶点是 A(3，1)，B，C 的平分线方程分别为 x0，yx，则直线BC 的方程为( )Ay2x5 By2x3 Cy3x5 Dy x12 52答案：A8. ,是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面 ,平行的是 ( )A. nm是平面 内两条直线，且 /,nm B. 内不共线的三点到 的距离相等
12、 C. ,都垂直于平面 D. 是两条异面直线， nm,，且 /,nD9.某工作的三视图如图 3 所示，现将该工作通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积/原工件的体积） （ ）A、 B、 827 C、24(1)D、28(1)【答案】A10如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）- 8 -A. 284312 B. 36412C. 6 D. 【答案】B【解析】11.在单位正方体 ABCD-A1B1C1D1的面对角线 A1B 上存在一点 P 使得 AP
13、+D1P 取得最小值,则此最小值是（ ）A.2 B. 2+6 C.2+ D. 2+ D12如图，正方体 ABCDA 1B1C1D1中，E、F 分别是 AB、BC 的中点，过点 D1、E、F 的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为 V1、V 2（V 1V 2） ，则 V1：V 2=（ C ）A B C D第卷二、填空题（共 20 分，每题 5 分）- 9 -13.直线 l：ax(a1)y20 的倾斜角大于 45，则 a 的取值范围是_.答案 (， )(0，)1214. 四棱锥 SABCD的底面边长和各侧棱长都为 2，点 ,SABCD都在同一个球面上，则该球的体积为_解析： 如图所
14、示，根据对称性，只要在四棱锥的高线 SE 上找到一个点 O使得 O，则四棱锥的五个顶点就在同一个球面上在 RtE中，2,1SE，故 S设球的半径为 ，则 ,1SRtA中， 22()1R， 0OE，即点 E 即为球心，故这个球的体积 43V15. 我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸若盆中积水深九寸，则平地降雨量是_寸(注： 平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积； 一尺等于十寸)答案：3解析：本题考查圆台的体积公式做出圆台的轴截面如图，由题意知，BF14(单位寸，下同)，OC6，OF18，O
15、G9，即 G 是 OF 中点，所以 GE 为梯形的中位线，所以GE 10，即积水的上底面半径为 10.所以盆中积水的体积为 (1003614 62 13)588.盆口的面积为 142196，所以 3，即平地降雨量是 3100 36588196寸16如果三棱锥 ABCD的底面 是正三角形，顶点 A在底面 BCD上的射影是 BCD的中心，则这样的三棱锥称为正三棱锥给出下列结论： 正三棱锥所有棱长都相等； - 10 - 正三棱锥至少有一组对棱（如棱 AB与 CD）不垂直； 当正三棱锥所有棱长都相等时，该棱锥内任意一点到它的四个面的距离之和为定值； 若正三棱锥所有棱长均为 2，则该棱锥外接球的表面积等
16、于 12 若正三棱锥 ABCD的侧棱长均为 2，一个侧面的顶角为 40，过点 B的平面分别交侧棱 ， 于 ,MN则 周长的最小值等于 3以上结论正确的是 （写出所有正确命题的序号） 答案：，三、解答题（共 70 分，每题必需要有必要的解答过程）17（10 分）.如图，在四棱锥 PABCD中，平面 PA平面 BCD，0,6ABD， ,EF分别是 ,的中点求证：（1）直线 F平面 ；（2）平面 平面 .解析：（1）如图，在 PAD 中，因为 E， F 分别为 AP， AD 的中点，所以 EF PD.又因为 E平面 PCD， PD平面 PCD，所以直线 EF平面 PCD.（2）连接 BD.因为 AB
17、 AD， BAD60，所以 ABD 为正三角形因为 F 是 AD 的中点，所以 BF AD.因为平面 PAD平面 ABCD， BF平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD AD，所以 BF平面 PAD. 又因为 BF平面 BEF，所以平面 BEF平面 PAD.18（12 分）.如图，在三棱锥 PABC中， PABC平 面 平 面 ，60PACB， 4， 3， 2.（1）求三棱锥 PABC的体积；- 11 -（2）求点 C 到平面 PAB距离.18.解：（1）过 作 HC交 于一点 H，平 面 平 面，PAB平 面.在 C中， 60， 3PA，则 32H， 32AH.面积 11sin4sin6
18、02SCA .四面体 PB体积 323ABVSP.（2）在 AC中，连接 H.则 22, 13cos604.223104PB， 1PB.在 A中， ， AB， ，2310cos4P， 15sin4PAB.152PABS.设 C点到平面 距离为 h，由等体积法可知.33PABABChPH.154.从而 415h.点到平面 PAB距离为 .19(本题满分 12 分)已知点 P 到两个定点 M(1，0)， N(1，0)距离的比为 ，点 N 到直线 PM2的距离为 1.求直线 PN 的方程解：设点 P 的坐标为( x， y)，由题设有 ，|PM|PN| 2即 ，（ x 1） 2 y2 2 （ x 1）
