1、12018-2019 学年度上学期期中考试高二理科数学2018. 11考生注意：1、本卷考试范围：人教 A 版必修 2。满分 150 分，考试时间 120 分钟；2、答题前请在答题卷上填写好自己的学校、姓名、班级、考号等信息；3、请将答案正确填写在答题卷指定的位置，在非答题区位置作答无效。第 I 卷 （选择题 60 分） 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求。) 1.光线沿着直线 射到直线 上，经反射后沿着直线 射出，3yxb0xy3yax则由（ ）A. ， B. ， C. ， 1a913a9b19bD. ， 3b2.若圆
2、 的圆心到直线 的距离为 ，则 的值为（ 240xy0xya2a） A. 或 B. 或 C. 或 212320D. 或 03.在三菱柱 中， 是等边三角形， 平面 ， ， 1ABCABC1ABCA，则异面直线 和 所成角的正弦值为（ ）121A. B. C. 7 122D. 324.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A. B. C. 4353D. 2 245.在四面体 中， 底面 ， ， ， ， 为 的重心， 为线段 上一点，且 平面 ，则线段 的 长为( )A. B. C. D.6.如图 4，正三棱柱 中，各棱长都相等，则二面角 的平面角的正1ABC1AB切值为（ ）A. B
3、. 62 3C. 1 D. 237.如图，三棱柱 中，侧棱 底面 ，底面三角形 是正三角形，3是 中点，则下列叙述正确的是（ ）A. 与 是异面直线 B. 平面C. D. 平面8.已知圆 与直线 及 都相切，圆心在直线 上，则圆 的C0xy400xyC方程为（ ）A. B. 221xyC. D. 221xy9.在三棱锥 中， 与 都是边长为 6 的正三角形，平面 平面ABCDABCDABC，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）A. B. C. 510D. 602015410.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，则该几何体最大的侧面的面积为（ ）A.1 B. C. D.211.若直线 与
4、曲线 有两个交点，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D.12.设 为两个不重合的平面， 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：,lmn若 ， ，则 ；若 ， ， ， ，则 ；/l/l/m/n/若 ， ，则 ；若 ， ，且 ， ，则 .llll其中正确命题的序号是（ ）A. B. C. D. 第 II 卷（非选择题 90 分）二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 513.如图，半球内有一内接正四棱锥 ，该四棱锥的体积为 ，则该半球的表面积为 14.已知 的顶点都在球 的球面上， ，三棱锥ABCO6,8,10ABC的体积为 ，则该球的表面积等于_.O40315.
5、如图，已知 AB 为圆 O 的直径，C 为圆上一动点， 圆 O 所在平面，且 PA=AB=2，过点 A 作平面 ，交 PB,PC 分别于 E,F，当三棱锥 P-AEF 体积最大时， = 16.在平面直角坐标系中， 分别是 轴和 轴上的动点，若以 为直径的圆 与直线 相切，则圆 面积的最小值为 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.（10 分）直线过点 P 且与 x 轴、 y 轴的正半轴分别交于 A， B 两点， O 为坐标原4,23点，是否存在这样的直线满足下列条件： AOB 的周长为 12； AOB 的面积为 6.若存在，求出方程；若不存在，请说明理由18. （ 12 分）在
6、平面直角坐标系中，圆 ： 与 轴的正半轴交于点 ，以O24xyxA为圆心的圆 ： （ ）与圆 交于 ， 两点.A22xyr0BC6（1）若直线 与圆 切于第一象限，且与坐标轴交于 ， ，当直线 长最小时，求lODE直线 的方程；l（2）设 是圆 上异于 ， 的任意一点，直线 、 分别与 轴交于点 和 ，PBCPBCxMN问 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.MN19. （12 分）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 的正方形，侧棱OABCD2底面 ，且侧棱 的长是 ，点 分别是 的中点.OBACD2,EFG,ABODC（）证明： 平面 ；ODEFG（）求三棱锥 的体积.20.
