1、- 1 -蕉岭中学 2019 届高三摸底考试试题数学（理科）注意事项： 1.本试卷分第 I 卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。时量 120 分钟，满分 150 分.2.答卷前，考生务必将自己的性名、考号填写在答题卡相应位置上.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效.4.考试结束后.将本试题卷和答题卡一并交回.第 I 卷（选择题）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1集合 , ，则 等于 ( )1 ,0 23A2log(1)BxABA B C D -,02,3 0,1232设 为虚数单位，则复数 的虚部为
2、( )i +izA. B. C. D. ii 3在各项都为正数的数列 中,首项 ，且点( )在直线 上, 则数na1221,na90xy列 的前 n 项和 等于( )anSA. B. C. D. 31n132n132n23n4广告投 入对商品的销售额有较大影响某电商对连续 5 个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如下表（单位：万元）：由 上 表 可 得 回 归 方 程 为 ， 据 此 模 型 ，10.2yxa预 测 广 告 费 为 万 元 时 的 销 售 额 约 为 ( )10A B C D10.2108.1.218.25秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的数书九章中提出的多项式求
3、值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入 的值分别为 ，则输出 的值为( ),nx3,4v广告费 x2 3 4 5 6销售额 y29 41 50 59 71- 2 -A6 B25 C100 D4006.在区域 内任意取一点 ，则 的概10yx),(yxP12y率是（ ）A. B. C. D. 242446.将函数 的图像上所有的点向右平移 个单位长sin()6yx度,再把图像上各点的横坐标扩大到原来的 2 倍(纵坐标不变)，则所得图像的解析式为（ ）A. B.C. 5sin(2)1yxsin()1xyD. 5si()24xy8.
4、已 知 在 锐 角 中 ， 角 的 对 边 分 别 为 ,且 . 则ABC,abcCAcBsin3os的 值 为 （ ）bA. B. C. D.3322369.如图，格纸上正方形小格的边长为 1，图中粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体最长棱的长度为（ ）A.4 B C D322310. 已知 1F， 2是椭圆 21(0)xyab：的左、右焦点， A是C的左顶点，点 P在过 A且斜率为36的直线上， 12PF 为等腰三角形，120，则 C的离心率为( )A. 3 B12C14D 311.过正方体 的顶点 作平面 ，使棱 ， ， 所在直线 与平面1ADAABD1所成的角都相等，则这样的平面可以
5、作（ ）A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 12.已知偶函数 满足 ，且当 时， ，关于fx4fxf0,4xln2xf的不等式 在 上有且只有 个整数解，则实数 的取值范x20a2,03a入入v=x+i,=i-1入vv=1i=n-1i 0入n,x入第 5 题图结束- 3 -第 17 题图C BA围是（ ）A. B. C. D.1(ln2,l6)31(ln2,l6313ln2(6,)413ln2(6,4第 II 卷（非选择题）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13.已知平面向量 的夹角为 ，且 则 ,ab103,2abba14.已知 ，则 的展开式中，常数项为 2
6、3)sin(codxxm9)1(mx 15.如图所示，正四面体 中 ， 是棱 的中点 ， 是棱 上一动点 ， 的ABCDEAPACBPE最小值为 ，则该正四面体的外接球的体积是 .1416.对于任一实数序列 ，定义 为序列 ，它的,321a,342312aa第 项是 ，假定序列 的所有项都是 ，且 ，则 nna1)(A1078018三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明 、证明过程或演算步骤 17.（本小题满分 12 分）如图，已知 中，角 的对边ABC , 分别为 ， ,abc 120（1）若 ，求 面积的最大值；（2）若 ，求 .tanA18.（本小题满分 12 分
7、）如图，在四棱锥 中，四边形 为梯形， BCFEFCB，且 ， 是边长为 的正三角形，顶点 在/EFB2A2F上的射影为点 ，且 ， ， .ACG315（1）证明：平面 平面 ；FBC（2）求二面角 的余弦值.EAGCBAFE- 4 -19.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C： 1(ab0)，其焦点为 F1，F 2，离心率为 ，若点 P 满足x2a2 y2b2 22 ( 22， 32)|PF1|PF 2|2a.(1)求椭圆 C 的方程；(2)若直线 l：ykxm(k，mR)与椭圆 C 交于 A，B 两点，O 为坐标原点，AOB 的重心G 满足： ，求实数 m 的取值范围F1G F2G 592
8、0.（本小题满分 12 分）由中央电视台综合频道（CCTV-1）和唯众传媒联合制作的开讲啦是中国首档青年电视公开课。每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生 活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到青年观众的喜爱，为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机 调查了两个地区的 名观众，得到如下的 列联表：AB、 102已知在被调查的 名观众中随机抽取 名，该观众是 地区当中“非常满意”的观众1B的概率为 ，且 354yz(1)现从 名观众中用分层抽样的方法抽取 名进1020行问卷调查，则应抽取“满意”的 地区的人数A
