1、1郎溪中学直升部高二学段期中考试数学试题（考试时间：120分钟 总分：150分）第卷(选择题)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。1. 已知集合 ， ，则 ( )|xyA2|xyBBAA B C D 1,0)1,0(1,02已知 A、 B、 C 三点的坐标分别为 、 、 ，若 ，)3,4(A),5(),73(CAB AC 则 等于( )A28 B28 C14 D143. 有一人在打靶中，连续射击 2 次，事件“至少有 1 次中靶”的对立事件是( )A.至多有 1 次中靶 B.2 次都中靶 C.2 次都不中靶 D.只
2、有 1 次中靶4. 已知 sin cos ，且 02()，则函数 ()h= )g在区间4,4内的零点的个数为( )A2 B3 C4 D5第卷(非选择题)二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。313用分层抽样法从 名学生中抽取 (0 100)人进行评教，男生被抽到的概率是 ，10n 32则女生被抽到的概率是_ 14椭圆 1( a b0)的左、右顶点分别为 A， B，左、右焦点分别为 F1， F2，若x2a2 y2b2|AF1|，| F1F2|，| F1B|成等差数列，则此椭圆的离心率为_.15若命题 p：曲线 1 为双曲线，命题 q：函数 f(x)(4 a)x在 R 上是
3、增函x2a 2 y26 a数，且 p q 为真命题， p q 为假命题，则实数 a 的取值范围是_16不等式组 的解集记为 .有下面四个命题：4xyD ， ,(,),2D(,),2xyDy ， .3xyy 1其中真命题的序号是_ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算过程。17(10 分) 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨)与相应的生产能耗 y(吨标准煤)的几组对照数据x3 4 5 62.5 3 4 4.5()请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 x y b a ；()已知该厂技改前 1
4、00 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤试根据()求出的线性回归方程预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？(参考数值：32.5435464.566.5， )8654322附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：， xnyxybiniiniiii 2112)( xbya18(12 分) 已知向量 ， ),(a),(yb()若 x， y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为41,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足 1 的概ab率；()若 x， y 在连续区间 上取值，求满足 的概率6,1ab019(12 分) A
5、BC 中， 是 A，B，C 所对的边，S 是该三角形的面积，且cba,cos2BbCac()求 B 的大小；()若 =4， ，求 的值.35Sb20(12 分) 已知数列 na满足： )(1*NnaSn，其中 nS为数列 na的前 项和()求数列 an的通项公式；()若数列 b满足： )(*an，求数列 bn的前 n 项和 Tn21.（12 分）如图所示，在矩形 ABCD 中， AB3 ， AD6， BD 是对角线，过点 A 作5AE BD，垂足为 O，交 CD 于 E，以 AE 为折痕将 ADE 向上折起，使点 D 到点 P 的位置，且 PB .41()求证： PO平面 ABCE；()求二面
6、角 EAPB 的余弦值522(12 分) 已知定点 F(0,1)和直线 l1： y1，过定点 F 与直线 l1相切的动圆的圆心为点 C() 求动点 C 的轨迹方程；() 过点 F 的直线 l2交动点 C 的轨迹于 P， Q 两点，交直线 l1于点 R，求 的最小值RPQ6参考答案一、 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。本大题共 12小题，每小题 5 分，共 60 分。题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C D C B B D B C C D D D二、填空题：本大题共 4 小题,每小题 5 分，共 20 分,把正确答案填在答题卷上13 14
7、 15(，23,6) 163212三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （本小题 10 分）解：（）由对照数据计算得， 4.5， 3.5，x3 4 5 64 y 2.5 3 4 4.54xiyi32.5435464.566.5，4 i 1x 3 24 25 26 286，4 i 12i所以由最小二乘法确定的系数为 0.7，b 4 i 1xiyi 4xy 4 i 1x2i 4x2 66.5 43.54.586 44.52 3.50.74.50.35.a y b x线性回归方程为 0.7 x0.35.y （）根据回归方程的预测，现在生产 100
8、 吨产品消耗的标准煤的数量为0.71000.3570.35，y 耗能降低了 9070.3519.65(吨标准煤)18 （本小题 12 分）解：（）将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6636 个；由 1 有2 x y1，ab所以满足 1 的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)共 3 个故满足 1 的概率为 .336 1127（）若 x， y 在连续区间1,6上取值，则全部基本事件的结果为 ( x， y)|1 x6,1 y6；满足 0 的基本事件的结果为abA( x， y)|1 x6,1 y6，且2 x y0；画出图形，矩形的面积为 S 矩形 25，阴影部分的面
9、积为 S 阴影 25 2421，12故满足 0 的概率为 .ab212519. （本小题 12 分）解：（）由 coscossin22BBCaCAC2ininiAsicosi()sicosin12,0,23BB又（） 134,5sin52aSacc又222cos65461bBbb20. （本小题 12 分）解：（） nnaS1 得 nn11 )(,21*Nna又 时， a)(,)2(*1Nannn（） ,*bnn8nnT2321 142 得 1321)(nnnn整理得： *,NTn21 （本小题 12 分）解：（）证明：由已知得 AB3 ， AD6，5 BD9.在矩形 ABCD 中， AE B
10、D，Rt AODRt BAD， ， DO4， BO5.DOAD ADBD在 POB 中， PB ， PO4， BO5，41 PO2 BO2 PB2， PO OB.又 PO AE， AE OB O， PO平面 ABCE.（） BO5， AO 2 .AB2 OB2 5以 O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 P(0,0,4)，A(2 ，0,0)， B(0,5,0)，5(2 ，0，4)， (0,5，4)P5 P设 n1( x， y， z)为平面 APB 的法向量则Error! 即Error!取 x2 得 n1(2 ，4,5)5 5又 n2(0,1,0)为平面 AEP 的一个法向量，cos n
11、1， n2 ，n1n2|n1|n2| 4611 46161故二面角 EAPB 的余弦值为 .4616122 （本小题 12 分）解：（）由题设知点 C 到点 F 的距离等于它到 l1的距离，点 C 的轨迹是以 F 为焦点， l1为准线的抛物线，9动点 C 的轨迹方程为 x24 y.（）由题意知，直线 l2方程可设为 y kx1( k0)，与抛物线方程联立消去 y，得 x24 kx40.设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)，则 x1 x24 k， x1x24.又易得点 R 的坐标为 ，(2k， 1) (x12k， y1 1) (x2 2k， y2 1) ( kx12)( kx22)(x12k)(x2 2k)(1 k2)x1x2 (x1 x2) 4(2k 2k) 4k24(1 k2)4 k 4(2k 2k) 4k24 8.(k21k2) k2 2，当且仅当 k21 时取等号，1k2 42816，即 的最小值为 16.RPQRPQ