7、 （12 分）如图，在四棱锥 中，已知 平面 ，且四边形PABCDPABCD为直角梯形， ABCD,2,12ABC（1）求平面 与平面 所成二面角的余弦值；PABCD（2）点 是线段 上的动点，当直线 与 所成的角最小时，求线段 的长QQPBQ721. （12 分）如图，在四棱锥 中，四边形 为直角梯形，ACDFECFE平面 ， 为 的中点， /,CEDFAEP12D（1）求证： 平面 ；/CPAEF（2）设 ，求点 到平面 的距离2,3,4EFDACD22. （12 分）如图，在正方体 中，E、F 分别是 、CD 的中点， （1）1AB1B证明： ；（2）求异面直线 与 所成的角；（3）证明
8、：平面1FA1平面 。AED182018-2019 学年度上学期期中考试高二理科数学参考答案1.A【解析】在直线 上任意取一点， ，则点 关于直线 的对3yxb1,3AbA0xy称点 在直线 上，故有 ，即 ，,1Bb3aa34ab结合所给的选项，只有 ， 合题意，故选 A.92.C【解析】圆 ，240xy化成标准方程为 ，2215圆心 到直线的距离 ，1,221ad解得 或 ，故选 0aC3.A【解析】如图，作 交 的延长线于 ，连接 ，则 就是异面直线1/BDAD1C1DB和 所成的角（或其补角） ，由已知 ， 1A 226B，由 ，知 异面直线 和16,23BC21C190,1A所成的角
9、为直角，正弦值为 ，故选 A.14.B【解析】由三视图得该几何体是由半个球和半个圆柱组合而成，根据图中所给数据得该几何体的体积为 ,故选 B.145235.A【解析】如图，延长 AG 交 BC 于点 H，过点 G 作 GE/BC 交 AC 于点 E，过点 E 作EF/DC，交 AD 于点 F，则平面 EFG/平面 BCD，又 FG 平面 BCD，所以 FG/平面 BCD，9又 ，所以 , ，所以 .6.D【解析】设棱长为 的中点为 ，连接 ，,aBCE1,A由正三棱柱 中，个棱长都相等，1A可得 ， 所以二面角 的平面角为 ，1,E1BC1AE在 中， ，所以 ，RtBC32a1123tnAa
10、E即二面角 的平面角的正切值为 ，故选 D.1A237.C【解析】 中， 与 在侧面 ，又不平行，故相交， 错误；中， 与面 斜交，夹角为 ， 错误；中， ， 是异面直线，且 ， ，所以 ，故 正确；中， 与平面 有公共点 ，所以 与平面 相交， 错误故选 8.B【解析】直线 和 的斜率均为 1，所以两直线平行0xy40因为圆 与直线 和 都相切，所以两平行线直线 和Cxy 0xy间的距离即为所求圆 的直径，即 ，所以半径40xyC2041dr2r因为圆心在直线 上，则可设圆心 为 ，0xy,a圆 与直线 相切，所以圆心 到直线 的距离等于半径，即CC0xy，2adar10解得 ，依题意可知
11、，所以 ，则圆心为 ，1a0a11,所以圆 方程为 故 B 正确C22xy9.D【解析】取 中点分别为 ，连接 ，根据题意知：ADB， EF， ADF， ，3F，162E易知三棱锥的外接球球心 在线段 上，OEF连接 ，有OAC， 22RA2RDF， 2236E 2236OE15三棱锥的外接球的体积为 。故答案选342015RD10.C【解析】由三视图可知几何体是一条侧棱与底面垂直，底面是正方形，四棱锥的高为 2，底面正方形的对角线的长为 2， 四棱锥的 4 个侧面面积分别为： = ； = ； = ； = 最大侧面面积为： 故选：C11.C11【解析】曲线方程可化为 ，其图像为半圆（如图所示）
12、，其中 又直线 过定点 ，若直线与半圆有两个不同交点，则 ，当直线与 相切时，有 ，解得 ，故实数 故答案为：C12.A【解析】若 ， ，则平面 内任意直线都与平面 平行， ，故正/l/l确；若 ， ， ，则 也可以平行于 与 的交线，此时两平面不平行，mn/m故错误； ，根据面面垂直的判定定理，可得 ，故正确；lA， 若 ， ，若 可以与面斜 交，不一定垂直，故nnllnA， ， ， 不正确；故选 A13.【解析】设所给半球的半径为 ，则四棱锥的高 ，则 ，所以 ，所以半球的表面积为 .所以答案是:6 .14.4012【解析】依题意知ABC 为直角三角形，其所在圆面的半径为 ，设三棱锥 O-
