1、1(八)数列(B)1(2018江苏金陵中学期末)设数列 an的前 n项的和为 Sn，且满足 a12，对 nN *，都有 an1 ( p1) Sn2(其中常数 p1)，数列 bn满足 bn log2(a1a2an)1n(1)求证：数列 an是等比数列；(2)若 p2 017，求 b2 018的值；(3)若 kN *，使得 p2 1k，记 cn ，求数列 cn的前 2(k1)项的和|bn32|(1)证明 因为 nN *，都有 an1 ( p1) Sn2，an2 ( p1) Sn1 2，所以两式相减得 an2 an1 ( p1) an1 ，即 an2 pan1 ，当 n1 时， a2( p1) a1
2、2 pa1，所以 an1 pan(nN *)，又 a12， p1，所以 an是以 2为首项， p为公比的等比数列(2)解 由(1)得 an2 pn1 .bn log2(a1a2an) log2(1)2n1n 1n1nn nn 12 017所以 b2 0182.(3)解 由(1)得 an2 pn1 .2bn log2(a1a2an) log2(1)2np1n 1n log2()21nk1 .1n n 12k 1因为 bn ，32 2n 2k 322k 1所以当 1 n k1 时， cn bn，32当 n k2 时， cn bn .32因此数列 cn的前 2(k1)项的和 T2k2( b1 b2
3、bk1 )( bk2 bk3 b2k2 ) 0 1 k2k 1 k 1 k 2 2k 12k 1 .kk 122k 1k 1k 2k 222k 1 k 122k 12已知数列 an的前 n项和为 Sn，且 a11， a22，设bn an an1 ， cn anan1 (nN *)(1)若数列 b2n1 是公比为 3的等比数列，求 S2n；(2)若数列 bn是公差为 3的等差数列，求 Sn；(3)是否存在这样的数列 an，使得 bn成等差数列和 cn成等比数列同时成立，若存在，求出 an的通项公式；若不存在，请说明理由解 (1) b1 a1 a2123，S2n( a1 a2)( a3 a4)(
4、a2n1 a2n) b1 b3 b2n1 .31 3n1 3 3n 1 32(2) bn1 bn an2 an3， a2k1 ， a2k均是公差为 3的等差数列，a2k1 a1( k1)33 k2，a2k a2( k1)33 k1，当 n2 k(kN *)时，Sn S2k( a1 a3 a2k1 )( a2 a4 a2k) k1 3k 22 k2 3k 1233 k2 ；3n24当 n2 k1( kN *)时，Sn S2k1 S2k a2k3 k23 k13 23 1 .(n 12 ) n 12 3n2 14综上可知， SnError!(3) bn成等差数列，2 b2 b1 b3，即 2(a2
5、 a3)( a1 a2)( a3 a4)，a2 a3 a1 a4， cn成等比数列， c c1c3.2即( a2a3)2( a1a2)(a3a4)， c2 a2a30， a2a3 a1a4，由及 a11， a22，得 a31， a42，设 bn的公差为 d，则 bn1 bn( an1 an2 )( an an1 ) d，即 an2 an d，即数列 an的奇数项和偶数项都构成公差为 d的等差数列，又 d a3 a1 a4 a20，数列 an1,2,1,2,1,2，即 anError!此时 cn2， cn是公比为 1的等比数列，满足题意存在数列 an， anError!使得 bn成等差数列和 c
6、n成等比数列同时成立3已知 an， bn， cn都是各项不为零的数列，且满足a1b1 a2b2 anbn cnSn， nN *，其中 Sn是数列 an的前 n项和， cn是公差为 d(d0)的等差数列(1)若数列 an是常数列， d2， c23，求数列 bn的通项公式；(2)若 an n ( 是不为零的常数)，求证：数列 bn是等差数列；(3)若 a1 c1 d k(k为常数， kN *)， bn cn k(n2， nN *)，求证：对任意的n2， nN *，数列 单调递减bnan(1)解 因为 d2， c23，所以 cn2 n1.因为数列 an是各项不为零的常数列，所以 a1 a2 an，
7、Sn na1.4则由 cnSn a1b1 a2b2 anbn及 cn2 n1，得n(2n1) b1 b2 bn，当 n2 时，( n1)(2 n3) b1 b2 bn1 ，两式相减得 bn4 n3， n2.当 n1 时， b11 也满足 bn4 n3.故 bn4 n3( nN *)(2)证明 因为 a1b1 a2b2 anbn cnSn，当 n2 时， cn1 Sn1 a1b1 a2b2 an1 bn1 ，两式相减得 cnSn cn1 Sn1 anbn，即( Sn1 an)cn Sn1 cn1 anbn，Sn1 (cn cn1 ) ancn anbn，所以 Sn1 d nc n nb n.又
8、Sn1 (n1) ， n 12 nn 12所以 d nc n nb n， nn 12即 d cn bn，(*)n 12所以当 n3 时， d cn1 bn1 ，n 22两式相减得 bn bn1 d(n3)，32所以数列 bn从第二项起是公差为 d的等差数列32又当 n1 时，由 c1S1 a1b1，得 c1 b1.当 n2 时，由(*)得b2 d c2 d( c1 d) b1 d，2 12 12 32得 b2 b1 d.32故数列 bn是公差为 d的等差数列32(3)证明 由(2)得当 n2 时，Sn1 (cn cn1 ) ancn anbn，即 Sn1 d an(bn cn)因为 bn cn
9、 k，所以 bn cn kd，即 bn cn kd，5所以 Sn1 d ankd，即 Sn1 kan，所以 Sn Sn1 an( k1) an.当 n3 时， Sn1 ( k1) an1 ，两式相减得 an( k1) an( k1) an1 ，即 an an1 ，k 1k故从第二项起数列 an是等比数列，所以当 n2 时， an a2 n2 ，(k 1k )bn cn k cn kd c1( n1) k k2 k( n1) k k2 k(n k)，另外由已知条件得( a1 a2)c2 a1b1 a2b2.又 c22 k， b1 k， b2 k(2 k)，所以 a21，因而 an n2 ， n2.(k 1k )令 dn (n2)，则 .bnan dn 1dn bn 1anan 1bn n k 1kn kk 1因为( n k1) k( n k)(k1) n0，所以 dn1 dn，所以对任意的 n2， nN *，数列 单调递减bnan