9、B、各是多少.(2)完成上述表格，并根据表格判断是否有 的把90%握认为观众的满意程度与所在地区有关系.(3)若以抽样调查的频率为概率，从 地区随机抽取 人，设抽到的观众“非常满意”的人A3数为 ，求 的分布列和期望.X附：参考公式：21. （本小题满分 12 分）已知 1()lnfxex非常满意 满意 合计合计- 5 -(1)求函数 的极值；()fx(2)设 ，对于任意 ，总有ln1xgae120,1,xx成立，求实数 的取值范围.12()()exf请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.22. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系
10、与参数方程已知曲线 C的参数方程为12cosinxy（ 为参数） ；直线:(0,)l R与曲线 C相交于 MN、 两点 .以极点 O为原点，极轴为 x轴的非负半轴建立平面直角坐标系.(1)求曲线 的极坐标方程；(2)记线段 MN的中点为 P，若 |O恒成立，求实数 的取值范围.23.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 241fxx, (1)解不等式 ；9)(2)若不等式 的解集为 , ，且满足 ,求实数afA032xBAB的取值范围.a- 6 -蕉岭中学 2019 届高三摸底考试参考答案数学（理科）112:BDACC BCADC AD13. 14. 15. 16. 100
11、02164317(12 分)解：（1）由余弦定理得 , 2 分2cos120ab，当且仅当 时取等号； 213ab ab解得 ， 34 分故 ，即 面积的最大值为 .6 分13sin2412ABCSabab ABC 123（2）因为 ，由正弦定理得 ，8 分sini又 ，故 ，060，10 分sini()3coiA， . 12 分3co2siAtan218. 解：（）证明：由顶点 在 上投影为点 ，可知， FCGFAC取 的中点为 ，连结 ， COB在 中， ， ，所以 -1 分RtFG32132在 中， ， ，所以 -2tB1B分所以， ，即 -3 分22GFG ,AC 面 B又 面 ，所以
12、面 面 -5 分BAC（）由（）知， ， ，且OFFG所以 面 ，且 面 以 所在直线为 轴， ACGOBx所在直 线为 轴，过点 作平面 的垂线为 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：OCyzzyx OEFAB CG- 7 -， ， ，1(0,1)(3,0)(,3)2ABF(,13)2E3,10BA-8 分,2E设平面 ， 的法向量分别为 ，则,mn，则 ，-9 分 ，则 ， -0mBAM1(,3,)2 0nBAF1(,3)2n-10 分，所以二面角 的余弦值为 -12 分cos157nEABF15719 (1)由 e ，可设椭圆 C 的方程为 1，22 x2a2 2y2a2点 P 满足|PF
13、 1|PF 2|2a，等价于点 P 在椭圆上， 1，a 22，(22， 32) 12a2 32a2所以椭圆 C 的方程为 y 21. -5 分x22(2)设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立得方程组 y kx m，x2 2y2 2 0， )消去 y 并整理得(12k 2)x24kmx2m 220，则 . -7 分 0 1 2k2m2x1 x2 4km1 2k2x1x2 2m2 21 2k2 )设AOB 的重心为 G(x，y)，由 ，可得 x2y 2 .F1G F2G 59 49由重心公式可得 G ，代入式，(x1 x23 ， y1 y23 )整理可得(x 1x 2)2(y 1y
14、2)24(x 1x 2)2k(x 1x 2)2m 24，将式代入式并整理，得 m2 ，-10 分（ 1 2k2） 21 4k2则 m2 1 1 .又由 0 可知 k0，令（ 1 2k2） 21 4k2 4k41 4k2 44k2 1k4t 0，t 24t0，1k2m 21，m(，1)(1，). -12 分- 8 -20. 解：(1)由题意，得 ，所以 ，所以 ，因为 ，所以0.351x35x25yz43yz， ，-2 分 A 地抽取 ，B 地抽取 ，-4 分15y20z 2=10=1非常满意 满意 合计合计(2) 2210(351)0.138464K所以没有 的把握认为观众的满意程度与所在地区
15、有关系. -8 分(3) 从 地区随机抽取 人，抽到的观众“非常满意”的概率为A1 23P随机抽取 人， 的可能取值为3X0,23，(0)(27P126()()79PC,314)9C38XX2P1279487-12 分E21.解： (1) 所以 的定义域为()fx(0,)2211)()eexfx(0,)(,)ee(,)e()fx 00单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减所以 的极小值为： ，极大值为： ；-4 分()fx12()fe2()fe(2) 由(1)可知当 时，函数 的最大值为,()fx- 9 -对于任意 ，总有 成立，等价于 恒成立，-120,1,xx12()()egxf()
16、1gx-6 分()xgea 时，因为 ，所以 ，即2a1x11() 20xgeaxa在 上单调递增， 恒成立，符合题意. -9 分()x0,0当 时， 设 ， ，2a1()xhea221()1() 0()xxehe所以 在 上单调递增，且 ，则存在 ，使得()gx0, 02g0(,)所以 在 上单调递减，在 上单调递增，又 ， ()x0,)0(,)x0()1gx所以 不恒成立，不合题意. -11 分1g综合可知，所求实数 的取值范围是 .-12 分a(,2解法 2：用分离参数法，再用若必达法则求函数在 处的极限值，从而确定 a 的范围，给0x满分解法 3：用 来控制 ，再证明当 时恒成立，给满
17、分.(0)g2a2a选修 4-4：坐标系与参数方程22.解：(1)因为曲线 C的参数方程为 1cosinxy（ 为参数） ，故所求方程为 22(1)()xy.2 分因为 cosiny， cos2i，故曲线 C的极坐标方程为2()24.5 分（两种形式均可）(2)联立 和 cosin20，得 2(cosin)20，设 1(,)M、 2(,)N，则 1(sc)4，7 分- 10 -由 12|OP，得 |2|sin()|24OP，当 34时， |取最大值 ，故实数 的取值范围为 ,)10 分选修 4-5：不等式选讲23.解:(1) 9fx可化为 2419x2 3，或 1 5，或 3.3 分4x，或 2x，或 1x； 不等式的解集为 ,； 5 分(2)易知 03B；所以 BA，所以 242xa在 0,3x恒成立；241xa在 0,3x恒成立； 141在 ,x恒成立；7 分 3, 5ax在 恒 成 立在 恒 成 立0 5a10 分