13、ABC152AC的高为 h，则由 得 ，设球 O 的半径为 R，则由16840332h5得 ，故该球的表面积为 .25R15.【解析】 平面 ，则 ，又 平面 ， 平面 ，设 ，在 中， ，在 中， ， ， 时，三棱锥 P-AEF 体积最大为 ，此时， ， .故答案为: .16.【解析】由题意，圆心 到原点的距离与到直线的距离相等，所以面积最小时，圆心在原点到直线的垂线中点上，则 ，则 ， 。17. 1.4x3y【解析】设直线的方程 ，若满足（1）可得1(0,)xyab，联立可解 ，即可得方程；242,ab,（2）若满足，可得 ，同样可得方程，它们公共的方程即为所求.3ba试题解析：设直线方程
14、为 1(a0，b0)，若满足条件(1)，则 ab 12，又直线过点 P( ，2)， 1.由可得 5a232a480，13解得 ，或 .所求直线的方程为 1 或 1，即 3x4y120 或 15x8y360.若满足条件(2)，则 ab12，由题意得， 1，由整理得 a26a80，解得 ，或 .所求直线的方程为 1 或 1，即 3x4y120 或 3xy60.综上所述：存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程，为 3x4y120.18.（1） （2）是定值，定值为 40x【解析】 （1）设直线 的方程为 ，即 ，由直线 与l1(0,)xyab0xaybl圆 相切，得 ，即 ， O2ab24，2
15、221416DEba当且仅当 时取等号，此时直线 的方程为 bl20xy（2）设 ， ，则 ， ， 0,Bxy10,Pxy0,C204xy14直线 的方程为： P011yx直线 的方程为： C011分别令 ，得0y101101,MNxyxy14所以 为定值OMN22221001101144yyxy19.（）证明: 四边形 是边长为 的正方形， 是 的中点, ABCDEAB5DE又 侧棱 底面 , 面 BOB又 2,1O5OE5,E是等腰三角形， 是 的中点, .EFDFD同理 是等腰三角形， 是 的中点,5,DGGF面E,FE平面O（）侧棱 底面 , 面 BACDBACOBD2,23O由（）知
16、： 平面 , 是三棱锥 到平面 的距离EFGEFG分别是 的中点, ， , F5,25DGHOD2四边形 是边长为 的正方形， 是 的中点ABC2,E,ABC三角形 是等边三角形 2EFG32FGSA0132GOFGVSh20.（1） （2） 5BQP【解析】以 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 ，则各点的坐Axyz标为 1,0,0,2,CD15（1） 因为 平面 ，所以 是平面 的一个法向量， ADPBPAB因为 设平面 的法向量为 ，则 ，C,mxyz即 ，令 ，解得 20 xyz1,1x所以 是平面 的一个法向量，从而 ，1,mPCD所以平面 与平面 所成二面角的余弦值为 AB3（
17、2） 因为 ，设 ，又 ，则 ，又 ，从而 ，设 ，12,13t则 ，当且仅当 ，即 时， 的最大值为 95t2310因为 在 上是减函数，此时直线 与 所成角取得最小值cosyx0,CQDP16又因为 ，所以 215BP25BQP21. （1）证明：（方法一）设线段 的中点为 ，连接 FDQPC、 为 的中点，PA/PA ，且 ，四边形 为平行四边形， 12ECEEF/CQEF又 ，平面 平面 ,QF/PCQA 平面 ， 平面 P/CA（方法二）设线段 的中点为 ，连接 AGE、 为 的中点，PAD ，且 /GF12F又 ，且 ， ，四边形 为平行四边形，EC/ED/PGECEP/P 平面
18、平面 ，,AFAF 平面 /E（2） （方法一）四边形 为直角梯形， CD12,4,2EFDC四边形 为正方形， 为等腰直角三角形FQ ，即 09C17又 平面 ， AFCEDAFC又 ， 平面 ，面 平面 ，DAC平面 平面 过 作 于点 ，则 平面 ，即 为点 到平面 的距离HFHFHD ， ， ，点 到3,2AFC17A326417ACF平面 的距离为D634（方法二）设点 到平面 的距离为 FAd ， ， FACDPV13CDFCDSAPCDASF由方法一得， 平面 ， ，, 12364217AdCAD22. 【解析】 （1）因为 平面 ，所以 ;11DF（2）取 AB 中点 G，连接 ，1,AF因为 F 是 CD 的中点，所以 GF、AD 平行且相等，可证 是平行四边形，所以 ，1D1/D设 与 相交于点 H，则 是 与 所成的角，AGEAE1F因为 E 是 的中点，1B所以 ，90即 与 所成的角是 ；A1DF（3）由上可知 ， ，11AEDF18所以 平面 AED，1DF从而得平面 平面 .1AED