19、 2 y2- 12 -整理得 x2 y26 x10.因为点 N 到 PM 的距离为 1，| MN|2，所以 PMN30，直线 PM 的斜率为 ，33直线 PM 的方程为 y (x1)33将式代入式整理得 x24 x10，解得 x2 ，代入式得点 P 的坐标为(2 ，1 )或(2 ，1 )或3 3 3 3 3(2 ，1 )或(2 ， 1 )，3 3 3 3直线 PN 的方程为 y x1 或 y x1.20（12 分） 如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，且DAB=60，PA=PD，M 为 CD 的中点，BDPM（1）求证：平面 PAD平面 ABCD；（2）若APD=90，
20、四棱锥 PABCD 的体积为 ，求三棱锥 APBM 的高20 证明：（）取 AD 的中点 E，连接 PE，EM，AC.底面 ABCD 为菱形，又 EM AC，又 BDPM，则 ., 平面 PAD平面 ABCD（2）设 , 由APD=90，可得- 13 -由（1）知 ，则，则连接 ，可得.设三棱锥 APBM 的高为 ,则由 ,可得即 .21（12 分）.如图在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，E，H 分别是棱 A1B1，D 1C1上的点（点 E 与 B1不重合） ，且 EHA 1D1过 EH 的平面与棱 BB1,CC1相交，交点分别为 F，G.（）证明：AD平面 EFGH；（）设 AB=2A
21、A1=2a，在长方体 ABCD-A1B1C1D1内随机选取一点，记该点取自于几何体A1ABFE-D1DCGH 内的概率为 p.当点 E，F 分别在棱 A1B1，B 1B 上运动且满足 EF=a 时，求 p 的最小值.（）证明：在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，ADA 1D1，又因为 EHA 1D1，所以 ADEH.因为 AD平面 EFGH，EH 平面 EFGH，则 AD平面 EFGH（）解:设 BC=b，则长方体 ABCD-A1B1C1D 的体积 V=ABADAA1=2a2b几何体 EB1F-HC1C 的体积 V1= 2（EB 1B1FB1C1） = 2bEB1B1F因为 2aFBE,所
22、以 EB1B1F 21.- 14 -当且仅当 EB1=B1F= 2a时等号成立从而 V1 42b.故 p1 872ba当且仅当 EB1=B1F= 时等号成立则 p 的最小值为 8722（12 分）.如图，已知正三棱锥 PABC 的侧面是直角三角形，PA=6，顶点 P 在平面 ABC 内的正投影为点 D，D 在平面 PAB 内的正投影为点 E，连接 PE 并延长交 AB 于点 G（）证明：G 是 AB 的中点；（）在图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F（说明作法及理由） ，并求四面体 PDEF 的体积【分析】 （）根据题意分析可得 PD平面 ABC，进而可得 PDAB，同理可得 DEA
23、B，结合两者分析可得 AB平面 PDE，进而分析可得 ABPG，又由 PA=PB，由等腰三角形的性质可得证明；（）由线面垂直的判定方法可得 EF平面 PAC，可得 F 为 E 在平面 PAC 内的正投影由棱锥的体积公式计算可得答案【解答】解：（）证明：PABC 为正三棱锥，且 D 为顶点 P 在平面 ABC 内的正投影，PD平面 ABC，则 PDAB，又 E 为 D 在平面 PAB 内的正投影，DE面 PAB，则 DEAB，PDDE=D，- 15 -AB平面 PDE，连接 PE 并延长交 AB 于点 G，则 ABPG，又 PA=PB，G 是 AB 的中点；（）在平面 PAB 内，过点 E 作
24、PB 的平行线交 PA 于点 F，F 即为 E 在平面 PAC 内的正投影正三棱锥 PABC 的侧面是直角三角形，PBPA，PBPC，又 EFPB，所以 EFPA，EFPC，因此 EF平面 PAC，即点 F 为 E 在平面 PAC 内的正投影连结 CG，因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D，所以 D 是正三角形 ABC 的中心由（）知，G 是 AB 的中点，所以 D 在 CG 上，故 CD= CG由题设可得 PC平面 PAB，DE平面 PAB，所以 DEPC，因此 PE= PG，DE= PC由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且 PA=6，可得 DE=2，PG=3 ，PE=2 在等腰直角三角形 EFP 中，可得 EF=PF=2所以四面体 PDEF 的体积 V= DESPEF = 2 22= 【点评】本题考查几何体的体积计算以及线面垂直的性质、应用，解题的关键是正确分析几何体的各种位置、距离关系
