1、1(六)函数与导数(B)1(2018江苏省兴化一中模拟)已知函数 f(x) xex ax， aR.(1)当 a0 时，求 f(x)的最小值；(2)若 x0 时， f(x) ax2恒成立，求实数 a的取值范围；(3)若函数 f(x)存在极小值，求实数 a的取值范围解 (1)当 a0 时， f(x) xex， f( x)( x1)e x，当 x1 时， f( x)0， f(x)单调递增，所以当 x1 时， f(x)取最小值为 f(1) .1e(2)当 x0 时，f(x) ax2xex ax ax2ex a axa ，exx 1令 h(x) (x0)，exx 1则 h( x) 0，xexx 12所以
2、 h(x)在0，)上单调递增，所以 h(x)min h(0)1，所以 a1.(3)设 g(x) f( x)( x1)e x a，则 g( x)( x2)e x，令 g( x)0，得 x2，所以 g(x)在(，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，2所以 g(x) g(2) a，1e2当 a 时， g(x) a0，即 f( x)0，1e2 1e2所以 f(x)在 R上单调递增，无极值；当 a 时，1e2因为 g(2) a0(易证 ea a1)，(a12) 34所以 g(2) g(a)0，则 f(x)单调递增，所以 f(x)在 x x1处取得极小值综上，若函数 f(x)存在极小值，则实数 a的取值
3、范围为 .(1e2， )2设函数 f(x)2( a1) (aR)， g(x)ln x bx(bR)，直线 y x1 是曲线 y f(x)的x一条切线(1)求 a的值；(2)若函数 y f(x) g(x)有两个极值点 x1， x2.试求 b的取值范围；证明： .gx1 gx2fx1 fx2 1e2 12(1)解 设直线 y x1 与函数 y f(x)的图象相切于点( x0， y0)，则 y0 x01， y02( a1) ， 1，解得 a0.x0a 1x0(2)解 记 h(x) f(x) g(x)，则 h(x)2 ln x bx.x函数 y f(x) g(x)有两个极值点的必要条件是 h( x)有
4、两个正零点h( x) b ，1x 1x bx x 1x令 h( x)0，得 bx 10( x0)x令 t，则 t0.x问题转化为 bt2 t10 有两个不等的正实根 t1， t2，3等价于Error! 解得 00；当 x( x2，)时， h( x)0， k(b)单调递增；(0，1e2)当 b 时， k( b)0，bxf( x)2 a .bx2 cx 2ax2 cx bx2(1)当 b0， c1 时， f( x) .2ax 1x当 a0 时，由 x0，得 f( x) 0恒成立，2ax 1x所以函数 f(x)在(0，)上单调递增当 a0，解得 0 ，2ax 1x 12a所以函数 f(x)在 上单调递增，在 上单调递减(0， 12a) ( 12a， )综上所述，当 a0 时，函数 f(x)在(0，)上单调递增；当 a0,4t10， ( t)0，(14， 12) 1t所以 (t)在 上单调递增，(14， 12) (t) ，(163ln 2， 3 3ln 2)所以 f(x2)的取值范围是 .(163ln 2， 3 3ln 2)
