1、1规范答题示例 5 数列的综合问题典例 5 (16 分)已知各项均为正数的数列 an的前 n项和为 Sn，且 a1 a，( an1)( an1 1)6( Sn n)， nN *.(1)求数列 an的通项公式；(2)若对任意的 nN *，都有 Sn n(3n1)，求实数 a的取值范围；(3)当 a2 时，将数列 an中的部分项按原来的顺序构成数列 bn，且 b1 a2，求证：存在无数个满足条件的无穷等比数列 bn审题路线图 (1) 根 据 an与 Sn的 关 系 an与 an 1 求 通 项 公 式 an(2) 恒 成 立 问 题 分 离 参 数 a 将 n分 成 奇 数 和 偶 数 分 类 讨
2、 论 构 造 函 数 求 函 数 的 值 域 求 出 a的 范 围(3) 审 视 数 列 的 特 征 公 比 为 4 的 指 数 式 证 明 bn是 an中 的 项规 范 解 答分 步 得 分 构 建 答 题 模 板(1)解 当 n1 时，( a11)( a21)6( S11)，故 a25；当 n2 时，( an1 1)( an1)6( Sn1 n1)，所以( an1)( an1 1)( an1 1)( an1)6( Sn n)6( Sn1 n1)，即( an1)( an1 an1 )6( an1)又 an0，所以 an1 an1 6，3 分第一步找关系，求通项：根据已知条件确定数列的项之间的
3、关系第二步2所以 a2k1 a6( k1)6 k a6， a2k56( k1)6 k1， kN *，故数列 an的通项公式为 anError!5 分(2)解 当 n为奇数时， n1 为偶数，所以 an3 n a3， an1 3 n2，所以(3 n a31)(3 n21)6( Sn n)，整理得 Sn (3n a2)12(n1) n.由 Sn n(3n1)，得 a 对 nN *恒成立3n2 3n 2n 1令 f(n) (nN *)，则 f(n1) f(n)3n2 3n 2n 1 0，3n2 9n 4n 2n 1所以 f(n) (nN *)单调递增， f(n)min f(1)3n2 3n 2n 1
4、 4，所以 a4.8 分3 3 22当 n为偶数时， n1 为奇数， an3 n1， an1 3 n a，所以(3 n11)(3 n a1)6( Sn n)，整理得 Sn ，3n2 a 1n2由 Sn n(3n1)得， a3( n1)对 nN *恒成立，所以 a9.又 a1 a0，所以实数 a的取值范围是(0,4.10 分(3)解 当 a2 时，若 n为奇数，则 an3 n1，所以an3 n1( nN *)因为数列 bn的首项是 b15，其整数倍的最小项是 a720，故可令等比数列 bn的公比 q4 m(mN *)，因为 b1 a25，所以 bn54 m(n1)设 k m(n1)，因为 144
5、 24 k1 ，4k 13所以 4k3(144 24 k1 )1，所以 54k53(144 24 k1 )135(144 24 k1 )21.14 分因为 5(144 24 k1 )2 为正整数，所以数列 bn是数列 an中包含的无穷等比数列巧转化，定方法：根据要证式子或所求结论的结构，进行适当转化，如对数列求和，将数列函数化讨论数列的性质等确定解题方法第三步写步骤，再反思：确定解题方案后要认真规范书写解题步骤，数列综合问题一般为压轴题，难度较大，要有抢分意识，不放过任何一个得分点.3又公比 q4 m(mN *)有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，故无穷等比数列 bn有无数个.16 分评
6、分细则 (1)求出 an的递推公式给 3分；(2)求出 an的通项公式给 2分；(3)讨论 n为奇数的情况给 3分；(4)讨论 n为偶数的情况给 2分；(5)求出 bn的通项公式给 4分；(6)证明出最后结果给 2分跟踪演练 5 (2018南通、徐州等六市调研)设等比数列 a1， a2， a3， a4的公比为 q，等差数列 b1, b2， b3， b4的公差为 d，且 q1， d0.记 ci ai bi (i1,2,3,4)(1)求证：数列 c1， c2， c3不是等差数列；(2)设 a11， q2.若数列 c1, c2, c3是等比数列，求 b2关于 d的函数关系式及其定义域；(3)数列 c
7、1,c2, c3， c4能否为等比数列？并说明理由(1)证明 假设数列 c1， c2， c3是等差数列，则 2c2 c1 c3，即 2 .(a2 b2) (a1 b1) (a3 b3)因为 b1， b2， b3是等差数列，所以 2b2 b1 b3.从而 2a2 a1 a3.又因为 a1， a2， a3是等比数列，所以 a a1a3.2所以 a1 a2 a3，这与 q1 矛盾，从而假设不成立所以数列 c1， c2， c3不是等差数列(2)解 因为 a11, q2，所以 an2 n1 .因为 c c1c3，2所以 2 ，(2 b2) (1 b2 d)(4 b2 d)即 b2 d23 d, 由 c22 b20，得 d23 d20，所以 d1 且 d2.4又 d0，所以 b2 d23 d，定义域为Error!.(3)解 设 c1， c2， c3， c4成等比数列，其公比为 q1，则Error!则将2得， a1(q1) 2 c1(q11) 2， 将2得， a1q 2 c1q1 2， (q 1) (q1 1)因为 a10, q1，由得 c10, q11.由得 q q1，从而 a1 c1.代入得 b10.再代入，得 d0，与 d0 矛盾所以 c1， c2， c3， c4不成等比数列
